Karl Weierstrass

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Karl Weierstrass
Karl Weierstrass
Image illustrative de l'article Karl Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
Naissance 31 octobre 1815
Ostenfelde en Westphalie (Flag of Prussia (1750).gif Prusse)
D√©c√®s 19 f√©vrier 1897
Berlin (Drapeau: Empire allemand Empire allemand)
Nationalit√© Drapeau: Empire allemand Empire allemand
Champs mathématicien
Institution Université technique de Berlin
Dipl√īm√© de Universit√© de M√ľnster, Universit√© de Bonn
Renommé pour analyse
fonction elliptique
Distinctions médaille Copley (1895)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appel√© Karl Weierstrass, n√© le 31 octobre 1815 √† Ostenfelde (Westphalie), mort le 19 f√©vrier 1897 √† Berlin, √©tait un math√©maticien allemand, laur√©at de la m√©daille Copley en 1895. Il a √©tudi√© les math√©matiques √† l'universit√© de M√ľnster et obtint une chaire √† l'Universit√© technique de Berlin. Il fut immobile les trois derni√®res ann√©es de sa vie et s'√©teint √† Berlin √† la suite d'une pneumonie.

Il créa avec Alfred Enneper (1830-1885) une classe complète de paramétrisations.

Karl Weierstrass est souvent cit√© comme le ¬ę p√®re de l'analyse moderne ¬Ľ. Il consolida des travaux de Cauchy (1789-1857) sur les nombres irrationnels et leur amena une nouvelle compr√©hension. Ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques.

C'est lui qui le premier rendit public un exemple de fonction continue nulle part dérivable.

Sommaire

√Čtudiants de Karl Weierstrass

Contributions mathématiques

Fiabilité de l'analyse

Weierstrass √©tudia la fiabilit√© de l'analyse, dont il propose une construction logique rigoureuse. √Ä cette √©poque, les d√©monstrations de l'analyse s'appuyaient sur des d√©finitions ambigu√ęs, d'o√Ļ la n√©cessit√© de nouvelles d√©finitions. Tandis que Bolzano avait d√©velopp√© une d√©finition suffisamment rigoureuse des limites d√®s 1817 (et peut-√™tre m√™me auparavant), ses travaux rest√®rent quasi inconnus de la communaut√© math√©matique pendant des ann√©es, et d'autres math√©maticiens √©minents, comme Cauchy, n'avaient que de vagues d√©finitions de la limite et de la continuit√© d'une fonction. Weierstrass d√©finit la continuit√© comme suit :

\displaystyle f(x) est continue en \displaystyle x = x_0 si pour tout \displaystyle \epsilon > 0\, \exists\,\delta > 0 tel que

\displaystyle |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon.

Weierstrass formula √©galement une d√©finition de la limite et de la d√©riv√©e ¬ę en (őĶ, őī) ¬Ľ, telle qu'on l'enseigne aujourd'hui.

Avec ces nouvelles définitions, il put donner des démonstrations rigoureuses de plusieurs théorèmes qui reposent sur des propriétés des nombres réels jusqu'alors tenues pour intuitives, tels le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Borel-Lebesgue.

Fonction de Weierstrass

Le 18 juillet 1872, Weierstrass exposa √† l'Acad√©mie royale des sciences de Berlin l'exemple d'une fonction continue partout et d√©rivable nulle part, appel√©e aujourd'hui fonction de Weierstrass, qu'il enseignait dans ses cours depuis 1861. Il causa ainsi une grande surprise dans le monde math√©matique : on croyait d'ordinaire qu'une fonction continue en tout point est n√©cessairement d√©rivable sauf peut-√™tre en quelques points.

Le manuscrit Functionenlehre de Bernard Bolzano, rédigé avant 1834, contenait un autre exemple, mais il ne fut exposé qu'en 1921 et publié en 1930[1].

Calcul des variations

Weierstrass fit aussi de avancées significatives dans le champ du calcul des variations. En utilisant les outils de l'analyse qu'il avait contribué à développer, Weierstrass put reformuler complètement la théorie, ce qui ouvrit la voie à l'étude moderne du calcul des variations. Weierstrass établit par exemple une condition nécessaire à l'existence d'un extremum global de problèmes variationnels. Il contribua à l'expression de la condition Weierstrass-Erdmann, qui donne les conditions suffisantes pour qu'un extremum ait un coin.

Voir aussi

Notes et références

  1. ‚ÜĎ (en) Magdalena HykŇ°ov√°: Karel Rychl√≠k and Bernard Bolzano euler.fd.cvut.cz

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