Algebre

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Algebre

Algèbre

L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.

L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle.

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Pour la ¬ę structure d'alg√®bre ¬Ľ, voir l'article : Alg√®bre sur un corps.

Sommaire

Histoire

Article connexe : Chronologie de l'alg√®bre.

Antiquité

Les anciens Babyloniens et √Čgyptiens savaient d√©j√† r√©soudre des probl√®mes qui peuvent √™tre traduits en √©quations du premier ou second degr√©.

Par exemple, le Papyrus Rhind (conserv√© au British Museum de Londres, il date de -1650, √®re chr√©tienne) comporte l'√©nonc√© suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contrema√ģtre et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner √† chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue (mathématiques).

Diophante, au IIIe siècle de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre,[1] et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.

Monde arabo-musulman

Page d'Algebra d'al-Khwarizmi

Le mot ¬ę alg√®bre ¬Ľ vient de l'arabe al-jabr (ōßŔĄō¨ō®ōĪ), qui est devenu algebra en latin et qui signifie ¬ę la r√©union ¬Ľ (des morceaux), ¬ę la reconstruction ¬Ľ ou ¬ę la connexion ¬Ľ (en espagnol le mot algebrista d√©signe celui qui pratique le calcul alg√©brique mais aussi le rebouteux, celui qui sait r√©duire les fractures osseuses[2]).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du math√©maticien d'origine kurde Al-Khawarizmi qui reprend, dans la premi√®re partie du IXe si√®cle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (IIIe si√®cle). Ce dernier avait imagin√© de repr√©senter une inconnue par un symbole nomm√© arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'√©poque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture de l'√©poque voulait que tout savoir soit traduit en arabe et diss√©min√© dans tout l'Empire), a donn√© le mot moderne ¬ę alg√®bre ¬Ľ. Une large proportion des m√©thodes utilis√©es sont issues de r√©sultats √©l√©mentaires de g√©om√©trie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers r√©sultats dans la branche de l'alg√®bre g√©om√©trique.

Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe et travaille sur sa fameuse suite.

XVIe si√®cle : Europe

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramen√© d'Espagne vers l'an 1000 le z√©ro, invention indienne que les math√©maticiens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-m√™mes fait conna√ģtre dans tout l'Empire, et aussi √† Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorismes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVIIe si√®cle, l'alg√®bre peut √™tre globalement caract√©ris√©e comme la suite ou le d√©but des √©quations et comme une extension de l'arithm√©tique ; elle consiste principalement en l'√©tude de la r√©solution des √©quations alg√©briques, et la codification progressive des op√©rations symboliques permettant cette r√©solution. C'est √† Fran√ßois Vi√®te (1540-1603) que l'on doit l'id√©e de noter les inconnues √† l'aide de lettres .

Au XVIIe si√®cle, les math√©maticiens utilisent progressivement des nombres ¬ę imaginaires ¬Ľ, tels que l'une des racines carr√©es de -1, pour parvenir √† calculer les racines non r√©elles de leurs √©quations. Cette ¬ę extension ¬Ľ des nombres r√©els (qui prendra le nom de nombres complexes) am√®ne d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) √† √©noncer et d√©montrer le th√©or√®me fondamental de l'alg√®bre (ou th√©or√®me de d'Alembert-Gauss) :

Th√©or√®me ‚ÄĒ Toute √©quation polynomiale de degr√© n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son √©ventuelle multiplicit√©).

Sous sa forme moderne, le th√©or√®me s'√©nonce :

Th√©or√®me ‚ÄĒ Le corps \ _\mathbb C des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est alg√©briquement clos.

Le XIXe si√®cle s'int√©resse d√©sormais √† la calculabilit√© des racines, et en particulier √† la possibilit√© de les exprimer par des formules g√©n√©rales √† base de radicaux. Les √©checs concernant les √©quations de degr√© 5 am√®nent le math√©maticien Abel (apr√®s Vandermonde, Lagrange et Gauss) √† approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une √©quation. √Čvariste Galois (1811 - 1832), dans un m√©moire fulgurant, introduit pour la premi√®re fois la notion de groupe (en √©tudiant le groupe des permutations des racines d'une √©quation polynomiale) et aboutit √† l'impossibilit√© de la r√©solution par radicaux pour les √©quations de degr√© sup√©rieur ou √©gal √† 5.

Une √©tape d√©cisive √©tait franchie avec l'√©criture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra √† Euler d'√©noncer sa c√©l√®bre formule eiŌÄ = ‚ąí 1.

Algèbre moderne

D√®s lors, l'alg√®bre moderne entame un parcours f√©cond : Boole cr√©e l'alg√®bre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les math√©maticiens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester √©tudient les structures de matrices. L'alg√®bre lin√©aire, longtemps restreinte √† la r√©solution de syst√®mes d'√©quations lin√©aires √† 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le th√©or√®me de Cayley-Hamilton (¬ę Toute matrice carr√©e √† coefficients dans \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C annule son polyn√īme caract√©ristique ¬Ľ). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les m√©thodes de calcul qui nourriront, au XXe si√®cle, la programmation des ordinateurs. Parall√®lement, Kummer g√©n√©ralise les structures galoisiennes et √©tudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind d√©finit les id√©aux (d√©j√† entrevus par Gauss) qui permettront de g√©n√©raliser et reformuler les grands th√©or√®mes d'arithm√©tique. L'alg√®bre lin√©aire se g√©n√©ralise en alg√®bre multilin√©aire et alg√®bre tensorielle.

Au d√©but du XXe si√®cle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du fran√ßais Poincar√©, les math√©maticiens s'interrogent sur les fondements des math√©matiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la sc√®ne. Peano axiomatise l'arithm√©tique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'alg√®bre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C et des op√©rateurs toujours plus abstraits. On doit aussi √† Artin, consid√©r√© comme le p√®re de l'alg√®bre contemporaine, des r√©sultats fondamentaux sur les corps de nombres alg√©briques. Les corps non commutatifs am√®nent √† d√©finir la structure de module sur un anneau et la g√©n√©ralisation des r√©sultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'√©cole fran√ßaise ¬ę Nicolas Bourbaki ¬Ľ, emmen√©e par Weil, Cartan et Dieudonn√©, entreprend de r√©√©crire l'ensemble des connaissances math√©matiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la th√©orie des ensembles et l'alg√®bre dans le milieu du si√®cle, et confirme l'alg√®bre comme langage universel des math√©matiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle √† travers le monde, alors qu'aucun math√©maticien ne peut pr√©tendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les math√©matiques n'ont jamais autant paru unifi√©es qu'aujourd'hui.

Notations européennes modernes

Articles connexes

Voir aussi

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Notes et références

Bibliographie

  • Adolf P. Youschkevitch, Les Math√©matiques Arabes, VIIIe-XVe si√®cles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes

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