Histoire Du Calcul Infinitésimal

ï»ż
Histoire Du Calcul Infinitésimal

Histoire du calcul infinitésimal

L'histoire du calcul infinitĂ©simal est liĂ©e Ă  deux mathĂ©maticiens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Sommaire

Contexte

Au XVIIe siĂšcle, deux problĂšmes passionnent les mathĂ©maticiens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste Ă  retrouver, Ă  partir d’une courbe quelconque, les diffĂ©rentes tangentes Ă  la courbe. Le deuxiĂšme rĂ©side dans le calcul de l'aire engendrĂ©e par une courbe. Nombreux sont ceux qui s’intĂ©ressent Ă  ces problĂšmes et en donnent diverses solutions : Descartes, Wallis, et d’autres. Cependant, deux scientifiques, Newton et Leibniz, vont chacun de leur cĂŽtĂ© faire des recherches et mettre au jour une solution gĂ©nĂ©rale Ă  ces problĂšmes. Ce faisant, ils introduiront dans le monde des mathĂ©matiques un nouveau concept qui est aujourd’hui la base de l’analyse : le calcul infinitĂ©simal.

Mais il semblerait que c'est bien le mathématicien indien Bhùskara II qui découvrit le principe du calcul différentiel, cinq siÚcles avant Newton.

Isaac Newton

Grand mathĂ©maticien et physicien anglais du XVIIe siĂšcle, Newton est considĂ©rĂ© comme l’un des fondateurs du calcul infinitĂ©simal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les Ă©crits, il se pose en effet le problĂšme des tangentes qu’il relie rapidement Ă  celui de la quadrature. Cependant, il Ă©crit assez peu sur ce sujet (seulement trois Ă©crits) et publie trĂšs tard par peur des critiques.

DĂšs 1669, Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problĂšme de la quadrature Ă  celui des tangentes : la dĂ©rivĂ©e est la procĂ©dure inverse de l'intĂ©gration. Il s’intĂ©resse aux variations infinitĂ©simales des quantitĂ©s mathĂ©matiques et l’aire engendrĂ©e par ces mouvements. Sa mĂ©thode la plus cĂ©lĂšbre reste celle des fluxions. TrĂšs influencĂ© par son travail de physicien, il considĂšre les quantitĂ©s mathĂ©matiques comme engendrĂ©es « par une augmentation continuelle Â» et les compare Ă  l’espace engendrĂ© par les « corps en mouvement Â». Dans le mĂȘme esprit, il introduit le temps en tant que variable universelle et dĂ©finit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (x, y, z
) sont des quantitĂ©s « augmentĂ©es graduellement et indĂ©finiment Â», et les fluxions (\dot x ,\dot y ,\dot z ) « les vitesses dont les fluentes sont augmentĂ©es Â». Il se pose le problĂšme « Ă‰tant donnĂ© les relations entre les quantitĂ©s fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. Â».

Voici par exemple la solution qu’il donne pour y = xn :

Soit o, un intervalle de temps infiniment petit. \dot x o et \dot y o seront les accroissements infiniment petits de x et y.
 y= x^n \,
En remplaçant x et y par  x+\dot x o et  y+\dot y o
 y+ \dot y o = (x+\dot x o)^n
Puis en dĂ©veloppant par la formule du binĂŽme qu’il a dĂ©montrĂ©e :
 y+\dot y o = x^n + nox^{n-1} \dot x + \frac{n(n-1)}{2}o^2 \dot x^2 x^{n-2} + \ldots
Ensuite, il retranche  y= x^n\, et divise par o.
\dot y = nx^{n-1}\dot x + \frac{n(n-1)}{2}o \dot x^2 x^{n-2} + \ldots
Enfin, il nĂ©glige tous les termes contenant o, et obtient :
\dot y = nx^{n-1}\dot x , qui rappelle la formule (x^n)' = nx^{n-1} \,

L’intuition est correcte, mais Newton manque de conviction. Il voudrait se dĂ©barrasser des quantitĂ©s infinitĂ©simales qu’il n’arrive pas Ă  baser sur des principes rigoureux. Dans sa mĂ©thode « des premiĂšres et derniĂšres raisons Â», il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de « nĂ©gliger Â» des termes, laissant o « s’évanouir Â» dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela Ă  l’idĂ©e de « vitesse instantanĂ©e Â» d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a aprĂšs, mais celle qu’il a au moment oĂč il arrive. Dans Principia, il exprime ainsi sa pensĂ©e : « Les rapports ultimes dans lesquels les quantitĂ©s disparaissent ne sont pas rĂ©ellement des rapport de quantitĂ©s ultimes, mais les limites vers lesquels les rapport de quantitĂ©s, dĂ©croissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi prĂšs que l’on veut. Â» Il est surprenant de voir Ă  quel point cette conception se rapproche de la dĂ©finition mĂȘme de la limite moderne : f(x) tend vers a si Ă©tant donnĂ© Δ donnĂ© positif quelconque, il existe α tel que : |x-a|<α ⇒ |f(x)-f(a)|<Δ. Cependant, Newton ne gĂ©nĂ©ralise pas cette dĂ©finition et sa notion de limite reste rĂ©servĂ©e aux rapports de fluxions, Ă  ce qui se rapproche du calcul moderne de dĂ©rivĂ©es. Et mĂȘme ainsi, il se trouve dans l’incapacitĂ© de fonder son calcul diffĂ©rentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitĂ©simale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquĂ©e, n’étant pour certains qu’un « fantĂŽme de quantitĂ©s disparues Â».

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Alors que Newton hĂ©sitait Ă  publier ses dĂ©couvertes, un autre mathĂ©maticien : Gottfried Wilhelm von Leibniz s’intĂ©ressait Ă  ce mĂȘme problĂšme et fit des dĂ©couvertes semblables. Son approche est cependant trĂšs diffĂ©rente. En effet, Leibniz est au dĂ©part un philosophe et ne dĂ©couvre les mathĂ©matiques qu’en 1672 lorsqu’il rencontre Christian Huygens lors d’un voyage Ă  Paris. Il s’inspire alors des Ɠuvres de Descartes, de Pascal, de Wallis et d’autres. TrĂšs vite, il fait le lien entre le problĂšme des tangentes et celui de la quadrature en remarquant que le problĂšme de la tangente dĂ©pend du rapport des « diffĂ©rences Â» des ordonnĂ©es et des abscisses et celui de la quadrature, de la « somme Â» des ordonnĂ©es. Lors de son travail sur les combinatoires, il observe en effet ceci :

1, 4, 9, 16 étant la suite des carrés
1, 3, 5, 7 la suite des diffĂ©rences des carrĂ©s :
1+3+5+7=16

Son travail en philosophie le pousse Ă  considĂ©rer les diffĂ©rences infiniment petites et il tire bientĂŽt la conclusion : ∫dy = y, ∫ Ă©tant une somme de valeurs infiniment petites et dy une diffĂ©rence infinitĂ©simale.

En effet, Leibniz Ă©met Ă  la mĂȘme Ă©poque l’hypothĂšse philosophique de l’existence de composants infiniment petits de l’univers. Tout ce que nous percevons n’étant que la somme de ces Ă©lĂ©ments. Le rapport avec ces recherches mathĂ©matiques est direct. Il explique parfois aussi ces Ă©lĂ©ments infinitĂ©simaux en faisant une analogie avec la gĂ©omĂ©trie : le dx est au x, ce que le point est Ă  la droite. Ce qui le pousse dans l’hypothĂšse de l’impossibilitĂ© de comparer des valeurs diffĂ©rentielles Ă  de « vraies Â» valeurs. Tout comme Newton, il privilĂ©giera les comparaisons entre rapports.

La notation claire et pratique qu’il met en place permet des calculs rapides et simples. S’intĂ©ressant au rapport dy / dx, il l’identifie au coefficient directeur de la tangente, se justifiant par l’étude du triangle formĂ© par une portion infiniment petite de la tangente et deux portions infiniment petites des parallĂšles aux axes de l'abscisse et e l'ordonnĂ©e. Ainsi, il exprime par exemple le coefficient directeur de la tangente Ă  la courbe reprĂ©sentative de y = x2 :

\mathrm dy = (x +\mathrm dx)^2 - x^2 = 2x\mathrm dx + (dx)^2\,
\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x + \mathrm dx

Et enfin, en nĂ©gligeant dx :

\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x.

Il rĂ©sout aussi les problĂšmes d(x + y), d(x \cdot y), d(x / y) et d(xn) dans l’optique de crĂ©er une vĂ©ritable algĂšbre des infiniment petits. Mais il subit de nombreuses critiques, semblables Ă  celle que l’on fit Ă  Newton : pour quelle raison nĂ©glige-t-on les infinitĂ©simaux dans le rĂ©sultat final ? Et s’ils sont Ă©gaux Ă  0, comment peut-on calculer leur rapport ? Lui-mĂȘme a du mal Ă  baser sa thĂ©orie sur des concepts solides et a tendance Ă  considĂ©rer les valeurs infinitĂ©simales comme des outils, au mĂȘme titre que les nombres imaginaires, qui « n’existeraient Â» pas vraiment. Mais mĂȘme ainsi, ses dĂ©tracteurs restent nombreux.

Au XIXe siĂšcle

Ce n’est qu’au XIXe siĂšcle que le concept de limite sera vĂ©ritablement explicitĂ©. Et c’est seulement ainsi que le calcul diffĂ©rentiel pourra vraiment se dĂ©velopper. Car ce ne sont pas sur des rapports que travaillent Newton et Leibniz, mais bien sur des limites de rapport, et c’est ce concept qui est la base de tout le reste. C’est Ă  cette Ă©poque que le nombre rĂ©el comme nous le connaissons de façon moderne est introduit chez les mathĂ©maticiens. Autant chez Newton que chez Leibniz, c’est cette conception qui manque et qui les empĂȘche de fonder la limite sur des bases rigoureuses. Le nombre comme ils le conçoivent est encore trĂšs inspirĂ© de la vision d’Euclide. Et sans la caractĂ©risation de la densitĂ© et du caractĂšre intrinsĂšquement infini des rĂ©els, le concept de limite ne peut voir le jour.

C’est ce qui fait que leurs dĂ©tracteurs, au nombre desquels George Berkeley, seront trĂšs nombreux. On accusera aussi Leibniz d’avoir copiĂ© l’Ɠuvre de Newton. S’ensuivront de nombreuses disputes et des attaques personnelles entre les deux hommes. Leurs approches sont trĂšs diffĂ©rentes, ce qui apporte richesse et inventivitĂ© Ă  ce nouveau concept. C’est aussi ces deux visions des choses, dans leurs points communs et dans leurs dissemblances, qui peuvent nous permettre de mieux comprendre ce concept de valeur infinitĂ©simale. En effet, c’est son rapport avec la physique, la philosophie ou la gĂ©omĂ©trie, qu’eux-mĂȘmes ont dĂ» faire pour le conceptualiser, qui donne la possibilitĂ© de le saisir dans son ensemble.

MalgrĂ© les critiques, les mĂ©thodes simples et claires mises au point par Newton et Leibniz, en particulier le nouveau formalisme introduit par Leibniz, permettent de rĂ©soudre les problĂšmes des tangentes et de la quadrature, qui prĂ©occupaient beaucoup les mathĂ©maticiens de l’époque. Et c’est pourquoi elles se sont petit Ă  petit fait accepter jusqu’à leur fondation sur des bases solides au XIXe siĂšcle. Les mathĂ©mathiques modernes doivent encore beaucoup Ă  ces concepts, et utilisent encore le formalisme de Leibniz de façon courante et mĂȘme celui de Newton en physique. Et c’est pourquoi, Newton et Leibniz, au-delĂ  de leurs querelles, sont considĂ©rĂ©s comme les fondateurs du calcul infinitĂ©simal.

  • Portail des mathĂ©matiques Portail des mathĂ©matiques
Ce document provient de « Histoire du calcul infinit%C3%A9simal ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Histoire Du Calcul Infinitésimal de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Histoire du calcul infinitĂ©simal — La crĂ©ation du calcul infinitĂ©simal est liĂ©e Ă  une polĂ©mique entre deux mathĂ©maticiens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz. NĂ©anmoins, son histoire est trĂšs vaste, d ArchimĂšde Ă  Barrow en passant par Fermat. Sommaire 1 AntiquitĂ©… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Calcul InfinitĂ©simal — Le calcul infinitĂ©simal (ou calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral) est une branche des mathĂ©matiques, dĂ©veloppĂ©e Ă  partir de l algĂšbre et de la gĂ©omĂ©trie, qui implique deux idĂ©es majeures complĂ©mentaires : La notion de diffĂ©rentielle, qui Ă©tablit… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Calcul infinitĂ©simal — Le calcul infinitĂ©simal (ou calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral) est une branche des mathĂ©matiques, dĂ©veloppĂ©e Ă  partir de l algĂšbre et de la gĂ©omĂ©trie, qui implique deux idĂ©es majeures complĂ©mentaires : La notion de diffĂ©rentielle, qui Ă©tablit… 
   WikipĂ©dia en Français

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire — L’expression «calcul infinitĂ©simal» dĂ©signe habituellement l’ensemble des notations et des mĂ©thodes fondamentales du calcul diffĂ©rentiel, du calcul intĂ©gral et du calcul des variations, tel qu’il a Ă©tĂ© mis au point au cours des XVIIe et XVIIIe… 
   EncyclopĂ©die Universelle

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul Ă  une variable — CrĂ©Ă©e au XVIIe siĂšcle par Newton, Leibniz et leurs prĂ©dĂ©cesseurs immĂ©diats, transformĂ©e au XVIIIe, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, dĂ©barrassĂ©e, sous la Restauration, de sa mĂ©taphysique par le baron Cauchy, l’analyse… 
   EncyclopĂ©die Universelle

  • Histoire De L'analyse — L histoire de l analyse se dĂ©roule principalement dans les quelques derniers siĂšcles. Cependant, dans l AntiquitĂ© et au Moyen Âge respectivement, les mathĂ©maticiens grecs et indiens se sont intĂ©ressĂ©s Ă  l infinitĂ©simal et ont obtenu des rĂ©sultats 
   WikipĂ©dia en Français

  • Calcul diffĂ©rentiel — Calcul infinitĂ©simal Le calcul infinitĂ©simal (ou calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral) est une branche des mathĂ©matiques, dĂ©veloppĂ©e Ă  partir de l algĂšbre et de la gĂ©omĂ©trie, qui implique deux idĂ©es majeures complĂ©mentaires : La notion de… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral — Calcul infinitĂ©simal Le calcul infinitĂ©simal (ou calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral) est une branche des mathĂ©matiques, dĂ©veloppĂ©e Ă  partir de l algĂšbre et de la gĂ©omĂ©trie, qui implique deux idĂ©es majeures complĂ©mentaires : La notion de… 
   WikipĂ©dia en Français


Share the article and excerpts

Direct link

 Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.