Gradient

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Gradient
Les lignes bleues représentent le gradient de couleur du plus clair vers le plus foncé

En physique et en analyse vectorielle, on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est un vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres.

Il est courant, selon la fa√ßon de noter des vecteurs, d'√©crire le gradient d'une fonction f ainsi :

\overrightarrow{\mathrm{grad}}~f ou \overrightarrow{\nabla} f

Souvent, en typographie, on pr√©f√®re mettre un caract√®re en gras pour afficher son caract√®re vectoriel :

\mathbf{grad}~f ou \mathbf{\nabla} ~f .

Le gradient est d'une importance capitale en physique, o√Ļ il fut d'abord employ√©. Utilis√© en th√©orie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la r√©solution d'√©quations aux d√©riv√©es partielles. Il peut √™tre int√©ressant d'en voir certains exemples avant d'en donner une d√©finition plus math√©matique.

Sommaire

Le gradient de température

Article d√©taill√© : Gradient thermique adiabatique.

Gradient dans une seule direction (dérivée)

Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que la température de la poutre n'est pas constante et qu'elle varie de façon croissante de la gauche vers la droite. A ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, c'est-à-dire à une variation le long de la poutre de la température, cf. Conduction Thermique, loi de Fourier.

Si on part de l'extrémité gauche de la poutre avec une abscisse x = 0 et qu'on atteint l'autre extrémité de la poutre pour une abscisse x = L (la longueur de la poutre), on définit la température en un point x qu'on écrit T(x). La température T est dite fonction de x.

Entre deux points tr√®s proches, distants d'une longueur őīx, on mesure un √©cart de temp√©rature őīT. Au sens usuel, le gradient (de temp√©rature) est justement le rapport entre ces deux grandeurs

\operatorname{grad} \ {T} = \frac{\delta T}{\delta x} .

Au sens analytique (math√©matique), on parle de gradient si cette grandeur admet une limite quand őīx tend vers 0, limite not√©e

\nabla T(x) = T'(x) = \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}(x) .

Propriétés

  • Ce rapport a un signe, ce qu'on traduit par un sens. Dans le cas qui nous int√©resse, il fait plus froid √† gauche de la poutre qu'√† droite, donc le gradient est positif puisqu'on parcourt aussi la poutre de gauche √† droite par l'abscisse x.
  • En dimension 1, il y a convergence de la notion de gradient et de d√©riv√©e
  • En physique, il est aussi int√©ressant de noter que ce gradient est homog√®ne √† une temp√©rature divis√©e par une distance (gradient mesur√© en K m ‚ąí 1), ou plus usuellement en ¬įC/m.

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel

En r√©alit√©, la temp√©rature de la poutre varie en fonction d'un d√©placement dans l'espace. On caract√©rise un point de l'espace, M, en fonction de ses coordonn√©es \scriptstyle \vec u=(x,y,z). De m√™me que pr√©c√©demment, on d√©crit la temp√©rature comme fonction : T(x,y,z).

Pour chacune de ces directions, on peut √©crire une variation, dite partielle. Si, tout en √©tant en 3D, on ne se d√©place que selon un axe, par exemple selon les ordonn√©es y, alors on peut r√©√©crire la m√™me formule que pr√©c√©demment sur l'accroissement de temp√©rature. Cependant, pour marquer la variation, on passe par l'√©criture en d√©riv√©e partielle (dite "ronde") plut√īt que par la d√©riv√©e unidimensionnelle (dite droite). On √©crit par exemple la variation le long de y ainsi l'approximation (dite du premier ordre) :

T(x,y + \delta y, z) = T(x,y,z) + \frac{\partial T}{\partial y} \delta y .

On se d√©place dans la poutre d'un point M √† un point M' tels qu'ils d√©finissent le vecteur :

 \vec{h} = \overrightarrow{MM'} = (h_x,h_y,h_z).

De M à M', la température passe de la T(x,y,z) à T(x + hx,y + hy,z + hz). En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de \scriptstyle \vec het s'exprime comme somme des variations liées à chacune des composantes de \scriptstyle \vec h

T(x+h_x,y+h_y,z+h_z) = T(x,y,z) + \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z) h_x + \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z) h_y + \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z) h_z

On crée alors un vecteur appelé gradient de température

\mathbb{\nabla} T(x,y,z) = \left(\frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z) \right)

Notez que c'est bien un vecteur. Dans ce cas, on peut réécrire la relation précédente sous la forme

T(\vec u + \vec h) = T(\vec u) + \mathbf{\nabla} T(\vec u) \cdot \vec h + o(\vec h)

Ou "\cdot" est le produit scalaire usuel de \mathbb{R}^3 et le symbole o(\vec {h}) signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à \vec{h}.

Propriétés

  • le gradient est un vecteur de m√™me dimension que l'espace sur lequel porte la temp√©rature (ici \mathbb{R}^3) alors que la temp√©rature est fonction de support √† trois dimension mais √† valeur r√©elle scalaire (i.e. la temp√©rature en un point est un nombre, pas un vecteur).
  • la direction du (vecteur) gradient d√©finit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D
  • la norme du gradient est toujours homog√®ne √† K.m ‚ąí 1

Introduction par les éléments différentiels

Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple on examine le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Consid√©rons dans le plan (xOy‚ÄČ) un rectangle de c√īt√© x et y. Sa surface est √©gale √† xy et d√©pend des coordonn√©es x et y du point M. En suivant une d√©marche intuitive, on convient de noter par dx une tr√®s petite variation de la variable x. Lorsqu'on fait subir au point M un d√©placement tr√®s faible, la surface va changer et on peut √©crire que :

\mathrm S + \mathrm{dS} =(x + \mathrm dx) \cdot (y+\mathrm dy)= x \cdot y +x \cdot \mathrm dy + y \cdot \mathrm dx + \mathrm dx \cdot \mathrm dy

On en déduit facilement que

\mathrm{dS} = y \cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy + \mathrm dx \cdot \mathrm dy

Une simple application num√©rique o√Ļ x et y seraient des m√®tres et dx et dy des centim√®tres illustre que dx‚čÖdy est n√©gligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut math√©matique pr√©cis aux notations dx et dy (qui sont des formes diff√©rentielles), et √† la quantit√© dx‚čÖdy qui est alors du second ordre. Le calcul pr√©c√©dent est en fait un calcul de d√©veloppement limit√© √† l'ordre 1, faisant intervenir les d√©riv√©es premi√®res de la fonction xy par rapport aux deux variables.

On √©crit donc :

 \mathrm{dS} = (x + \mathrm dx) \cdot (y + \mathrm dy) - x \cdot y = y \cdot \mathrm dx + x \cdot \mathrm dy = (y,x) \cdot (\mathrm dx, \mathrm dy) = \overrightarrow \nabla \mathrm S \cdot \overrightarrow{\mathrm{dOM}}
 \overrightarrow\nabla \mathrm S \cdot \overrightarrow{\mathrm{dOM}} = (y \vec i + x \vec j) \cdot (\mathrm dx \vec i+ \mathrm dy \vec j) = \left( \frac{\partial(xy)}{\partial x} \vec i + \frac{\partial(xy)}{\partial y} \vec j \right) \cdot (\mathrm dx \vec i+ \mathrm dy \vec j).

Toutes ces √©galit√©s sont diff√©rentes fa√ßons d'√©crire‚Ķ un produit scalaire de deux vecteurs :

 \mathrm{dS} = (x + \mathrm dx) \cdot (y + \mathrm dy) - x \cdot y = y \cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy = \mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{\mathrm{dOM}} = \overrightarrow\nabla (xy) \cdot \overrightarrow{\mathrm{dOM}}
o√Ļ
\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy) = (y,x).

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

 (y \vec i + x \vec j ) \cdot (\mathrm dx \vec i + \mathrm dy \vec j) =0 pour : ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.
tracé du gradient de surface et d'une courbe d'isosurface

Ceci donnera en √©lectrostatique les courbes de m√™me potentiel : les ¬ę √©quipotentielles ¬Ľ.

Définition mathématique

Gradient d'une fonction réelle définie sur un espace euclidien

Contexte

Soit E un espace vectoriel euclidien et soit U un ouvert de E. Soit f : U \mapsto \mathbb{R} une fonction diff√©rentiable. Soit a un √©l√©ment de U. On note alors \mathcal{D}_a f la diff√©rentielle en a, qui est une forme lin√©aire sur E. On note (\mathcal{D}_a f,u) l'image par cette diff√©rentielle d'un vecteur u de E.

Existence et unicité

En application du th√©or√®me de repr√©sentation de Riesz en dimension finie, on sait qu'il existe un vecteur A tel que pour tout vecteur u de E, (\mathcal{D}_a f,u) = \langle A \mid u \rangle, o√Ļ l'on a not√© \langle \cdot \mid \cdot \rangle\,\! le produit scalaire dans E.

Le vecteur A est appel√© gradient de f en a, et il est not√© \nabla_a f. Il v√©rifie donc :

\forall u \in E, \langle \nabla_a f \mid u \rangle = ( \mathcal{D}_a f, u ) .

Expression canonique (dérivées partielles)

Puisque le gradient est lui-même un vecteur de E, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée (e1,...,en) de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme

\nabla_a f = \sum_{i=1}^n\left[\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(a\right)\mathbf{e}_i\right]

Par exemple, en dimension 3, on obtient :

\nabla_a f = \frac{\partial f}{\partial x}(a) \mathbf{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}(a) \mathbf{e}_y + \frac{\partial f}{\partial z}(a) \mathbf{e}_z

Changement de base

Lors d'un changement de base, au travers d'un C1-difféomorphisme de E, l'écriture du gradient suit les règles usuelles des changements de base.

Attention, il ne faut pas confondre changement de base pour l'expression d'une fonction √©crite en notations cart√©siennes (canoniques) et √©criture du gradient adapt√©e √† une notation autre. Par exemple pour une fonction exprim√©e en coordonn√©es polaires on calcule l'√©criture "polaire" du gradient en partant d'une fonction explicit√©e en fonction de l'abscisse polaire (ŌĀ) et de l'argument (őł) f(ŌĀ,őł).

\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta}
+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}
\nabla f
= \frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta}
+ \frac{1}{\rho \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi}

les vecteurs de type \mathbf{e}_r sont des vecteurs propres aux coordonnées polaires

Cas général

Gradient et espace de Hilbert

Soit (H,\langle.,.\rangle)\,\! un espace de Hilbert, de dimension finie ou non. Soit U un ouvert de H et f : U \mapsto \mathbb{R}. Si f est diff√©rentiable en a \in U, alors puisque \mathcal{D}_a f est par d√©finition une forme lin√©aire continue sur H, d'apr√®s le th√©or√®me de repr√©sentation de Riesz il existe un vecteur v \in H tel que

\forall h \in H, \mathcal{D}_a f(h) = \langle v , h \rangle

Le vecteur v est appelé gradient de f en a, et est noté généralement \nabla f(a).

Gradient et variété riemanniene

On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une variété riemannienne (M, g). Le gradient de ƒ en a est alors un vecteur tangent à la variété en a, défini par

\forall h \in \mathrm T_a \mathrm M \qquad \mathrm df (a) \left ( h \right ) = g \left ( \nabla f \big| h \right ).

Enfin, si ∆í est un champ scalaire ind√©pendant du syst√®me de coordonn√©es, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa d√©riv√©e partielle est √©gale √† sa d√©riv√©e covariante : (\nabla f)_i = \partial_i f = f_{,i} = f_{;i}. En coordonn√©es contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appel√© gradient de f :

(\nabla f)^i = g^{ij}~f_{;j}

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque.

Développement limité

Si une application admet un gradient en un point, alors on peut écrire ce développement limité du premier ordre

f(x+\mathbf{h}) = f(x) + \mathbf{\nabla} f  \mathbf(x)\cdot {h} + o(\mathbf{h})

Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3

Classiquement, on sait que le gradient permet de définir "la normale aux courbes de niveau", ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.

Dimension 2 : gradient normal √† une courbe en un point, droite tangente

On consid√®re f : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R} contin√Ľment diff√©rentiable. Soit une courbe d√©finie par l'√©quation f(u) = k, o√Ļ k est une constante. Alors, en un point v donn√© de cette courbe, le gradient s'il existe et n'est pas nul, donne la direction de la normale √† la courbe en ce point v. La droite tangente √† la courbe est alors orthogonale au gradient et passe par v.

Dimension 3 : gradient normal √† une surface en un point, plan tangent

Soit une application f : \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R} contin√Ľment diff√©rentiable. Soit une surface d√©finie par l'√©quation f(u) = k, o√Ļ k est une constante. Alors, en un point v donn√© de cette surface, le gradient s'il existe et n'est pas nul, donne la direction de la normale √† la surface en ce point v : le plan tangent √† la surface est alors orthogonal au gradient et passe par v.

Gradient et convexité

Soit une application f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} (n \in \{ 2, 3 \} par exemple) contin√Ľment diff√©rentiable. Si l'application \mathbf{\nabla} f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^n est monotone (resp. strictement monotone), alors f est convexe (resp. strictement convexe). C'est-√†-dire, en utilisant la caract√©risation par les cordes :

\forall (u,v) \in \left(\mathbb{R}^3\right)^2, \mathbf{\nabla}_u f \cdot \mathbf{\nabla}_v f \geq 0 \Rightarrow \forall (u,v,\lambda) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times [0,1], f(\lambda u+(1-\lambda)v) \leq \lambda f(u)+(1-\lambda) f(v)

Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même quand f n'est pas deux fois différentiable.

Si f est deux fois différentiable, le Hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.

Cas de la dimension 1

La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe, dans le second de fonction concave.

Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du Hessien).

Relations vectorielles

En analyse vectorielle, le gradient peut √™tre combin√© √† d'autres op√©rateurs. Soit f une fonction d√©crivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe C2 par rapport √† chaque param√®tre, alors :

\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla f \right) = \nabla \frac{\partial f}{\partial t} ;
\mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f ;
\overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \overrightarrow{0}.

Sources et références

  • (en) Fundamentals of Differential Geometry, Serge Lang, Springer
  • (en) Elementary Differential Geometry, Revised 2nd Edition, Second Edition, Barrett O'Neill, (ISBN 9780120887354)

Voir aussi

Articles connexes

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  • gradient ‚ÄĒ [n] slope acclivity, angle, bank, cant, declivity, grade, hill, inclination, incline, lean, leaning, pitch, ramp, rise, slant, tilt; concepts 738,757 ‚Ķ   New thesaurus

  • gradient ‚ÄĒ ‚Ėļ NOUN 1) a sloping part of a road or railway. 2) the degree of a slope, expressed as change of height divided by distance travelled. 3) Physics a change in the magnitude of a property (e.g. temperature) observed in passing from one point or… ‚Ķ   English terms dictionary

  • gradient ‚ÄĒ [grńĀ‚Ä≤dńď …ônt] adj. [L gradiens (gen. gradientis), prp. of gradi, to step: see GRADE] ascending or descending with a uniform slope n. 1. a) a slope, as of a road or railroad b) the degree of such slope 2. Biol. a gradation in rate of growth,… ‚Ķ   English World dictionary


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