Geometrie arguesienne

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Geometrie arguesienne

Géométrie arguésienne

En gĂ©omĂ©trie synthĂ©tique, la gĂ©omĂ©trie arguĂ©sienne est une « construction Â» simple (due Ă  Desargues), basĂ©e sur l'introduction d'Ă©lĂ©ments impropres, pour faire entrer la gĂ©omĂ©trie affine[1] (et le parallĂ©lisme) dans le moule de la gĂ©omĂ©trie projective.

Sommaire

Introduction

Le premier axiome de la gĂ©omĂ©trie projective Ă©nonce (entre autres) :

Deux droites coplanaires[2] ont un point commun.

En revanche, l'axiome du parallĂ©lisme de la gĂ©omĂ©trie affine (une formulation simplifiĂ©e de cinquiĂšme postulat de la gĂ©omĂ©trie d'Euclide) est :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallÚle à cette droite, et une seule.

Il semble donc que géométrie projective et géométrie affine sont inconciliables puisque par définition.

Deux droites sont parallĂšles lorsqu'elles sont coplanaires et sans intersection.

En réalité, il n'en est rien.

Description

La gĂ©omĂ©trie arguĂ©sienne est un moyen de concilier gĂ©omĂ©trie affine et gĂ©omĂ©trie projective :

ParallĂšles

Desargues a redĂ©fini la notion de parallĂ©lisme en introduisant les Ă©lĂ©ments impropres[3] : point impropre (assimilable au point de fuite), droite ou plan impropres. Il va de soi que les Ă©lĂ©ments d'une forme impropre sont impropres. La gĂ©omĂ©trie arguĂ©sienne se caractĂ©rise donc par la distinction d'Ă©lĂ©ments impropres. La dĂ©finition du parallĂ©lisme devient :

Deux droites, deux plans, ou encore une droite et un plan sont parallĂšles lorsque leur intersection est impropre.

En gĂ©omĂ©trie projective (en gĂ©omĂ©trie elliptique Ă©galement), il n'y pas de points impropres donc pas de parallĂ©lisme. En revanche, on y construit de nouvelles gĂ©omĂ©tries et tout d'abord la gĂ©omĂ©trie affine en deux Ă©tapes fort simples :

  1. on définit des points impropres
  2. on les supprime

La caractĂ©risation des Ă©lĂ©ments impropres en gĂ©omĂ©trie affine est :

Les éléments impropres appartiennent à un unique plan impropre.

Toute droite (propre) possĂšde un unique point impropre.

L'Ă©limination des points consiste Ă  dire : « on transforme une droite projective en une droite affine en lui ĂŽtant son point impropre. Â». On retrouve alors immĂ©diatement l'axiome du parallĂ©lisme de la gĂ©omĂ©trie affine. De plus, le point impropre supprimĂ© est assimilable Ă  la direction de ses droites.

L'on peut Ă©galement recourir au Ă©lĂ©ments impropres pour caractĂ©riser le parallĂ©lisme de la gĂ©omĂ©trie hyperbolique ; mais cette derniĂšre n'est pas entiĂšrement compatible avec la gĂ©omĂ©trie projective.


Conclusion

La notion d'Ă©lĂ©ment impropre n'est pas nĂ©cessaire Ă  la gĂ©omĂ©trie projective ; mais sert de "passerelle" entre cette gĂ©omĂ©trie et la gĂ©omĂ©trie affine. La suppression des Ă©lĂ©ments impropres est comparable Ă  une ouverture (au sens topologique) de l'espace. Inversement la gĂ©omĂ©trie projective s'apparente Ă  une fermeture de la gĂ©omĂ©trie affine.

De plus la construction arguĂ©sienne permet une rĂ©Ă©criture[4], une transposition rapide des thĂ©orĂšmes de la gĂ©omĂ©trie projective (le thĂ©orĂšme de Desargues en premier lieu). Paradoxalement, on s'aperçoit vite du caractĂšre simplificateur de la gĂ©omĂ©trie projective qui nous dĂ©barrasse des singularitĂ©s du parallĂ©lisme (appelĂ©es « dĂ©gĂ©nĂ©rescences Â»).

Notes

  1. ↑ Cette gĂ©omĂ©trie est notre gĂ©omĂ©trie familiĂšre (Ă©purĂ©e) puisque la gĂ©omĂ©trie euclidienne est affine.
  2. ↑ c'est Ă  dire qu'elles appartiennent Ă  un mĂȘme plan.
  3. ↑ ces Ă©lĂ©ments sont souvent dits « Ă  l'infini Â».
  4. ↑ de la mĂȘme maniĂšre que la dualitĂ©

Références

  • Paul Rossier, GĂ©omĂ©trie synthĂ©tique moderne, Vuibert, 1961 
  • Portail de la gĂ©omĂ©trie Portail de la gĂ©omĂ©trie
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