Geometrie

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Geometrie

Géométrie

La gĂ©omĂ©trie est la partie des mathĂ©matiques qui Ă©tudie les figures de l'espace de dimension 3 (gĂ©omĂ©trie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siĂšcle, aux figures de d'autres types d'espaces (gĂ©omĂ©trie projective, gĂ©omĂ©trie non euclidienne, par exemple). Certaines mĂ©thodes d'Ă©tude de figures de ces espaces se sont transformĂ©es en branches autonomes des mathĂ©matiques : topologie, gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle, et gĂ©omĂ©trie algĂ©brique, par exemple.

Il est donc difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie de maniÚre à englober toutes ces géométries, l'unité de ces géométries étant dans leur origine historique plutÎt que dans leurs méthodes ou leurs objets.

Obtention de la section conique par la projection de deux sphĂšres de diamĂštres distincts.

Sommaire

Étymologie

Le terme gĂ©omĂ©trie dĂ©rive du grec de ÎłÎ”Ï‰ÎŒÎ­Ï„ÏÎ·Ï‚ (geĂŽmetrĂȘs) qui signifie « gĂ©omĂštre, arpenteur Â» et vient de γῆ (gĂȘ) (« terre Â») et ÎŒÎ­Ï„ÏÎżÎœ (mĂ©tron) « mesure Â»). Ce serait donc « la science de la mesure du terrain Â».

Grandes divisions de la géométrie

Sans qualificatif particulier et sans rĂ©fĂ©rence Ă  un contexte particulier (par opposition Ă  la gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle ou la gĂ©omĂ©trie algĂ©brique), la gĂ©omĂ©trie ou encore gĂ©omĂ©trie classique englobe principalement :

Ces gĂ©omĂ©tries peuvent ĂȘtre gĂ©nĂ©ralisĂ©es en faisant varier, le nombre de dimensions des espaces, en changent les corps des scalaires (ce qui gĂ©nĂ©ralise les nombres rĂ©els) ou donnant une courbure Ă  l'espace.

La gĂ©omĂ©trie classique peut ĂȘtre axiomatisĂ©e ou Ă©tudiĂ©e de diffĂ©rentes façons (dans l'ordre historique) :

  • La gĂ©omĂ©trie synthĂ©tique (ou gĂ©omĂ©trie pure), qui utilise une approche axiomatique ayant gĂ©nĂ©ralement comme donnĂ©es premiĂšres les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leurs sont associĂ©es ;
  • La gĂ©omĂ©trie analytique, qui utilise les coordonnĂ©es et qui associe Ă  chaque point des triplet (ou une suite de longueur donnĂ©e) d'Ă©lĂ©ments d'un corps ;
  • L'algĂšbre linĂ©aire, qui gĂ©nĂ©ralise la gĂ©omĂ©trie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnĂ©es par celle des espaces vectoriels abstraits ;
  • Les reprĂ©sentations de groupe qui Ă©tudient les invariants sous une action de groupe, ce qui a permis Ă  Felix Klein dans son programme d'Erlangen de classer les diffĂ©rents type de gĂ©omĂ©tries classiques leur donnant une certaine unitĂ©.

Il y a d'autres branches des mathĂ©matiques qui sont issues de l'Ă©tude des figures des espaces euclidiens, mais qui Ă©tudient maintenant des espaces qui ne sont pas nĂ©cessairement euclidiens :

Les diffĂ©rents espaces de la gĂ©omĂ©trie classiques peuvent ĂȘtre Ă©tudiĂ©s par la topologie, la gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle et la gĂ©omĂ©trie algĂ©brique.

Conception de la géométrie

La gĂ©omĂ©trie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la gĂ©omĂ©trie est « l'Ă©tude des formes et des grandeurs de figures Â»[1]. Cette dĂ©finition est conforme Ă  l'Ă©mergence de la gĂ©omĂ©trie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'Ă©poque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane[2], cette dĂ©finition coĂŻncide avec l'idĂ©e que se font les gens de la gĂ©omĂ©trie comme matiĂšre enseignĂ©e : c'est « le lieu oĂč on apprend Ă  apprĂ©hender l'espace Â».

Les questions posĂ©es durant le XIXe siĂšcle ont conduit Ă  repenser la notion de formes et d'espace, en Ă©cartant la rigiditĂ© des distances euclidiennes. Il Ă©tĂ© envisagĂ© la possibilitĂ© de dĂ©former continument une surface sans prĂ©server la mĂ©trique induite, par exemple de dĂ©former une sphĂšre en un ellipsoĂŻde. Étudier ces dĂ©formations a conduit Ă  l'Ă©mergence de la topologie[rĂ©f. nĂ©cessaire] : ses objets d'Ă©tude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximitĂ© et de continuitĂ© est dĂ©finie "ensemblistiquement" par la notion de voisinage. Selon certains mathĂ©maticiens, la topologie fait pleinement partie de la gĂ©omĂ©trie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut ĂȘtre remise en cause par d'autres.

Selon le point de vue de Felix Klein (1849 - 1925), la gĂ©omĂ©trie analytique « synthĂ©tisait en fait deux caractĂšres ultĂ©rieurement dissociĂ©s : son caractĂšre fondamentalement mĂ©trique, et l'homogĂ©nĂ©itĂ© Â»[3]. Le premier caractĂšre se retrouve dans la gĂ©omĂ©trie mĂ©trique, qui Ă©tudie les propriĂ©tĂ©s gĂ©omĂ©triques des distances. Le second est au fondement du programme d'Erlangen, qui dĂ©finit la gĂ©omĂ©trie comme l'Ă©tude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de gĂ©omĂ©trie, tendent Ă  remettre en cause la premiĂšre dĂ©finition donnĂ©e. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz[4], la gĂ©omĂ©trie ne se construit pas sur « la simple rĂ©fĂ©rence Ă  l'espace, ni mĂȘme [sur] la figuration ou [sur] la visualisation Â» mais se comprend Ă  travers son dĂ©veloppement : « la gĂ©omĂ©trie est absorbĂ©e mais en mĂȘme temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial Â». Jean-Jacques Sczeciniarcz relĂšve deux mouvements dans la recherche mathĂ©matique qui a conduit Ă  un Ă©largissement ou Ă  un morcellement de la gĂ©omĂ©trie :

  • La procĂ©dure d'idĂ©alisation consistant Ă  montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathĂ©matiques dĂ©jĂ  Ă©tudiĂ©s ;
  • Au contraire, la procĂ©dure de thĂ©matisation consistant Ă  dĂ©gager une nouvelle structure sous-jacente Ă  des objets gĂ©omĂ©triques dĂ©jĂ  Ă©tudiĂ©s.

Dans le prolongement, la gĂ©omĂ©trie peut ĂȘtre abordĂ©e non plus comme une discipline unifiĂ©e mais comme une vision des mathĂ©matiques ou une approche des objets. Selon GĂ©rhard Heinzmann[5], la gĂ©omĂ©trie se caractĂ©rise par « un usage de termes et de contenus gĂ©omĂ©triques, comme, par exemple, « points Â», « distance Â» ou « dimension Â» en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers Â», accompagnĂ© par un Ă©quilibre entre une approche empirique et une approche thĂ©orique.

Histoire

Article dĂ©taillĂ© : Histoire de la gĂ©omĂ©trie.

Géométrie classique

Pour Henri PoincarĂ©[6], l’espace gĂ©omĂ©trique possĂšde les propriĂ©tĂ©s suivantes:

  1. Il est continu
  2. Il est infini
  3. Il a trois dimensions
  4. Il est homogùne, c’est-à-dire que tous ses points sont identiques entre eux
  5. Il est isotrope, c’est-Ă -dire que toutes les droites qui passent par un mĂȘme point sont identiques entre elles.

Les géométries euclidienne et non euclidienne correspondent à cette définition stricto sensu de l'espace. Construire une telle géométrie consiste à énoncer les rÚgles d'agencement des quatre objets fondamentaux le point, la droite, le plan et l'espace. Ce travail reste l'apanage de la géométrie pure qui est la seule à travailler ex nihilo.

Géométrie plane

La gĂ©omĂ©trie plane repose d'abord sur une axiomatique qui dĂ©finit l'espace ; puis sur des mĂ©thodes d'intersections, de transformations et de constructions de figures (triangle, parallĂ©logramme, cercle, sphĂšre, etc.).

La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun[7] pour les autres géométries. Elle est fondée sur des axiomes

  1. d'incidence (ou d'appartenance) dont la caractĂ©ristique la plus notable (et la plus singuliĂšre) est : « Deux droites coplanaires possĂšdent un unique point commun. Â»
  2. d'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une droite projective s'apparente Ă  un cercle car deux points dĂ©finissent deux segments.
  3. de continuitĂ© : Ainsi, dans tout espace gĂ©omĂ©trique, l'on peut joindre un point Ă  un autre par un cheminement continu. En gĂ©omĂ©trie euclidienne, cette axiome est l'axiome d'ArchimĂšde.
ParallĂ©lisme 

Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la géométrie arguésienne. Puis la géométrie affine nait de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crÚe la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familiÚre la notion de sens ou orientation (c'est à dire, cela permet de distinguer \scriptstyle{ \overline{AB}} de \scriptstyle{\overline{BA}}[8]).

Congruence 
Géométries euclidienne et non-euclidiennes

Le cinquiĂšme axiome ou « postulat de parallĂšles Â» de la gĂ©omĂ©trie d'Euclide fonde la gĂ©omĂ©trie euclidienne :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallÚle à cette droite, et une seule.

Voir l'axiomatique de Hilbert ou les ÉlĂ©ments d'Euclide pour des Ă©noncĂ©s plus complet de la gĂ©omĂ©trie euclidienne.

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie euclidienne.

La rĂ©futation de ce postulat Ă  conduit Ă  l'Ă©laboration de deux gĂ©omĂ©tries non euclidiennes : la gĂ©omĂ©trie hyperbolique par Gauss, Lobatchevsky, Bolyai et la gĂ©omĂ©trie elliptique par Riemann.

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie non euclidienne.

Géométrie analytique

La géométrie analytique est la plus familiÚre. Elle repose sur le principe de base que toute droite est assimilable à une représentation (une image) de l'ensemble des réels (ou plus largement, d'un corps. L'espace est alors décomposable en sous-espaces et un point est définissable par des coordonnées. Il s'ensuit que toute figure est déterminée par un systÚme d'équations et/ou d'inéquations. Par exemple, une courbe est la représentation d'une fonction. L'on voit ainsi que cette approche, issue de l'algÚbre linéaire et basée sur la notion d'espace vectoriel, est à un pont entre la géométrie et l'analyse.

Cette gĂ©omĂ©trique est conforme Ă  la gĂ©omĂ©trie pure dans le sens oĂč l'espace vectoriel permet de construire des modĂšles de gĂ©omĂ©tries (en tant qu'objets mathĂ©matiques).

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie analytique.

Programme d'Erlangen

Dans la conception de Felix Klein (auteur de programme d'Erlangen), la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opÚrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.

Parmi les transformations les plus connues, on retrouve les isométries, les similitudes, les rotations, les réflexions, les translations et les homothéties.

Il ne s'agit donc pas d'une discipline mais d'un important travail de synthÚse qui a permis une vision claire des particularités de chaque géométrie. Ce programme caractérise donc plus la géométrie qu'il ne la fonde. Il eut un rÎle médiateur dans le débat sur la nature des géométries non-euclidiennes et la controverse entre géométries analytique et synthétique.

Article dĂ©taillĂ© : Programme d'Erlangen.

Domaines de recherche relevant de la géométrie

Géométrie riemannienne

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie riemannienne.

La gĂ©omĂ©trie riemannienne peut ĂȘtre vue comme une extension de la gĂ©omĂ©trie euclidienne. Son Ă©tude porte sur les propriĂ©tĂ©s gĂ©omĂ©triques d'espaces (variĂ©tĂ©s) prĂ©sentant une notion de vecteurs tangents, et Ă©quipĂ©s d'une mĂ©trique (mĂ©trique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrĂ©s sont les surfaces de l'espace euclidien de dimension 3 dont les propriĂ©tĂ©s mĂ©triques ont Ă©tĂ© Ă©tudiĂ©es par Gauss dans les annĂ©es 1820. Le produit euclidien induit une mĂ©trique sur la surface Ă©tudiĂ©e par restriction aux diffĂ©rents plans tangents. La dĂ©finition intrinsĂšque de mĂ©trique fut formalisĂ©e en dimension supĂ©rieure par Riemann. La notion de transport parallĂšle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variĂ©tĂ© : elle vise Ă  transporter de maniĂšre cohĂ©rente un vecteur le long d'une courbe tracĂ©e sur la variĂ©tĂ© riemannienne. La courbure d'une variĂ©tĂ© riemannienne mesure par dĂ©finition la dĂ©pendance Ă©ventuelle du transport parallĂšle d'un point Ă  un autre par rapport Ă  la courbe les reliant.

La mĂ©trique donne lieu Ă  la dĂ©finition de la longueur des courbes, d'oĂč dĂ©rive la dĂ©finition de la distance riemannienne. Mais les propriĂ©tĂ©s mĂ©triques des triangles peuvent diffĂ©rer de la trigonomĂ©trie euclidienne. Cette diffĂ©rence est en partie Ă©tudiĂ©e Ă  travers le thĂ©orĂšme de comparaison de Toponogov, qui permet de comparer du moins localement la variĂ©tĂ© riemannienne Ă©tudiĂ©e Ă  des espaces modĂšles, selon des inĂ©galitĂ©s supposĂ©es connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modĂšles :

  • L'espace euclidien est une variĂ©tĂ© riemannienne de courbure nulle ;
  • La sphĂšre de dimension n sont une variĂ©tĂ© riemannienne de courbure positive constante 1 ;
  • L'espace hyperbolique de dimension n est une variĂ©tĂ© riemannienne de courbure nĂ©gative -1.

Géométrie complexe

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie complexe.

La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à \mathbb C^n. Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables.

Géométries symplectique et de contact

La gĂ©omĂ©trie symplectique peut ĂȘtre introduite comme une gĂ©nĂ©ralisation en dimension supĂ©rieure de la notion d'aire rencontrĂ©e en dimension 2. Tout comme la gĂ©omĂ©trie complexe, ses objets Ă©tudiĂ©s, les variĂ©tĂ©s symplectiques, sont suffisamment rigides

Géométries discrÚte et convexe

Articles dĂ©taillĂ©s : GĂ©omĂ©trie discrĂšte et GĂ©omĂ©trie convexe.

Géométries algébrique et arithmétique

Géométrie non commutative

Article dĂ©taillĂ© : GĂ©omĂ©trie non commutative.

Applications de la géométrie

Longtemps, gĂ©omĂ©trie et astronomie ont Ă©tĂ© liĂ©es. À un niveau Ă©lĂ©mentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives Ă  la Terre fait appel au thĂ©orĂšme de ThalĂšs[rĂ©f. nĂ©cessaire]. Dans les premiers modĂšles du systĂšme solaire, Ă  chaque planĂšte Ă©tait associĂ© un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmĂ©es par les travaux de Newton, il est prouvĂ© que les planĂštes suivent une orbite elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considĂ©rations de nature gĂ©omĂ©trique peuvent intervenir couramment en mĂ©canique classique pour dĂ©crire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un systÚme mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la premiÚre étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie.

La trigonomĂ©trie euclidienne intervient en optique pour traiter par exemple de la diffraction de la lumiĂšre. Elle est Ă©galement Ă  l'origine du dĂ©veloppement de la navigation : navigation maritime aux Ă©toiles (avec les sextants), cartographie, navigation aĂ©rienne (pilotage aux instruments Ă  partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancĂ©es en gĂ©omĂ©trie au XIXe siĂšcle trouvent des Ă©chos en physique. Il est souvent dit que la gĂ©omĂ©trie riemannienne a Ă©tĂ© initialement motivĂ©e par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la gĂ©omĂ©trie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la gĂ©omĂ©trie lorentzienne, a fourni le formalisme idĂ©al pour formuler les lois de la relativitĂ© gĂ©nĂ©rale. La gĂ©omĂ©trie diffĂ©rentielle trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la thĂ©orie des cordes ou des membranes.

La géométrie non commutative, inventée par Alain Connes, tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Enseignement de la géométrie

La gĂ©omĂ©trie occupe une place privilĂ©giĂ©e dans l'enseignement des mathĂ©matiques. De nombreuses Ă©tudes pĂ©dagogiques prouvent son intĂ©rĂȘt[rĂ©f. nĂ©cessaire] : elle permet aux Ă©lĂšves de dĂ©velopper une rĂ©flexion sur des problĂšmes, de visualiser des figures du plan et de l'espace, de rĂ©diger des dĂ©monstrations, de dĂ©duire des rĂ©sultats d'hypothĂšses Ă©noncĂ©es. Mais plus encore, « le raisonnement gĂ©omĂ©trique est beaucoup plus riche que la simple dĂ©duction formelle Â», car il s'appuie sur l'intuition nĂ©e de l'« observation des figures Â».

Dans les annĂ©es 1960, l'enseignement des mathĂ©matiques en France insistait sur la mise en pratique des problĂšmes relevant de la gĂ©omĂ©trie dans la vie courante. En particulier, le thĂ©orĂšme de Pythagore Ă©tait illustrĂ© par la rĂšgle du 3,4,5 et son utilisation en charpenterie[rĂ©f. nĂ©cessaire]. Les involutions, les divisions harmoniques, et les birapports Ă©taient au programme du secondaire. Mais la rĂ©forme des mathĂ©matiques modernes, nĂ©e aux États-Unis, et adaptĂ©e en Europe, a conduit Ă  rĂ©duire considĂ©rablement les connaissances enseignĂ©es en gĂ©omĂ©trie pour introduire de l'algĂšbre linĂ©aire dans le second degrĂ©. Dans de nombreux pays, cette rĂ©forme fut fortement critiquĂ©e et dĂ©signĂ©e comme responsable d'Ă©checs scolaires[rĂ©f. nĂ©cessaire]. Un rapport de Jean-Pierre Kahane dĂ©nonce le manque d'« une vĂ©ritable rĂ©flexion didactique prĂ©alable Â» sur l'apport de la gĂ©omĂ©trie : en particulier, une « pratique de la gĂ©omĂ©trie vectorielle Â» prĂ©pare l'Ă©lĂšve Ă  une meilleure assimilation des notions formelles d'espace vectoriel, de forme bilinĂ©aire[rĂ©f. nĂ©cessaire], ...

L'utilisation des figures dans l'enseignement d'autres matiĂšres permet de mieux faire comprendre aux Ă©lĂšves les raisonnements exposĂ©s[rĂ©f. nĂ©cessaire].

Références

Ouvrages

  • Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Une histoire des mathĂ©matiques., Seuil-sciences, 1986. 
  • Jean-Paul Collette, Histoire des mathĂ©matiques, vol. 2, Vuibert, 1979 (ISBN 2-7613-0118-8) 
  • (fr) et (en) Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz (dir.), GĂ©omĂ©trie au XXe siĂšcle : histoire et horizons [dĂ©tail des Ă©ditions]
  • (fr) Jean-Pierre Kahane (ed.), L'enseignement des sciences mathĂ©matiques : Commission de rĂ©flexion sur l'enseignement des mathĂ©matiques [dĂ©tail des Ă©ditions]

Notes et références

  1. ↑ Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder, Atlas des mathĂ©matiques, Livre de Poche, p. 13.
  2. ↑ (fr) Jean-Pierre Kahane (ed.), L'enseignement des sciences mathĂ©matiques : Commission de rĂ©flexion sur l'enseignement des mathĂ©matiques [dĂ©tail des Ă©ditions], Chapitre 3, La GĂ©omĂ©trie, p. 92.
  3. ↑ Alain Michel, GĂ©omĂ©trisation de la thĂ©orie physique : sur la genĂšse d'un problĂšme. Dans (fr) et (en) Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz (dir.), GĂ©omĂ©trie au XXe siĂšcle : histoire et horizons [dĂ©tail des Ă©ditions]
  4. ↑ Jean-Jacques Szczeciniarz, Philosophie et gĂ©omĂ©trie : la montĂ©e de la gĂ©omĂ©trie, ses effets philosophiques. Dans (fr) et (en) Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz (dir.), GĂ©omĂ©trie au XXe siĂšcle : histoire et horizons [dĂ©tail des Ă©ditions].
  5. ↑ GĂ©rhard Heinzmann, La gĂ©omĂ©trie et le principe d'idonĂ©itĂ© : une relecture de Ferdinand Gonseth. Dans (fr) et (en) Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz (dir.), GĂ©omĂ©trie au XXe siĂšcle : histoire et horizons [dĂ©tail des Ă©ditions].
  6. ↑ Henri PoincarĂ©, La science est l'hypothĂšse, Champs Flammarion, 1902 
  7. ↑ jusqu'Ă  une certaine limite car certaines gĂ©omĂ©tries n'entrent pas dans ce cadre.
  8. ↑ Dans une certaine mĂ©sure et grossiĂšrement, cela permet Ă©galement de distinguer \scriptstyle{\widehat{AOB}} de \scriptstyle{\widehat{BOA}} ; l'intĂ©rieur de l'extĂ©rieur.

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