Force De Marée

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Force De Marée

Force de marée

La comète Shoemaker-Levy 9 en 1994 après avoir été brisée par les forces de marée de Jupiter au cours d'un passage précédent, en 1992.

La force de mar√©e est une cons√©quence de la non-uniformit√© de la force de gravitation exerc√©e sur un corps par l'ensemble des astres qui l'entourent. Notamment, le c√īt√© d'un corps le plus pr√®s d'un astre subit une plus grande force que le c√īt√© le plus √©loign√©. C'est cette variation de la force de gravitation en deux points d'un m√™me corps qui est appel√©e terme diff√©rentiel de mar√©e ou plus simplement force de mar√©e. Les forces de mar√©e engendrent des contraintes sur les corps impliqu√©s, ce qui les d√©forme ou peut m√™me les briser : la limite de Roche est la distance entre deux corps √† partir de laquelle le plus l√©ger se d√©sint√®gre.

Les forces de mar√©e sont une manifestation du caract√®re non galil√©en du r√©f√©rentiel g√©ocentrique. Elles sont dues aux forces d'inertie (en l'occurrence une force d'inertie d'entra√ģnement) agissant sur un corps √©tudi√© dans ce r√©f√©rentiel et se calculent en consid√©rant le mouvement de rotation du centre de la Terre dans le r√©f√©rentiel h√©liocentrique.

Sommaire

Système Terre-Lune

Les marées océaniques sur la planète Terre

La force de gravitation de la Lune √† la surface de la Terre diff√®re de l'effet moyen (sur le centre de la Terre), et est connu sous le nom de force g√©n√©ratrice des mar√©es. Sur cette figure, la Lune est loin √† gauche de la Terre‚ÄČ; √† gauche, la Lune est au-dessus du point (i.e., au z√©nith), son attraction est plus forte, et elle s'oppose √† l'attraction de la Terre ; √† droite, la Lune est au nadir, son attraction est plus faible, ce qui s'oppose aussi √† l'attraction de la Terre (en sens inverse). En haut et en bas de la figure, la Lune est √† l'horizon, son attraction est dirig√©e l√©g√®rement vers le sol, donc sa force renforce l'attraction nette de la Terre.

Les marées océaniques sont les grands mouvements des masses océaniques soumises à la gravitation lunaire et, dans une moindre mesure, celle du Soleil.

La force de gravitation exercée par un corps est une force proportionnelle à la masse de ce corps et à l'inverse du carré de la distance m/r² (pour la force exercée par la Lune sur la Terre, m est la masse de la Lune, r est la distance Terre-Lune). La force de marée étant un terme différentiel, elle est proportionnelle à la variation de la force de gravitation par rapport à la distance r, ce qui donne un effet proportionnel à m/r³. C'est cette proportionnalité qui explique que le Soleil, bien que beaucoup plus massif que la Lune, ait néanmoins un effet égal à seulement environ 45% de celui de la Lune car la distance Terre-Lune est bien plus petite que la distance Terre-Soleil.

Sous l'effet du mouvement relatif de la Lune par rapport à la Terre[1], la force de gravité qui est ressentie à la surface de la Terre varie continuellement. À ces changements, la masse liquide des océans se déforme pour retrouver son point d'équilibre. La modification est relativement faible parce que la Lune orbite relativement loin de la Terre et sa masse est assez faible. Néanmoins, sur une masse liquide et donc facilement déformable comme les océans, ce changement se traduit par une variation du niveau des eaux qui est connue sous le nom de marée.

L'amplitude théorique des marées océaniques est d'environ 1 mètre à l'équateur, mais leur valeur réelle diffère considérablement

  • d'abord par un ph√©nom√®ne complexe de r√©sonance. La p√©riode propre des oc√©ans est relativement longue, environ 30 heures (alors que celui de la cro√Ľte terrestre est d'environ 57 minutes). Cela veut dire que si la Lune disparaissait soudain, le niveau des oc√©ans oscillerait avec une p√©riode de 30 heures et une amplitude d√©croissant progressivement jusqu'√† ce que l'√©nergie emmagasin√©e soit dissip√©e (cette valeur de 30 h est fonction uniquement de la gravit√© terrestre et de la profondeur moyenne des oc√©ans). Et la Lune stimule les oc√©ans avec une p√©riode d'environ 12,42 heures (la moiti√© de la p√©riode de rotation synodique de la Terre), inf√©rieure √† la p√©riode propre des masses d'eau, qui r√©agissent avec retard : le principal effet est que le retard des mar√©es est, en moyenne, de six heures (c'est-√†-dire que la mar√©e basse se produit quand la Lune passe au z√©nith ou au nadir, un r√©sultat tout √† fait oppos√© √† l'intuition commune)
  • ensuite √† cause de la topographie des lieux : avec une configuration en entonnoir (l'ensemble Manche / baie du mont Saint Michel √©tant l'un des exemple les plus fameux) l'effet de la mar√©e est localement amplifi√©, inversement une mer ferm√©e comme la M√©diterran√©e connait des mar√©es faibles.

Marées atmosphériques et terrestres

En plus des mar√©es oc√©aniques, il y a des mar√©es atmosph√©riques ainsi que des mar√©es terrestres, s'exer√ßant sur la masse rocheuse de la Terre. Les mar√©es atmosph√©riques sont peu observables, noy√©es par les effets beaucoup plus importants dus √† la m√©t√©o d'une part et aux mar√©es thermiques solaires d'autre part. La cro√Ľte terrestre, elle, se d√©forme r√©guli√®rement de mani√®re peu perceptible en fonction des mouvements lunaires. L'amplitude des mar√©es terrestres est d'environ 1,5 m√®tre √† l'√©quateur, et elles sont en phase avec la Lune - ce qui fait qu'elles amplifient l'effet apparent des mar√©es oc√©aniques. Ce mouvement incessant s'associe √† des ph√©nom√®nes de stress et donc de fragilisation qui jouent un r√īle √† long terme dans le d√©clenchement de certains tremblements de terre. En revanche, quoi qu'en disent les magazines √† sensation, m√™me l'alignement de nombreuses plan√®tes du syst√®me solaire n'a pas de vraies cons√©quences observables, et cela en raison de leur distance √©norme √† la Terre, dont le carr√© intervient en d√©nominateur.

De manière générale, on parle de forces de marée pour tous les corps qui subissent ce type de variation de la gravité locale à cause des mouvements d'un corps massif (de préférence sur une orbite à peu près circulaire). Ces forces sont généralement peu sensibles, mais dans un certain nombre de cas, elles peuvent prendre des proportions telles que l'impact en est observable plus facilement.

Traitement mathématique

√Čtant donn√© un champ gravitationnel ext√©rieur donn√©, l'acc√©l√©ration de mar√©e √† un point d'un corps est obtenue par soustraction vectorielle de l'acc√©l√©ration au centre du corps de celle au point. La force de mar√©e est la force qui correspond √† cette acc√©l√©ration. Il est √† noter que la seule force de gravitation tenue en compte pour ces calculs est celle entre les deux corps, donc la force ext√©rieure ; le champ gravitationnel du corps lui-m√™me n'est pas pertinent.

L'accélération de marée ne requiert pas de rotation ou que le corps soit en orbite. Par exemple, le corps peut être en chute libre en ligne droite, sous l'influence d'un champ gravitationnel et quand même être soumis à une accélération de marée (de plus, cette accélération varie elle-même).

Application de la loi universelle de la gravitation

Le champ de gravit√© g√©n√©r√© par un deuxi√®me corps situ√© √† droite de la sph√®re noire ; au-dessus, la force de gravit√© ; au-dessous, le r√©sultat de la soustraction du champ associ√© au corps repr√©sent√© par la sph√®re noire.

Selon la loi universelle de la gravitation, une particule de masse m √† une distance r du centre d'une sphere de masse M subit une force √©gale √† :

\vec F_g = - \hat r ~ G ~ \frac{M m}{r^2},

o√Ļ \hat r est le vecteur unitaire qui pointe dans la direction qui va √† partir de M jusqu'√† la particule m.

On √©tend la description de m pour qu'il repr√©sente un petit corps sph√©rique avec un volume donn√©. Posons R, la distance inter-objet, c'est-√†-dire du centre de M √† celui de m et posons ‚ąÜr, le rayon de m. Par cons√©quent, les points sur la surface de m sont situ√©s √† une distance r = R ¬Ī ‚ąÜr du centre de R. On applique alors l'√©quation ci-haut et, en ignorant la contribution n√©gligeable du la masse de m au champ gravitationnel, on obtient la force gravitationnelle en ces points :

\vec F_g = - \hat r ~ G ~ \frac{M m}{(R \pm \Delta r)^2}

Application de la série de Taylor

Le d√©veloppement de 1/(1 + x)2 par la s√©rie de Taylor est 1 ‚Äď 2x + 3x2 ‚Äď ... Donc, on met en √©vidence le R du d√©nominateur pour obtenir :

\vec F_g = - \hat r ~ G ~  \frac{M m}{R^2} ~ \frac{1}{(1 \pm \Delta r / R)^2}

et on applique le d√©veloppement en s√©rie au r√©sultat :

\vec F_g = - \hat r ~ G ~ \frac{M m}{R^2} \pm  \hat r ~ G ~ \frac{2 M m }{R^2} ~ \frac{\Delta r}{R} \mp \cdots

Le premier terme de la s√©rie est la force gravitationnelle telle qu'on la conna√ģt traditionnellement. En g√©n√©ral, le deuxi√®me terme est beaucoup plus significatif que les suivants. Par cons√©quent, la force de mar√©e s'exprime comme :

\vec F_t \approx \hat r ~ G ~ \frac{2 M m }{R^2} ~ \frac{\Delta r}{R}

o√Ļ dans F_t, l'indice t rappelle tide, ou mar√©e en anglais.

Au-delà du système Terre-Lune

Les anneaux de Saturne sont √† l'int√©rieur de l'orbitre de ses lunes ; les forces de mar√©e emp√™chent les mat√©riaux des anneaux de s'agglom√©rer pour former d'autres lunes[2].

Europe (une des lunes de Jupiter) fait appara√ģtre un nombre important de fissures √† sa surface. Il est suppos√© qu'elles r√©sultent des d√©formations continuelles que subit Europe √† cause de sa r√©volution autour de Jupiter, la g√©ante gazeuse. Parall√®lement, le passage r√©gulier d'Europe √† proximit√© d'Io est consid√©r√© comme la source principale de son √©chauffement interne (qui fait de Io le seul corps non-terrestre sur lequel on ait observ√© un volcan actif).

À proprement parler, la force de marée est l'écart entre la gravitation observée en un lieu d'un corps (par exemple, sur la face visible de la Lune) et en un autre lieu du même corps (par exemple, sur la face cachée de la Lune). Tant que cet écart est faible au regard des forces de cohésion qui retiennent le corps lui-même, l'effet est faible ou nul. Tant que cet écart ne varie pas les contraintes sont statiques (et plus faciles à soutenir). La Lune, par exemple, parce qu'elle présente toujours la même face à la Terre subit une force de marée complètement statique. Elle en est légèrement déformée (elle n'est pas complètement sphérique). De plus, elle reste faible au regard de la cohésion du globe lunaire (elle ne s'en déforme pas continuellement contrairement aux océans terrestres qui subissent son influence).

Plus les masses mises en Ňďuvre sont importantes, plus les effets sont importants (de fa√ßon lin√©aire). Plus les distances mises en Ňďuvres sont faibles, plus les effets sont importants (en raison inverse du carr√© de la distance). Les astrophysiciens ont ainsi observ√© des couples stellaires (deux √©toiles proches en rotation l'une autour de l'autre) qui r√©sonnent sous les vibrations qu'elles s'imposent mutuellement.

Mais plus les masses sont importantes, plus les ph√©nom√®nes deviennent difficiles √† quantifier avec la th√©orie classique de la gravitation. On en arrive ainsi √† des situations o√Ļ les forces en jeu sont proprement gigantesques et les corrections dues √† la relativit√© g√©n√©rale d'Albert Einstein ne peuvent plus √™tre n√©glig√©es. Toutefois, les ph√©nom√®nes restent essentiellement les m√™mes.

√Čchauffement d√Ľ aux forces de mar√©es

L'√©chauffement d√Ľ aux forces de mar√©es se produit en raison des frictions des mar√©es : de l'√©nergie rotationnelle et orbitale est dissip√©e en √©nergie thermique au sein de la cro√Ľte des lunes et plan√®tes impliqu√©es. Io, une lune de Jupiter, est le corps le plus actif du syst√®me solaire. Les forces de mar√©es d√©forment Io et chauffent l'int√©rieur de la lune. Des ph√©nom√®nes similaires auraient entrain√© la fusion de la glace dans certaines couches d'Europe, une autre lune de Jupiter.

Cas des trous noirs

Le cas le plus spectaculaire est celui d'un objet en orbite proche autour d'un trou noir stellaire. La masse proprement astronomique du trou noir et sa petite taille autorisent un corps (une √©toile ou une plan√®te) √† s'en approcher beaucoup et alors la diff√©rence de force gravitationnelle entre les deux faces de l'objet est gigantesque. Cet √©cart est tel que tout corps un tant soit peu volumineux est d√©chiquet√© par la force de mar√©e. C'est ce qui explique le commentaire qui accompagne toujours les descriptions de ce qui arriverait √† un vaisseau spatial qui plongerait dans un trou noir stellaire : il serait d√©truit par les forces de mar√©e avant m√™me d'en avoir atteint l'horizon.

Cependant, à l'extérieur du trou noir, l'effet diminue au fur et à mesure que sa masse augmente. Dans le cas d'un trou noir galactique, dont la masse se mesure en millions de masses solaires, le rayon de l'horizon est suffisamment grand pour que la force de marée à ses environs soit sans danger pour un être humain qui se trouverait là.

En effet, l'amplitude des effets de mar√©es subi par un corps de taille a situ√© √† une distance d d'une masse M s'√©crit comme le produit du gradient du champ gravitationnel par la taille de l'objet, soit :

g_m \simeq \frac{G M a}{d^3}

o√Ļ G est la constante de Newton. Pour un √™tre humain (o√Ļ a vaut de l'ordre d'un m√®tre), la valeur maximale de gm supportable est de l'ordre de l'acc√©l√©ration de la pesanteur terrestre g (cela correspond √† une situation o√Ļ une personne suspendue par les mains serait lest√© d'une masse de l'ordre de 100 kilos ; au-del√† elle serait √©cartel√©e). Cela correspond donc √† la contrainte :

\frac{M}{M_T} < \frac{d^3}{a R_T^2}

o√Ļ MT et RT correspondent √† la masse et le rayon de la Terre. Pour un trou noir, la taille R de l'horizon est donn√©e approximativement par la formule R \simeq \frac{G M}{c^2}. Pour un observateur traversant l'horizon (d = R), la contrainte devient :

M > \frac{c^3}{G} \sqrt{\frac{a}{g}}

soit de l'ordre de la centaine de milliers de masses solaires. Pour un trou noir plus massif comme un trou noir galactique, il est donc possible de passer l'horizon sans dommage.

Notes

  1. ‚ÜĎ mouvement essentiellement d√Ľ √† la rotation propre de la Terre en-dessous de la Lune, car la Lune ne tourne autour de la Terre qu'en 28 jours, alors que la Terre tourne sur elle-m√™me sous la Lune en 24 heures
  2. ‚ÜĎ (en) R. S. MacKay, J. D. Meiss, Hamiltonian Dynamical Systems: A Reprint Selection, CRC Press, 1987 (ISBN 0852742053), p. 36 

Voir aussi

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