Equation du premier degre

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Equation du premier degre

√Čquation du premier degr√©

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Une équation du premier degré est une équation dans laquelle les puissances de l'inconnue ou des inconnues sont de degré 1 et 0 uniquement comme les problèmes de proportionnalité simple. Au pire, ce peut être une équation quelconque qui s'y ramène par des manipulations algébriques.

Par exemples :

  • 13u‚ąí8u=3,6√ó5
  • 4a+7=8
  • r+b√ó4=0
  • 3d+5d‚ąí7‚ąí11d=‚ąí4

Sommaire

Historique

La r√©solution des probl√®mes du premier degr√© a commenc√© par les algorithmes babyloniens et √©gyptiens, elle s'est poursuivie par les m√©thodes de fausse position au Moyen √āge ou de r√©solution directe par les arabes puis par les m√©thodes modernes usant d'un symbolisme.

Résolutions

Fausse position simple

Le principe s'applique lorsqu'il y a proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire une tentative (une position fausse) et à en déduire la solution.

Nous allons √©tudier cette m√©thode dans le cas du probl√®me babylonien suivant :

¬ę J'ai une pierre mais je ne l'ai pas pes√©e. Apr√®s avoir enlev√© un septi√®me de son poids, j'ai pes√© le tout et j'ai trouv√© : 1 ma-na (unit√© de masse). Quel √©tait le poids de la pierre √† l'origine ? ¬Ľ

On peut donner une valeur arbitraire (position fausse) au poids de la pierre, par exemple 7. Cette valeur n'est pas complètement donnée au hasard, elle est donnée par le calcul ci-dessous qui fait intervenir de manière simple 6, nombre simple à manipuler en numération sexagésimale babylonienne (en base 60).

Si la pierre pèse 7 ma-na, le septième de 7 étant 1, la pierre allégée pèse 6 ma-na, ce qui est 6 fois plus grand que la valeur cherchée (1 ma-na).

Pour que la pierre allégée pèse un ma-na, il faut donc prendre au départ un pierre 6 fois plus légère donc la solution est sept sixième \frac 7 6.

Attention, cette m√©thode ne fonctionne que dans certains cas, par exemple si les inconnues sont d'un c√īt√© de l'√©galit√© et les nombres connus de l'autre. Parmi les √©quations propos√©es dans l'introduction, seule la premi√®re est r√©soluble de cette mani√®re.

Voici l'√©quation de ce probl√®me, si on appelle p le poids de la pierre : p - \frac p 7 = 1

Fausse position double

Le principe de la double fausse position s'applique lorsqu'il n'y a pas proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire deux tentatives (trouver deux positions fausses) et à en déduire la solution (ou position exacte). Il est préférable (comme en artillerie) de faire une proposition faible et une proposition forte.

Exemple : Dans ce troupeau de vaches, si on √©change le tiers de ces b√™tes contre ces 17 belles vaches, le nombre de vaches passe √† 41.

  • Premi√®re tentative faible : prendre 24 vaches. On en enl√®ve le tiers. Il reste 16 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 33 vaches donc 8 de moins que ce que l'on souhaite.
  • Seconde tentative forte : prendre 45 vaches. On en enl√®ve le tiers. Il reste 30 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 47 vaches soit 6 vaches de trop.

Le nombre exact de vaches est alors une moyenne des deux tentatives pondérées par les erreurs commises. Bref, le nombre de vaches est \frac{24\times 6 + 45 \times 8}{6 + 8}= 36

Explication mathématique

Voici une tentative d'explication sans faire intervenir de calcul algébrique.

Dans ce probl√®me-ci, on travaille sur un ph√©nom√®ne affine : il n'y a pas de proportionnalit√© entre le nombre de vaches au d√©part et le nombre de vaches √† l'arriv√©e mais il y a toujours proportionnalit√© entre le nombre de vaches ajout√©es au d√©part et le nombre de vaches en plus √† l'arriv√©e :

  • si au d√©part on prend 3 vaches, √† l'arriv√©e on en a 19
  • si au d√©part on prend 24 vaches (21 de plus) √† l'arriv√©e on en a 33 (14 de plus)
  • Si au d√©part on prend 45 vaches (42 de plus), √† l'arriv√©e on en a 47 (28 de plus)

On peut donc construire un tableau de proportionnalité en comptant le nombre de vaches en plus par rapport au cas de la première fausse position, dans le cas de la position exacte et de la seconde fausse position.

Position Départ Arrivée
exacte ? 8
seconde fausse 45 - 24 14

La r√®gle de la quatri√®me proportionnelle donne pour le nombre de vaches √† ajouter √† 24 :

\frac{8\times (45-24)}{14}

c'est-à-dire un nombre total de vaches de

\frac{8\times 45 + 6\times 24}{14}

On peut admirer le mérite des Indiens et des Chinois, capables de concevoir et appliquer cette méthode sans l'aide de l'algèbre. On peut aussi admirer l'efficacité de l'écriture algébrique qui va rendre ce problème extrêmement simple à résoudre:

Il s'agit de résoudre l'équation x - x/3 + 17 = 41. Cette équation est successivement équivalent à
2x/3 + 17 = 41
2x/3 = 24 on a enlevé 17 aux deux membres de l'équation
x = 24 &times (3/2)=36 on a multiplié les deux membres par 3/2
Le nombre initial de vaches est donc de 36

Résolution générale

Les équations du premier degré amènent à une équation du type ax=b.

Il existe alors 3 cas de figure:

  • Si a \neq 0 la solution de l'√©quation ax=b est en fait la d√©finition du quotient, soit x = \frac b a.
  • Si a = 0 et b \neq 0, l'√©galit√© n'a aucune chance de se produire et l'√©quation n'admet alors aucune solution. L'ensemble des solutions est alors vide.
  • Si a = 0 et b = 0 alors l'√©galit√© est vraie quelle que soit la valeur de l'inconnue. L'√©quation admet alors pour ensemble de solution l'ensemble de tous les nombres sur lequel on travaille.

rem: Ces trois distinctions sont valables quand on cherche à résoudre l'équation dans l'ensemble des réels, des rationnels ou des complexes. Quand on cherche à résoudre l'équation dans l'ensemble des entiers, il est possible que la solution proposée b/a ne soit pas entière, on dira alors que l'ensemble des solutions est vide. Enfin, si on sort des ces ensembles, il existe d'autres distinctions (anneau non intègre) qui sortent du cadre des mathématiques élémentaires.

Quelques exemples

1) Les places √† ce spectacle co√Ľtent 12 euros, le groupe doit payer 156 euros. Combien y a-t-il de personnes dans le groupe?

Il s'agit de r√©soudre dans N l'√©quation 12x = 156 o√Ļ x repr√©sente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 156/12 = 13. Il y a donc 13 personnes dans le groupe.

2) Les places √† ce spectacle co√Ľtent 12 euros, le groupe doit payer 206 euros. Combien y a-t-il de personnes dans le groupe?

Il s'agit de r√©soudre dans N l'√©quation 12x = 206 o√Ļ x repr√©sente le nombre de personnes du groupe.
Solution x = 206/12 = 17,166.... Ce n'est pas un nombre entier, le probl√®me ne poss√®de pas de solution, le caissier a d√Ľ faire une erreur.

3) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 2 = 5x - (5 + x)

Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes:
2x - 2 = 4x - 5
2x + 3 = 4x on a ajouté 5 aux deux membres de l'équation
3 = 2x on a retranché 2x aux deux membres de l'équation
2x = 3 l'égalité peut se lire dans les deux sens
x = 3/2 c'est le fameux b/a de la règle générale
La solution de l'équation est alors 3/2.

4) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 2 = 3x - (5 + x)

Les règles de somme et de différence permettent de dire que cette équation est équivalente successivement aux équations suivantes:
2x - 2 = 2x - 5
2x + 3 = 2x on a ajouté 5 aux deux membres de l'équation
3 = 0.x on a retranché 2x aux deux membres de l'équation
Il n'est pas possible que 3 soit égal à 0 donc l'équation n'admet aucune solution.

5) On cherche à résoudre dans R, l'équation 2x - 5 = 3x - (5 + x)

Une simplification de chaque membre conduit √† :
2x - 5 = 2x - 5
Cette égalité est toujours vraie et ne dépend pas de la valeur de x. L'ensemble des solutions est l'ensemble R.

Cas de proportionnalité

Les √©quations \frac x a = b ou \frac a x = b sont des cas de proportionnalit√© √† conna√ģtre.

La solution de la première équation est x = a\times b pour a non nul.

La solution de la seconde équation est x = \frac a b à condition évidemment que a et b soient non nuls.

Voir aussi

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