Equation

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Equation

√Čquation (math√©matiques)

Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les √©quations math√©matiques dans leur g√©n√©ralit√©. Pour une introduction au concept, voir √Čquation (math√©matiques √©l√©mentaires).
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
 
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
Robert Recorde est un précurseur pour l'écriture d'une équation. Il invente l'usage du signe = pour désigner une égalité[1].
Un système dynamique correspond à un type particulier d'équation, dont les solutions recherchées sont des fonctions. Le comportement limite est parfois complexe. Dans certain cas, il est caractérisé par une curieuse figure géométrique, appelée attracteur étrange.

Une équation est, en mathématiques, une égalité contenant une ou plusieurs variables. Résoudre l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée inconnue et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée solutions. À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable[2],[3].

Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques; les techniques associées à leur traitement diffèrent selon leur type.

L'alg√®bre √©tudie surtout deux familles d'√©quations: les √©quations polynomiales et les √©quations lin√©aires. Les √©quations polynomiales sont de la forme P(X) = 0, o√Ļ P est un polyn√īme. Des m√©thodes de transformations et de changement de variable permettent de venir √† bout des plus simples. Les √©quations lin√©aires sont de la forme a(x) + b = 0, o√Ļ a est une application lin√©aire et b un vecteur. On utilise pour les r√©soudre des techniques algorithmiques ou g√©om√©triques, issues de l'alg√®bre lin√©aire ou de l'analyse. Modifier le domaine de d√©finition de la variable peut changer consid√©rablement la nature de l'√©quation. L'alg√®bre √©tudie √©galement les √©quations diophantiennes, √©quations dont les coefficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilis√©es sont diff√©rentes et essentiellement issues de l'arithm√©tique. Ces √©quations sont en g√©n√©ral difficiles, on cherche souvent uniquement √† d√©terminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.

La géométrie utilise les équations pour caractériser des figures. L'objectif est encore différent des cas précédents, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les cartésiennes et les paramétriques.

L'analyse √©tudie des √©quations du type f(x) = 0, o√Ļ f est une fonction ayant certaines propri√©t√©s comme la continuit√©, la d√©rivabilit√© ou encore le fait d'√™tre contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'√©quation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi pr√©cis√©ment que possible.

Un système dynamique est défini par une équation dont les solutions sont, soit des suites, soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales: l' état initial et le comportement asymptotique. Pour chaque état initial admissible, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Parfois, une petite modification de l'état initial modifie peu la solution. Ce n'est pas toujours le cas, cette sensibilité à la condition initiale est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore asymptotique d'une solution correspond à la forme de la solution quand la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la deuxième question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une fonction périodique ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement chaotique, semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.

Remarque : Le terme in√©quation correspond √† une d√©finition diff√©rente[4]. Si dans certains cas particuliers[5] les sujets sont connexes, dans le cas g√©n√©ral ils sont suffisamment √©loign√©s pour m√©riter des traitements distincts. L'in√©quation est en cons√©quence trait√©e dans un article s√©par√©.

Sommaire

Préambule

Définition - équation, inconnue et solution

Article d√©taill√© : Inconnue (math√©matiques).
L'exemple suivant est extrait[6] du livre d'Al-Khwarizmi, l'un des fondateurs de l'algèbre.
¬ę Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, √† un homme, une donation √©gale √† la part d'un de ses fils et, √† un autre, le quart de la diff√©rence entre le tiers de l'h√©ritage et la premi√®re donation. ¬Ľ. Si x d√©signe l'inconnue, ici la fraction de l'h√©ritage que re√ßoit un fils, la question se traduit par l'√©quation suivante, o√Ļ la valeur 1 √† droite d√©signe 1 h√©ritage :
(1)\quad 4x + x + \frac 14\left(\frac 13-x\right) = 1

Dans l'exemple, la formulation sous forme d'√©quation, c'est √† dire l'√©galit√© (1), est √©quivalente √† la question pos√©e. Y r√©pondre revient √† d√©terminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue x pour que l'√©galit√© d√©finissant l'√©quation soit vraie. Le maniement de l'inconnue permet de r√©soudre quelques √©quations, comme celle pr√©sent√©e ici. Cette vision est source d'une autre mani√®re de d√©finir une √©quation. Pour l'Encyclop√©die Sovi√©tique de Math√©matiques, une √©quation est la traduction, sous une forme analytique, d'un probl√®me[7],[8]. L'√©quation f(x) = g(x) correspond √† la question : pour quelle valeur de x, l'√©quation se transforme-t-elle en √©galit√© ? Cette d√©finition d√©crit bien les premi√®res √©quations √©tudi√©es, qui sont parfois la formulation math√©matique d'une question de la vie courante.

Cette d√©finition fond√©e sur une question n'est pas la plus g√©n√©rale : en g√©om√©trie, l'√©quation du cercle ne fait pas r√©f√©rence √† une question[9]. Cependant, la forme reste la m√™me : une √©galit√© entre deux expressions, utilisant deux variables g√©n√©ralement not√©es x et y.

Paramètre

Au XVIe si√®cle, Vi√®te, un math√©maticien fran√ßais, trouve une m√©thode pour exprimer de mani√®re g√©n√©rique une famille d'√©quations[10]. Pour en comprendre l'int√©r√™t, illustrons le par une question.

Exemple d'équation paramétrée.
Le graphe de la fonction f est la parabole illustrée en bleu sur la figure, celui de g1(x) la droite illustrée en rouge, celui de g-2(x) en violet et celui de g-1 en vert.

Quel est le nombre de solutions des √©quations r√©elles[11] suivantes ?

(1)\;x^2=2x + 1,\; (2)\;x^2=2x -2 \;\text{et}\; (3)\;x^2=2x -1

Pour trouver ce nombre, on consid√®re la fonction f(x), qui √† x associe x2, dont le graphe est la parabole repr√©sent√©e √† droite en bleu. La fonction g1(x) associe √† x la valeur 2.x +1 (la droite rouge). Les solutions de l'√©quation sont les abscisses des intersections de la parabole avec la droite rouge, la repr√©sentation graphique montre l'existence de deux solutions, car il existe deux intersections. Pour l'√©quation (2), consid√©rons la fonction g-2(x) qui √† x associe 2.x -2 (la droite violette). Elle ne rencontre pas la parabole et l'√©quation n'admet pas de solution. Pour traiter le dernier cas, on consid√®re la fonction g-1(x) qui √† x associe 2.x -1 (la droite verte), c'est encore une droite parall√®le √† la pr√©c√©dente et cette fois-ci il existe une unique solution.

Une mani√®re globale de r√©soudre ces trois questions est de faire appel √† une lettre a qui repr√©sente un nombre quelconque. Les trois √©quations pr√©c√©dentes correspondent √† la suivante, si a est √©gal √† 1, -2 ou encore √† -1 :

(4)\quad x^2=2x +a

L'équation (4) ci-contre est dite équation paramétrée et la lettre a désigne le paramètre. Son usage permet d'étudier les équations par familles.

Problèmes soulevés par une équation

D√©montrer l'existence d'une solution au probl√®me isop√©rim√©trique, revient √† montrer l'existence d'un sommet sur la figure. √Ä chaque couple (C, ŌÜ), on associe l'aire du triangle de p√©rim√®tre 3, contenant un cot√© de longueur C et un angle adjacent √† ce cot√© √©gal √† ŌÜ. Les math√©maticiens de l'antiquit√© ne disposaient pas d'outils pour r√©soudre cette question[Note 1].

Les questions que soul√®ve l'√©tude d'une √©quation d√©pendent de sa nature. √Ä l'image de l'√©quation pr√©c√©dente, certaines sont d√©finies √† l'aide d'une fonction f : R ‚ÄĒ> R, c'est-√†-dire de l'ensemble des nombres r√©els dans lui-m√™me. L'√©quation s'√©crit f(x) = 0. On commence parfois l'√©tude par √©tablir l'existence ou non de solution √† l'√©quation. Le nombre de solutions est donn√©e par l'√©tude de la fonction f, ce cas est √©tudi√© dans le paragraphe sur les z√©ros d'une fonction.

Parfois, il est plus simple de commencer par √©tudier les propri√©t√©s de la ou des √©ventuelles solutions, sans se pr√©occuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le probl√®me isop√©rim√©trique du triangle. La question revient √† trouver le triangle de p√©rim√®tre donn√© (on prend ici la valeur 3) de plus grande aire possible. Si T d√©signe l'inconnue, ici un triangle de p√©rim√®tre 3, S(T) la fonction qui √† un triangle associe son aire et m la borne sup√©rieure des surfaces des triangles de p√©rim√®tre 3, la traduction sous forme d'√©quation du probl√®me s'√©crit :

S(T) = m\;

D√®s l'antiquit√©, les math√©maticiens savent que l'unique r√©ponse possible est le triangle √©quilat√©ral[12]. En revanche, √©tablir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel √† des outils inconnus jusqu'au XVIIIe si√®cle[Note 2]. L'existence d'une solution est intimement li√©e √† l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est √©tendu √† celui des polygones de p√©rim√®tre 3, l'√©quation n'admet plus de solution. Pour √©tablir ce r√©sultat, on d√©montre dans un premier temps qu'une √©ventuelle solution serait n√©cessairement un polygone r√©gulier[Note 3]. Or plus le nombre de cot√©s d'un polygone r√©gulier de p√©rim√®tre donn√© augmente, plus son aire cro√ģt ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone r√©gulier n'est d'aire maximale.

La forme d'une solution d√©pend des besoins. L'√©quation d√©finissant le nombre d'or ŌÜ est : X2 - X - 1 = 0. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation d√©cimale comme 1,618. En revanche, si l'objectif est d'√©tablir la formule reliant la suite de Fibonacci (un) avec ŌÜ :

\forall n \in \mathbb N \quad u_n= \frac1{\sqrt 5}\left(\varphi^n -(1- \varphi)^n \right)

Une forme exacte comme (1+ ‚ąö5)/2 est indispensable. Comme le nombre d'or est irrationnel, il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la racine carr√©e, car les quatre op√©rations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes √©tudes, qui entrent dans un domaine des math√©matiques appel√© analyse num√©rique[13].

Algèbre

Théorie des équations

Article d√©taill√© : Th√©orie des √©quations.
Le graphe du module du polyn√īme X5 - 3X + 2, montre que ce polyn√īme admet au moins quatre racines (la cinqui√®me n'est pas visible sur le graphique), illustrant le th√©or√®me de d'Alembert-Gauss dans un cas particulier.

La premi√®re th√©orie des √©quations ne concerne que les √©quations polynomiales, c'est-√†-dire de la forme P(X) = 0 o√Ļ P est un polyn√īme[14]. Elle est bas√©e sur des transformations des membres de l'√©quation en appliquant les cinq op√©rations ¬ę classiques ¬Ľ (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) aux coefficients de l'√©quation comme √† son inconnue.

Si le degr√© du polyn√īme est √©gal √† 2 et si les coefficients et les solutions recherch√©es sont r√©els, alors ces m√©thodes permettent de trouver les solutions, encore appel√©es racine (cf l'article √Čquation du second degr√©). L'usage du changement de variable permet d'√©tendre la famille d'√©quations qui se r√©solvent, ainsi comme l'illustre l'exemple[Note 4] e2x - (ea + eb)ex + ea+b = 0, en posant X = ex. Cette m√©thode du changement de variable ne se limite pas aux √©quations alg√©briques.

Pour aller plus loin et résoudre l'équation cubique, c'est-à-dire du troisième degré, les mathématiciens italiens de la Renaissance découvrent la nécessité d'enrichir l'ensemble des nombres en lui adjoignant des nombres imaginaires[15]. Cette découverte permet la résolution des équations du troisième et quatrième degré (Voir les méthodes de Cardan et Ferrari).

Le th√©or√®me de d'Alembert-Gauss pr√©cise que tout polyn√īme de degr√© sup√©rieur ou √©gal √† 1 et √† coefficients r√©els ou complexes, admet au moins une racine complexe[16]. Si ce th√©or√®me assure, dans un cas tr√®s g√©n√©ral, l'existence d'une solution, il n' en offre aucune formulation explicite. Le deuxi√®me th√©or√®me, dit th√©or√®me d'Abel en explique la raison : il n'existe, en g√©n√©ral, aucune formule analogue[Note 5] √† celles qui s'appliquent aux petits degr√©s, capable d'exprimer les racines. Ce r√©sultat, Ňďuvre de Niels Abel[17], est compl√©t√© par √Čvariste Galois qui indique une condition n√©cessaire et suffisante pour d√©terminer dans quels cas les racines d'une √©quation polynomiale poss√®dent une expression de cette nature[18]. Sa d√©monstration fait appel √† la th√©orie de Galois.

Les deux th√©or√®mes pr√©c√©dents closent la th√©orie des √©quations. Cette expression fut encore en vigueur en math√©matiques pendant tout le XIXe si√®cle[19]. Elle reste d'actualit√© en histoire des sciences[20]. Elle est encore utilis√©e en math√©matiques[21], mais elle est devenue rare et un peu d√©su√®te.

Système d'équations linéaires

Article d√©taill√© : Syst√®me d'√©quations lin√©aires.
Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique est un livre anonyme en chinois proposant une méthode de résolution de l'équation linéaire.

Une autre famille d'√©quations est trait√©e par l'alg√®bre : celle des √©quations lin√©aires. Ce sont les √©quations de la forme (1) a(x) + b = 0, o√Ļ a est une application lin√©aire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F, b un vecteur de F et x une variable qui d√©crit l'ensemble E. Si les espaces E et F sont de dimension finie, not√©s n pour E et m pour F, le choix d'une base de E et de F, permet d'exprimer a sous la forme d'une matrice (ajk), x sous la forme d'un vecteur colonne √† n coordonn√©es (xk) et b d'un vecteur colonne √† m coordonn√©es (bj).

(2)\quad \left\{\begin{matrix}  a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_n = b_m\end{matrix}\right.

D'une équation (1) on passe à un système (2), de m équations à n inconnues. Cette technique, consistant à passer d'une équation vectorielle à un système de plusieurs équations réelles de plusieurs variables réelles, ne se limite pas au cas linéaire.

Sous la forme (2), plusieurs algorithmes permettent de trouver une racine. Si n est √©gal √† m et si le d√©terminant de la matrice de a est non nul, il est possible d'utiliser la r√®gle de Cramer. Ce n'est pas l'algorithme le plus efficace, la m√©thode du pivot de Gauss est plus simple et plus rapide[22]. Elle revient √† isoler les n variables √† l'aide d'une suite de substitutions. Cette m√©thode est ancienne, on en trouve un √©quivalent dans le chapitre 8 du livre chinois de math√©matiques intitul√© Les Neuf Chapitres sur l'art math√©matique et datant d'avant notre √®re[23]. Au XIIIe si√®cle Qin Jiushao va plus loin et trouve comment r√©soudre un syst√®me lin√©aire avec des congruences comme coefficients, pour r√©soudre une question li√©e √† un ¬ę programme de r√©partition de grains ¬Ľ[24].

√Čquation lin√©aire et g√©om√©trie

Article d√©taill√© : √Čquation lin√©aire.
La géométrie permet de trouver des algorithmes de résolution de l'équation linéaire, plus rapides que la méthode du pivot de Gauss. La figure illustre le graphe en dimension 3, de la fonction f.
Cette figure illustre les courbes de niveaux en bleu de la fonction f. Les segments rouges et verts correspondent au trajet suivi par la suite approximante, qui converge en deux étapes en dimension 2.

L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'image d'une application linéaire a, c'est à dire l'ensemble des vecteurs qui admettent un antécédent par f forme un sous-espace vectoriel, comme l'est un plan dans un espace de dimension trois. Le noyau de a, c'est à dire les vecteurs de l'ensemble de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que l'ensemble des solutions forme un espace affine de direction le noyau de a.

Le point de vue g√©om√©trique permet d'√©laborer des algorithmes de r√©solution qui tiennent compte des sp√©cificit√©s de a. Dans certains cas particuliers, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la m√©thode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas o√Ļ E est un espace euclidien √©gal √† F et a est tel que l'application qui √† x et y associe <-ax,y> soit un produit scalaire. Ici les crochets d√©signent le produit scalaire initial de l'espace E[Note 6]. Ceci implique que la matrice de a est de d√©terminant non nul et sym√©trique, si la base de E est choisie orthonormale.

Une m√©thode consiste √† ne pas chercher √† r√©soudre l'√©quation a.x + b = 0 mais √† r√©pondre √† une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient √† trouver le point optimal[Note 7] de l'expression qui √† x associe f(x), d√©fini par :

\forall x \in E \quad f(x) =\frac 12 \langle ax,x\rangle +\langle b,x\rangle

Son point optimal est la solution de l'√©quation lin√©aire. Pour comprendre la m√©thode de r√©solution, le plus simple est de repr√©senter le cas o√Ļ F est de dimension 2. Le graphe de f a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustr√© sur la figure de gauche. Une m√©thode consiste √† partir d'un point quelconque x0 et √† suivre la ligne de plus grande pente, illustr√©e en rouge sur les figures et qui correspond √† une parabole √† gauche et √† un segment √† droite. Le sommet de cette parabole est not√© x1. A partir du point x1, on suit √† nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom de descente de gradient[25].

Si, au lieu de suivre exactement le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire <-a.x,y>, la méthode converge vers la solution en un maximum de n étapes, si n désigne la dimension de E. Elle porte le nom de méthode du gradient conjugué[26].

Géométrie

Géométrie analytique

Article d√©taill√© : G√©om√©trie analytique.
Une conique est toujours l'intersection d'un plan et d'un c√īne de r√©volution.

En g√©om√©trie euclidienne, il est possible d'associer √† chaque point de l'espace un jeu de coordonn√©es, par exemple √† l'aide d'un rep√®re orthonorm√©. Cette m√©thode permet de caract√©riser des figures g√©om√©triques √† l'aide d'√©quations. Un plan dans un espace de dimension 3 s'exprime comme l'ensemble des solutions d'une √©quation du type a.x + b.y + c.z + d = 0, o√Ļ a, b, c et d sont des nombres r√©els, x, y, z les inconnues qui correspondent aux coordonn√©es d'un point du plan dans le rep√®re orthonormal. Les valeurs a, b et c sont les coordonn√©es d'un vecteur perpendiculaire au plan d√©fini par l'√©quation. Une droite s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-√†-dire comme les solutions d'une √©quation lin√©aire √† valeurs dans R2 ou comme les solutions d'un syst√®me de deux √©quations lin√©aires √† valeurs dans R, si R d√©signe l'ensemble des nombres r√©els.

L'équation cartésienne offre une méthode simple de démonstration du théorème de Thalès relatif au cercle.

Une conique est l'intersection d'un c√īne d'√©quation x2 + y2 = z2 et d'un plan. Autrement dit, dans l'espace, toute conique est d√©finie comme les points dont les coordonn√©es sont solutions d'une √©quation du plan dans R2 et de l'√©quation pr√©c√©dente. Ce formalisme permet de d√©terminer les positions et les propri√©t√©s des foyers de la conique.

Avec cette approche, on obtient des √©quations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe pr√©c√©dent. Un exemple est donn√© par le th√©or√®me de Thal√®s indiquant qu'un triangle est rectangle s'il poss√®de un cot√© √©gal √† un diam√®tre d'un cercle et un sommet oppos√© √©l√©ment du cercle. Ce th√©or√®me est illustr√© sur la figure de droite. Si le rep√®re est bien choisi, il est orthogonal et l'√©quation du cercle s'√©crit : x2 + y2 = 1, les points A et C de la figure de droite ont pour coordonn√©es respectives (-1,0) et (1,0). Dire que AB est perpendiculaire √† CB revient √† dire que les vecteurs associ√©s sont orthogonaux. L'√©quation du cercle permet de conclure la d√©monstration, en effet :

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB} =\langle(x-1,y),(x+1,y)\rangle = (x+1)(x-1) + y^2 = x^2 + y^2 - 1 = 0 \quad\text{car}\quad x^2 + y^2 = 1[Note 8]

L'usage d'une √©quation permet de faire appel √† un nouveau pan des math√©matiques pour r√©soudre des questions de g√©om√©trie. Le rep√®re cart√©sien transforme un probl√®me de g√©om√©trie en un probl√®me d'analyse, une fois les figures √©tudi√©es traduites en √©quations ; d'o√Ļ le nom de g√©om√©trie analytique[27]. Ce point de vue, mis en √©vidence par Descartes, enrichit et modifie la g√©om√©trie telle que la concevaient les math√©maticiens de la Gr√®ce antique[Note 9].

Actuellement, la g√©om√©trie analytique d√©signe une branche des math√©matiques o√Ļ la recherche est active. Si elle utilise toujours l'√©quation pour caract√©riser une figure, elle utilise aussi des outils sophistiqu√©s issus de l'analyse fonctionnelle ou de l'alg√®bre lin√©aire[28]

√Čquation cart√©sienne et param√©trique

Il existe au moins deux m√©thodes pour d√©crire une figure g√©om√©trique √† l'aide d'√©quations. La premi√®re consiste √† la d√©crire par une √©quation de la forme f(x) = 0, o√Ļ f est une fonction de l'espace euclidien E de dimension n dans Rd o√Ļ d est un entier plus petit que n. Si f est une fonction suffisamment r√©guli√®re, n - d est la dimension de la figure g√©om√©trique. Si elle est √©gale √† 1, la figure est une courbe, pour 2 on parle de surface etc[29]... Une telle √©quation peut aussi s'√©crire comme syst√®me de d √©quations √† valeurs dans les r√©els exactement comme pour le cas de l'√©quation lin√©aire. Ce type d'√©quation est appel√© cart√©sien si x est exprim√© √† l'aide de ses coordonn√©es dans un rep√®re cart√©sien[30]. Les √©quations d√©crites dans le paragraphe pr√©c√©dent sont toutes cart√©siennes, comme celle du cercle d'√©quation x2 + y2 = 1.

Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique à l'aide d'une fonction f de Rd dans E de la manière suivante, un point m de E est élément de la figure lorsqu'il existe un point x de l'ensemble de définition de la fonction f tel que f(x) est égal à m. Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de f (il suffit que sa différentielle soit injective), la figure est de dimension d. On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique[31], cette définition de l'équation est relativement éloignée de celle trouvée en algèbre.

Exemple  :

Le cercle trigonom√©trique du plan euclidien admet pour √©quation param√©trique, de param√®tre őł.

\left\{\begin{matrix}x & = & \cos\theta \\ y& =&\sin\theta\end{matrix}\right.

Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une variété, au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement signifie que si m est un élément de la figure, il existe une fonction f et un voisinage V d'un point de l'ensemble de départ de f tel que l'image de f soit incluse dans la figure et tel que l'image de V par f soit un voisinage de m dans la figure[32]. Localement, il est aussi possible de définir la figure à l'aide d'une équation cartésienne.

Arithmétique

√Čquation diophantienne

Article d√©taill√© : √Čquation diophantienne.
Après plusieurs siècles d'efforts de la communauté mathématique, c'est David Hilbert qui finit par résoudre l'équation diophantienne de degré 2.

Historiquement, les premi√®res √©quations formalis√©es sont de nature arithm√©tique et datent du IIIe si√®cle[33]. Si l'on recherche comme solution d'une √©quation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre entier et si l'√©quation est √† coefficients entiers, on parle d'√©quation diophantienne[34]. Les m√©thodes d√©crites pr√©c√©demment sont g√©n√©ralement insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithm√©tique, ou au moins de l'arithm√©tique √©l√©mentaire sont indispensables. Un exemple relativement simple[35] est celui lin√©aire √† deux inconnues a.x + b.y = c.

Si le degr√© de l'√©quation augmente, la question devient beaucoup plus complexe. M√™me une √©quation de degr√© 2 n'est en g√©n√©ral pas simple (voir par exemple le th√©or√®me des deux carr√©s de Fermat ou l'√©quation de Pell-Fermat). √Ä condition d'ajouter d'autres m√©thodes, comme celle de descente infinie et de nouveaux r√©sultats comme le petit th√©or√®me de Fermat, il est possible de r√©soudre quelques cas particuliers. Le cas g√©n√©ral de l'√©quation de degr√© 2 demande l'usage d'outils plus sophistiqu√©s, comme ceux de la th√©orie alg√©brique des nombres. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les corps finis et les entiers alg√©briques, qui s'√©tudient, comme pour l'√©quation alg√©brique, √† l'aide de la th√©orie de Galois. Si l'√©quation alg√©brique de degr√© 2 est essentiellement r√©solue par Al-Khawarizmi, un math√©maticien arabe du VIIIe si√®cle, il faut attendre la fin du XIXe si√®cle pour que David Hilbert vienne √† bout de son √©quivalent diophantien[Note 10]. L'√©tude de l'√©quation diophantienne est souvent suffisamment complexe pour se limiter √† √©tablir l'existence de solutions et, s'il en existe, √† d√©terminer leur nombre.

Un vaste domaine d'application des √©quations diophantiennes est l'informatique. Les outils issus de leurs √©tudes permettent de concevoir des codes correcteurs et sont √† la base d'algorithmes en cryptologie. Il existe des √©quations diophantiennes qui s'√©crivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les r√©soudre, elles sont √† la base de codes secrets. Par exemple, l'√©quation n = x.y, o√Ļ n est un entier naturel fix√© et o√Ļ x et y sont les inconnues, n'est pas r√©soluble en pratique, si n est le produit de deux nombres premiers suffisamment grands. Cette √©quation est √† la base du code RSA[36].

Nombre algébrique et transcendant

Articles d√©taill√©s : Nombre alg√©brique et Nombre transcendant.
Lindemann montre qu'aucune √©quation polynomiale √† coefficients entiers n'admet ŌÄ comme racine.

Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une √©quation donn√©e, on peut consid√©rer le probl√®me inverse : de quelles √©quations un nombre donn√© est-il solution ? Un nombre est dit rationnel s'il est solution d'une √©quation du premier degr√© √† coefficients entiers. Il est dit alg√©brique s'il est solution d'une √©quation polynomiale √† coefficients entiers. S'il n'est pas alg√©brique il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donn√©, l'objectif est de trouver les √©ventuelles √©quations polynomiales dont ce nombre est racine (voir l'article Polyn√īme minimal d'un nombre alg√©brique).

Par exemple pour ‚ąö2, la question se pose de savoir s'il est possible de construire une √©quation du premier degr√© ayant cette valeur pour racine. Elle se r√©sout simplement : si une telle √©quation existe, on en d√©duit l'expression 2.a2 = b2, o√Ļ a et b sont des nombres entiers. L'analyse de la d√©composition en facteurs premiers montre que le terme de droite contient le facteur 2 un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque d√©montre que ‚ąö2 n'est pas un nombre rationnel[Note 11]. En revanche, il est par d√©finition alg√©brique, car solution de l'√©quation X2 - 2 = 0.

La m√™me question pour le nombre ŌÄ est plus d√©licate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune √©quation du premier degr√© √† coefficients dans les nombres entiers, on utilise des fractions continues (Une d√©monstration est propos√©e dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne). Les techniques sont plus sophistiqu√©es que celles utilis√©es pour d√©montrer l'irrationalit√© de ‚ąö2. Alors que ce premier r√©sultat est d√©j√† connu √† l'√©poque d'Euclide[37], il faut attendre le XVIIIe si√®cle pour √©tablir celle de ŌÄ[38].

Si montrer que ŌÄ n'est pas solution d'une √©quation du premier degr√© √† coefficients dans les entiers n'est d√©j√† pas si simple, il est encore plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune √©quation polynomiale √† coefficients entiers. Il faut encore plus d'un si√®cle d'efforts pour √©tablir cette transcendance[39]. Elle cl√īt une vieille question, √† savoir s'il est possible de construire √† la r√®gle et au compas un carr√© de m√™me aire qu'un cercle, cette question porte le nom de quadrature du cercle. Elle est impossible car toute construction de cette nature d√©finit une surface d'aire √©gale √† un nombre alg√©brique.

Géométrie algébrique

Article d√©taill√© : G√©om√©trie alg√©brique.

R√©soudre une √©quation diophantienne polynomiale n'est pas toujours possible avec les seuls outils de la th√©orie alg√©brique des nombres. Avec ce type de m√©thode, Ernst Kummer parvient √† r√©soudre, au milieu du XIXe si√®cle, presque tous les cas inf√©rieurs √† 100 de la c√©l√®bre √©quation d√©nomm√©e dernier th√©or√®me de Fermat[40], mais le cas g√©n√©ral reste hors de port√©e.

La g√©om√©trie, et plus pr√©cis√©ment la g√©om√©trie alg√©brique, est n√©cessaire pour conclure. L'√©quation du dernier th√©or√®me de Fermat s'√©crit de la mani√®re suivante xn + yn = zn. Quitte √† √©tudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par zn et √©crire l'√©quation qn + rn = 1. Si q et r sont choisis dans les nombres complexes, not√©s ici C, g√©om√©triquement, cette √©quation correspond √† une figure de C2, on encore √† une surface r√©elle dans un espace de dimension 4. Vue dans l'espace projectif de C2, on obtient une surface r√©elle, plong√©e dans un espace compact dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de conna√ģtre les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du th√©or√®me de Fermat.

La topologie offre des √©l√©ments de r√©ponse pour cette √©quation. Une surface de cette nature poss√®de un genre. Topologiquement, elle est √©quivalente √† une sph√®re (genre 0), √† un tore (genre 1) ou √† une figure comportant n trous (genre n). Dans le cas d'une vari√©t√© alg√©brique, d√©finie par une √©quation du type P(X, Y), o√Ļ P est un polyn√īme √† coefficients rationnels, le genre de la vari√©t√© est une indication sur le nombre de solutions. Ce r√©sultat, qui porte le nom de th√©or√®me de Faltings, est de la m√™me famille d'outils que ceux utilis√©s pour la d√©monstration du th√©or√®me de Fermat[Note 12].

Analyse

Zéro d'une fonction

En analyse plus encore, il sera bien souvent vain d'esp√©rer traiter une √©quation par des techniques √©l√©mentaires de substitution ou transformation, en esp√©rant isoler la variable. Et m√™me quand cela s'av√®re possible, comme pour certaines √©quations alg√©briques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur num√©rique, l'approche d√©crite dans ce paragraphe est souvent moins co√Ľteuse[Note 13]. On peut toujours ramener l'√©quation √† une forme f(x) = 0. Consid√©rons par exemple l'√©quation suivante, l'inconnue √©tant un r√©el strictement positif :

\sin(x) = \ln \left( \frac 1{\sqrt x} \right)

Elle se r√©√©crit f(x) = 0 si on pose f(x) = sin(x) + 1/2ln(x). Un z√©ro est une solution de l'√©quation dans ce cas particulier. Il serait vain de chercher √† exprimer un z√©ro par une formule composant des fonctions √©l√©mentaires (fractions rationnelles, fonctions exponentielles, logarithmiques ou trigonom√©triques...). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de z√©ros, des intervalles les contenant, ainsi que des approximations de ces z√©ros[41].

Dans l'exemple, l'√©tude de la fonction f montre facilement qu'il y a exactement trois z√©ros, un dans l'intervalle ]0, 1], un dans [3, 4] et le dernier dans [5, 6]. La continuit√© de f permet de construire une premi√®re suite (xn) convergeant vers le z√©ro de l'intervalle ]0, 1]. Au voisinage de 0, la fonction est strictement n√©gative, au point 1, elle est strictement positive, le th√©or√®me des valeurs interm√©diaires garantit l'existence d'un z√©ro dans cet intervalle, car f est continue. On pose x0 = 0, au point 1/2, la fonction f est strictement positive, on en d√©duit l'existence d'un z√©ro dans l'intervalle [0, 1/2] et on pose x1 = 0. Au point 1/4, elle est strictement n√©gative, on en d√©duit l'existence d'un z√©ro dans [1/4, 2/4] et on pose x2 = 1/4 et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi pr√©cise que souhait√©e. Cette m√©thode porte le nom de dichotomie et est la premi√®re illustr√©e dans la figure du paragraphe.[42]

Seule la continuit√© de f a √©t√© utilis√©e dans l'algorithme pr√©c√©dent, un th√©or√®me du point fixe est √† la base d'une m√©thode plus efficace. On construit une fonction g (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-√†-dire un point x tel que g(x) = x) la solution recherch√©e. On choisit g de telle mani√®re √† ce que la d√©riv√©e au point fixe soit la plus petite possible. Une solution simple est de d√©finir g(x) = x + őĽ.f(x). Dans l'exemple, on peut choisir őĽ √©gal √† -1/2. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir x0 √©gal √† 1. On d√©finit xn = g(xn-1). Si la d√©riv√©e de g est proche de 0, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme pr√©c√©dent. Dans l'exemple choisi, la solution est √©gale √† 0,43247... La quatri√®me it√©ration de la premi√®re m√©thode donne pour valeur 0,375 alors que celle issue du point fixe donne 0,4322...[43]

La dérivabilité de f partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence encore meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point x0, égal à 1 dans l'exemple, à trouver la solution x1 de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x0. Puis on construit x2 comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction f au point x1. Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de x4 est égale à 0,43246 soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de Newton[44].

√Čquation vectorielle

Article d√©taill√© : Syst√®me d'√©quations.
La méthode de descente du gradient s'applique à toute équation d'un espace vectoriel de dimension finie et à valeurs dans l'ensemble des nombres réels. Elle est illustrée ici à l'aide d'une représentation en courbes de niveaux

Si l'√©quation prend la forme f(x) = 0 o√Ļ f est une fonction d'un espace vectoriel E √† valeurs dans un espace vectoriel F dont le vecteur nul est not√© 0, les id√©es de l'alg√®bre lin√©aire peuvent encore s'appliquer partiellement. Il est possible de choisir une base de E et de F et d'exprimer f √† l'aide de m fonctions fj r√©elles de n variables xk, o√Ļ m est la dimension de F et n celle de E, on obtient ce que l'on appelle un syst√®me d'√©quations, de la forme suivante :

\quad \left\{\begin{matrix}  f_1(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\cdots x_n) = 0 \\ \vdots \\ f_m(x_1,\cdots x_n) = 0\end{matrix}\right.
Cette représentation correspond à la même équation que celle représentée à gauche, mais cette fois-ci en dimension 3.

Les m√™mes limitations que celles d√©crites au paragraphe pr√©c√©dent s'appliquent. Il est tout √† fait possible que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'√©quation lin√©aire, ne soit pas possible, par exemple si les fi contiennent des expressions trop complexes. Certaines des id√©es, exprim√©es dans le cas o√Ļ f est une fonction de la variable r√©elle √† valeurs r√©elles, peuvent s'adapter √† la g√©om√©trie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'√©quivalent du th√©or√®me des valeurs interm√©diaires pour la nouvelle configuration. En revanche, le th√©or√®me du point fixe se g√©n√©ralise, ainsi que la d√©finition d'une d√©riv√©e.

La d√©riv√©e, ou plut√īt la diff√©rentielle de f peut √™tre utilis√©e de plusieurs mani√®res. La premi√®re est une simple adaptation de la m√©thode de Newton, √† partir d'un point x0, on r√©sout l'√©quation lin√©aire tangente en ce point, c'est-√†-dire Dfx0.h + f(x0) = 0. La valeur x1 est √©gale √† x0 + h et l'on r√©it√®re le processus pour obtenir une suite. Si E est √©gal √† F et pour permettre une convergence plus rapide, on r√©sout souvent une √©quation lin√©aire analogue, mais dont l'application lin√©aire associ√©e d√©finit un produit scalaire. Cette astuce permet une acc√©l√©ration du temps de traitement de la r√©solution des √©quations lin√©aires interm√©diaires, la m√©thode associ√©e porte le nom de quasi-Newton[45].

Une autre m√©thode consiste √† transformer l'ensemble d'arriv√©e en R+, par exemple en √©quipant F d'un produit scalaire et en recherchant les z√©ros de la fonction g √† valeurs r√©elles, qui √† x associe le carr√© de la norme de f(x) ou encore le produit scalaire de f(x) avec x, si E est √©gal √† F. Les deux √©quations f(x) = 0 et f(x)2 = 0 poss√®dent les m√™mes solutions. Le probl√®me revient √† trouver un extremum de la nouvelle fonction g. On part d'un point x0 dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donn√©e par le gradient et on s'arr√™te au point x1, le minimum de la fonction g dans la direction du gradient. Puis on r√©it√®re le calcul.[Note 14]

Analyse fonctionnelle

Article d√©taill√© : Analyse fonctionnelle (math√©matiques).
L'aérodynamisme d'un objet volant est régi par une équation qui s'étudie à l'aide de l'analyse fonctionnelle. Des outils puissants tels que l'espace de Hilbert sont nécessaire pour établir quelques théorèmes généraux.

Si l'espace vectoriel E est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres id√©es doivent √™tre utilis√©es pour venir √† bout de l'√©quation. Cette configuration se produit si l'inconnue x d√©signe une fonction. Une fois encore, il est vain de rechercher des m√©thodes syst√©matiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions √©l√©mentaires, les cas o√Ļ une telle expression existe tiennent plus de l'exception que de la r√®gle.

Une m√©thode g√©n√©rale[46] consiste associer √† un espace de fonctions Hp, comme celui des fonctions continues d√©finies sur un intervalle [ab], une g√©om√©trie. Pour ce faire, on peut d√©finir sur l'espace une distance euclidienne, c'est √† dire d√©finie par un produit scalaire comme celui qui, √† deux fonctions f et g de Hp associe :

\langle f,g\rangle = \int_a^b f(\mu)g(\mu) \mathrm d\mu

√Ä l'aide de cette distance, on construit une suite (xn) de fonctions qui v√©rifie la propri√©t√© de Cauchy, c'est √† dire que si les indices n et m sont suffisamment grands xn et xm sont arbitrairement proches. Un exemple est donn√©e par l'√©quation int√©grale, dite de Fredholm[47] :

(1)\quad F(x) = g \quad\text{avec}\quad F : x \rightarrow F_x(t) = \int_a^b K(t,\mu)\,x(\mu)\mathrm d \mu

La suite (xn) est construite de telle manière à ce que la distance entre les fonctions Fxn(t) et g(t) tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement dans Hp, ce qui revient à dire que cet espace n'est pas complet. Il est alors plongé dans un espace H qui le contient et qui lui, est complet[48]. Un élément de H n'est plus une fonction, il peut être vue comme un élément du dual de Hp[49]. Dans H, la suite (xn) converge vers une limite s. Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation (1) car la distance entre F(s) et g est nulle. Mais s n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de Hp, on parle de solution faible. On montre enfin que cette être abstrait s'identifie à un élément de Hp, c'est à dire une à fonction qui vérifie l'équation (1), appelée solution forte[50],[Note 15]

Systèmes dynamiques

Introduction

Article d√©taill√© : Syst√®me dynamique.
Une fois connues la vitesse et la position d'une comète en un instant t, la résolution d'une équation différentielle permet de déterminer sa trajectoire exacte.

La physique est √† l'origine d'√©quations fonctionnelles particuli√®res : les syst√®mes dynamiques. Un exemple historiquement c√©l√®bre, est issu de la loi universelle de la gravitation. Si l'on n√©glige l'attraction due aux autres plan√®tes, l'acc√©l√©ration de la Terre est dirig√©e vers le soleil et son intensit√© est inversement proportionnelle au carr√© de la distance qui s√©pare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une √©quation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la Terre, donne sa trajectoire, c'est-√†-dire sa position en fonction du temps. Historiquement, la capacit√© √† pr√©voir la position exacte des com√®tes au XVIIIe si√®cle fut une confirmation de la th√©orie de Newton[Note 16].

Un syst√®me qui √©volue et dont une √©quation permet de conna√ģtre exactement son √©tat au cours du temps, √† la condition de conna√ģtre son √©tat initial, est qualifi√© de dynamique. On peut les classer en trois grandes cat√©gories. La formulation la plus simple est dite discr√®te[Note 17], l'√©tat du syst√®me est d√©crit √† diff√©rentes √©tapes, not√©es par les entiers 0, 1, 2 ...,  k, ... et la solution est une suite (u k). Ce type de syst√®me est utilis√© pour simuler un comportement continu, en discr√©tisant le temps √† l'aide d'intervalles suffisamment petits pour que l'impr√©cision engendr√©es par cette m√©thode reste dans des limites acceptables. Conna√ģtre la trajectoire exacte d'une com√®te suppose la prise en compte de l'attraction de tous les corps c√©lestes du syst√®me solaire. R√©soudre l'√©quation dans ce cas devient difficile, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravit√© est presque constante, la trajectoire de la com√®te est presque parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule ais√©ment, une fois connue la position des diff√©rents corps c√©lestes massifs comme les plan√®tes ou le soleil. Ensuite, il suffit de recalculer, √† chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire r√©elle. Si (p kv k) d√©signe le couple position et vitesse de la com√®te √† la seconde k, il existe deux fonctions f et g r√©gissant l'√©quation :

p_n = f(p_{n-1},v_{n-1}) \quad\text{et}\quad v_n = g(p_{n-1},v_{n-1})

On obtient des suites définies par récurrence, caractéristique d'un système dynamique discret[51].

Il est aussi possible de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la com√®te avec sa vitesse instantan√©e (que l'on appelle d√©riv√©e en math√©matiques) et son acc√©l√©ration (ou d√©riv√©e seconde). R√©soudre l'√©quation permet de trouver la trajectoire de notre plan√®te[Note 18]. L'√©quation prend une forme de la nature suivante, appel√©e √©quation diff√©rentielle :

f\left(t,p(t),\frac {\mathrm dp}{\mathrm dt}(t), \frac {\mathrm d^2p}{\mathrm dt^2}(t)\right)= 0

Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une corde vibrante. On parle d'équation aux dérivées partielles[52].

√Čquation diff√©rentielle

Article d√©taill√© : √Čquation diff√©rentielle.
Trac√© d'une solution d'une √©quation diff√©rentielle (bleu) de la forme x' = ŌÜ(x), la fonction ŌÜ est illustr√©e en vert.

La lettre x d√©signe ici une fonction de la variable r√©elle et f une fonction de n + 1 variables r√©elles. Soit F la fonction qui √† x associe la fonction t ‚ÄĒ> f(tx(t), x'(t), x(2)(t),..., x(n)(t)), o√Ļ x(k) la d√©riv√©e ki√®me de la fonction x. On consid√®re l'√©quation F(x) = 0. Une telle √©quation est appel√©e √©quation diff√©rentielle.

Les solutions sont, en g√©n√©ral, √©tudi√©es sous la ¬ę forme de Cauchy ¬Ľ, c'est-√†-dire associ√©es √† des valeurs t0 ,őĺ0 ,őĺ1,... ,őĺn-1 telles qu'une solution v√©rifie :

f(t,x,x',\cdots, x^{(n)})=0 \quad\text{avec}\quad x(t_0)=\xi_0,\;x'(t_0) = \xi_1,\cdots, x^{(n-1)}(t_0)=\xi_{n-1}

La situation est un peu analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles[53]. Un premier résultat global est le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que, si f est une fonction lipschitzienne, il existe une unique solution au problème de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée[54]. Dans certains cas particuliers, il est possible d'expliciter directement une solution, comme pour l'équation différentielle d'ordre un à variables séparées ou l'équation différentielle linéaire, mais pas toujours.

L'exemple de droite illustre une solution d'une √©quation de la forme x' = ŌÜ(x), o√Ļ la solution recherch√©e est une fonction d√©finissant une courbe du plan. Sa variable est r√©elle et elle est √† valeurs dans R2. La fonction ŌÜ est une fonction continue de R2 dans lui-m√™me. √Ä chaque point du plan, elle associe un vecteur, elle est dite champ vectoriel. Une solution s poss√®de la propri√©t√© d'avoir, pour chaque point p de son image, une tangente √† sa courbe de direction ŌÜ(p). La vitesse scalaire √† l'instant t[Note 19] est √©gale √† la norme de l'image par ŌÜ du point s(t).

√Čquation aux d√©riv√©es partielles

L'équation régissant la surface de la mer est une équation aux dérivées partielles.

La physique propose divers exemples o√Ļ la solution recherch√©e ne d√©pend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas relativement simple est celui d'une onde sur une corde vibrante. La fonction d√©crivant sa position d√©pend de deux param√®tres, le temps et une coordonn√©e pour d√©crire un point de la corde. Trois variables sont n√©cessaire pour d√©crire une vague, deux d√©crivent la position d'un point de la surface et la troisi√®me le temps. En physique quantique, la relation fondamentale de la dynamique se traduit par une √©quation d'onde qui n√©cessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe fondamental est appel√©e √©quation de Schr√∂dinger.

L'√©quation √©quivalente √† celle du paragraphe pr√©c√©dent, pour une fonction x de plusieurs variables, porte le nom d'√©quation aux d√©riv√©es partielles. L'√©quivalent du probl√®me de Cauchy s'exprime de mani√®re plus complexe. la condition initiale est remplac√©e par les conditions aux limites. Dans certains cas on recherche comme solution une fonction d√©finie sur ő©x[ab] ou ő© est un ouvert que l'on suppose born√©, connexe et dont la fronti√®re ‚ąāő© est r√©guli√®re[Note 20], [ab] est un intervalle qui repr√©sente le temps . Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond √† la valeur ou la limite de la fonction sur ‚ąāő©x]ab[. La fonction mod√©lisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante √† la limite de la membrane, cette contrainte est appel√©e la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur ő©x{a} sont appel√©es la condition initiale ou donn√©e de Cauchy[55].

En m√©t√©orologie, la pr√©vision num√©rique du temps consiste √† mod√©liser les mouvements de l'atmosph√®re terrestre par l'√©quation de Navier-Stokes[56]. Une difficult√© pratique est de d√©terminer pr√©cis√©ment la donn√©e de Cauchy : il faudrait mesurer la temp√©rature, la pression, le taux d'humidit√© etc en tout point de l'atmosph√®re. Cette difficult√©, ajout√©e au fait qu'on ne sache pas r√©soudre l'√©quation de Navier-Stokes, font que les m√©thodes de r√©solution utilis√©es sont num√©riques : on ne peut calculer que des valeurs approch√©es[57].

Certaines √©quations aux d√©riv√©es partielles ne sont pas aussi complexes. Fourier, un math√©maticien du d√©but du XIXe si√®cle avait trouv√© comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples[58]. La sp√©cificit√© de cette √©quation, comme celle d√©crivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'√™tre lin√©aire, c'est-√†-dire que l'on peut la mettre sous la forme a(x) + b = 0, o√Ļ a est un op√©rateur lin√©aire construit √† l'aide de d√©riv√©es partielles et b une fonction particuli√®re. Le cas lin√©aire est trait√© par une th√©orie ¬ę relativement bien constitu√©e ¬Ľ[59]. L'outil principal est un espace fonctionnel particulier, dit de Sobolev.

D'autres équations restent difficiles d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer difficile[Note 21]. On est loin de disposer d'une théorie générale[60], les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les systèmes dynamiques.

Condition initiale

La frontière d'un ensemble de Julia est le plus souvent un fractal.

Une des questions qui se pose sur les syst√®mes dynamiques est la nature de la solution en fonction de sa valeur initiale. Si une petite modification de cette valeur change de mani√®re importante le comportement de la solution, m√™me si le syst√®me est d√©terministe, son √©volution semblera al√©atoire. D√©terministe signifie que toute √©volution du syst√®me d√©pend uniquement de sa valeur initiale, sa connaissance parfaite permet de pr√©voir parfaitement son futur, ce qui est toujours le cas d'un syst√®me dynamique. En physique, il est impossible de conna√ģtre parfaitement l'√©tat initial du syst√®me. On le conna√ģt, par exemple avec une pr√©cision de 5 d√©cimales, si la sixi√®me d√©cimale finit par modifier l'√©volution du syst√®me de mani√®re significative, le futur de l'√©volution n'est pas parfaitement connu, mais d√©pend d'une information inaccessible et le futur appara√ģt comme incertain, m√™me si les lois mod√©lisant l'√©volution sont d√©terministes. Ce ph√©nom√®ne se produit en m√©t√©orologie, cette science est mod√©lis√©e par un syst√®me dynamique qui, pour permettre une pr√©vision sur le long terme, demande une connaissance pr√©cise de l'√©tat initial. Comme cette connaissance est d'une pr√©cision limit√©e, il existe un horizon dans la pr√©vision[61]. Si l'√©quation mod√©lisant la m√©t√©orologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions d√©pendent contin√Ľment de valeurs aux bornes du domaine de la solution (l'√©quivalent de la condition initiale pour une √©quation aux d√©riv√©es partielles), cette question est associ√©e √† l'un des sept prix de un million de dollars offerts par l'Institut de math√©matiques Clay au premier qui apportera la r√©ponse[62].

Une m√©thode pour apporter des √©l√©ments de r√©ponse, est d'√©tudier les cas les plus simples possibles. On cherche √† comprendre ce ph√©nom√®ne sur une suite r√©currente d√©finie par l'√©quation : xn+1 = f(xn) o√Ļ f est un polyn√īme du second degr√©, r√©el ou complexe. Un cas tr√®s √©tudi√© est celui o√Ļ f(x) = x2 + c. La condition initiale est ici la valeur de x0, un nombre complexe. Jc est l'ensemble des conditions initiales telles que la suite est born√©e, il est appel√© ensemble de Julia, dont un exemple est illustr√© sur la figure de gauche. Toute condition initiale p hors de la fronti√®re de Jc poss√®de un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensit√© symbolise la vitesse de convergence.[63]

Une premi√®re question qui se pose est le poids de la zone fronti√®re. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition initiale, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations classiques, une fronti√®re d'une figure g√©om√©trique de dimension 2 est d'aire nulle, m√™me si la figure poss√®de une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa fronti√®re, un cercle de m√™me rayon, est d'aire nulle. En revanche, le cercle, consid√©r√© comme une courbe, poss√®de une longueur finie. Pour la fronti√®re de l'ensemble de Julia, cette m√©thode s'av√®re parfois inop√©rante, on peut trouver une longueur infinie, si la fronti√®re est consid√©r√©e comme une courbe[64]. Pour √©valuer le poids de cette longueur, on utilise une remarque g√©om√©trique. Soit S une surface d'aire s, l'homoth√©tie de rapport 2 appliqu√©e √† S, d√©finit une nouvelle surface d'aire 22.s. Si V est une figure g√©om√©trique de dimension 3 et de volume v, l'homoth√©tie de rapport 2 d√©finit une figure de volume 23.v. L'exposant que l'on applique au rapport de l'homoth√©tie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine mani√®re permet une √©valuation du poids de la figure, on parle de dimension de Hausdorff ou de dimension fractale[65]. Cette technique peut √™tre appliqu√©e √† la fronti√®re de l'ensemble de Julia, sa dimension est g√©n√©riquement diff√©rente de un[66] : la fronti√®re est dite fractale[67].

Chaos

Article d√©taill√© : Th√©orie du chaos.
Une suite récurrente, même définie de manière simple, permet de voir l'apparition d'un phénomène chaotique.

La sensibilit√© √† la condition initiale n'est pas l'unique question √† r√©soudre pour √©laborer une th√©orie g√©n√©rale des syst√®mes dynamiques. On souhaite aussi conna√ģtre le comportement limite du syst√®me, encore appel√© comportement asymptotique, c'est-√†-dire ce qu'il se passe une fois que l'on a attendu que le syst√®me se stabilise. S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois cat√©gories, soit le syst√®me s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers encore autre chose qui, selon certaines d√©finitions, est appel√©e chaos[68].

Une fois encore, il est utile de consid√©rer le syst√®me dynamique le plus simple possible, pour comprendre au moins qualitativement les m√©canismes en jeu. Comme pr√©c√©demment, on utilise une suite r√©currente d√©finie par un polyn√īme du second degr√© Pr, cette fois-ci r√©el √† valeurs r√©elles. La suite logistique est d√©finie par r√©currence : xr,n+1 = r.xr,n.(1 - xr,n). L'un des charmes de cette suite est que son comportement est relativement ind√©pendant de la condition initiale si elle est choisie entre 0 et 1[Note 22].

Les turbulences générées par les masses d'air autour d'une aile d'avion en mouvement sont chaotiques.

L'objectif est d'augmenter la valeur de r, initialement nulle et d'√©tudier ce comportement asymptotique. Si une fonction f poss√®de un point fixe pf, de d√©riv√©e strictement comprise entre -1 et 1, en valeur absolue, et si la suite d√©finie par xn+1 = f(xn) prend une valeur proche de ce point fixe, elle converge vers pf. Ce point est dit attracteur et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est appel√©e bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours ]0, 1[, √† un ensemble n√©gligeable pr√®s, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble √™tre attir√©e, comme par un aimant vers cet attracteur. Si r est compris entre 0 et 3, l'attracteur est un point et la suite converge. A partir de la valeur 3, le polyn√īme Pr ne poss√®de plus de point fixe, mais le polyn√īme compos√© avec lui-m√™me, en poss√®de un, si r est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de Pr2. La valeur 3 de r est appel√©e une bifurcation. L'attracteur devient un ensemble √† deux √©l√©ments, illustr√© sur la figure de droite. Au point 1+‚ąö6, une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur poss√®de alors 4 points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus en fonction de r par des doublements, jusqu'√† atteindre une valeur infinie pour r √©gale √† őľ, qui se situe aux alentours de 3,57[69].

Il devient n√©cessaire de pr√©ciser ce qu'on entend par ¬ę attracteur ¬Ľ : ce sera l'intersection des ensembles An o√Ļ An est l'adh√©rence des points x k pour k sup√©rieur √† n. Dans le cas de la suite logistique et √† l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est ind√©pendant de la condition initiale. On peut voir l'attracteur Ar comme un ensemble qui attire les √©l√©ments de la suite, laquelle, √† partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de A. Entre őľ et 4, un triple comportement est possible. Pour un ensemble H (pour hyperbolique[70]) de valeurs du param√®tre r qui est un ouvert dense de [őľ, 4], l'attracteur est un ensemble fini[71] (comportement cyclique). Pour un autre ensemble C (pour chaotique[72]) de valeurs du param√®tre, qui est lui ferm√©, totalement discontinu et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales x0 (d√©pendant de r) l'attracteur est un intervalle d'int√©rieur non vide et le comportement est chaotique[73], c'est √† dire qu'il √©volue sans ordre apparent, √† l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant √©voluer au gr√© du hasard, m√™me si cette √©volution est en fait d√©terministe. Le dernier comportement se produit sur l'ensemble A, compl√©mentaire de l'union de C et de H dans [őľ, 4]. L'ensemble A n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des ensembles de Cantor[Note 23]. Depuis 2002, on sait que A est de mesure nulle[74].

Ce comportement s'applique aussi aux √©quations diff√©rentielles ou aux d√©riv√©es partielles. Edward Lorenz a trouv√© une √©quation diff√©rentielle relativement simple, ayant un attracteur fractal, g√©n√©ralement qualifi√© d'√©trange, il est repr√©sent√© sur la deuxi√®me illustration de cet article[75]. Certaines √©quations diff√©rentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le th√©or√®me de Poincar√©-Bendixson montre une famille d'√©quations n'ayant pas de comportement chaotique[76]. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les √©quations aux d√©riv√©es partielles, on les trouve dans les mod√©lisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de turbulences. En 2009, l'√©tat des math√©matiques est loin d'√™tre capable de pr√©senter une condition n√©cessaire et suffisante g√©n√©rale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique appara√ģt, m√™me dans le cas des syst√®mes discrets.

Voir aussi

Bibliographie

  • (fr) J. Merker Du trin√īme du second degr√© √† la th√©orie de Galois Presses universitaires de Franche-Comt√© (2007) (ISBN 2848672056)
    En supposant un acquis nul, mais une bonne capacité de compréhension, l'auteur parcourt l'essentiel de la théorie des équations, au sens historique du terme. Ce livre couvre le paragraphe Théorie des équations.
  • (fr) Adrien Douady et R√©gine Douady, Alg√®bre et th√©ories galoisiennes [d√©tail des √©ditions]
    Un livre qui permet d'aller plus loin pour comprendre le traitement d'une équation algébrique. On y trouve l'exemple illustré par la figure ainsi qu'une formulation du théorème de d'Alembert-Gauss. Son niveau, jugé trop élevé pour l'article, n'est pas à l'origine des idées exprimées dans le paragraphe associé, même s'il a été consulté pour des points de détail.
  • (fr) D. C. Lay Alg√®bre lin√©aire De Boeck (2004) (ISBN 2804144089)
    Une référence qui traite des équations linéaires, à la fois sous forme de système et de géométrie vectorielle. Il couvre l'intégralité des informations de nature mathématiques données dans les deux paragraphes sur l'équation linéaire.
  • (fr) A. Quarteroni R. Sacco F. Saleri M√©thodes Num√©riques Algorithmes, analyse et applications Springer (ISBN 9788847004955)
    Ce livre aborde des techniques d'analyse numérique qui dépassent le cadre strict de l'équation linéaire. Il vise un public d'étudiants de deuxième et troisième cycle universitaire. Ce livre approfondit les résultats de la référence précédente, mais cet approfondissement n'est pas retranscrit dans l'article.
  • (fr) J. Trignan Constructions g√©om√©triques & courbes remarquables Vuibert (2004) (ISBN 2711771245)
    Ce livre traite de la g√©om√©trie et fait largement usage des techniques issues de la g√©om√©trie analytique, on y trouve l'√©tude des courbes param√©tr√©es, une √©tude des coniques ou encore la r√©solution de l'√©quation alg√©brique par l'intersection d'un cercle et d'une parabole. Cette r√©f√©rence, plut√īt didactique, couvre les aspects √©l√©mentaires des deux paragraphes sur la g√©om√©trie.
  • (fr) Marcel Berger, Bernard Gostiaux, G√©om√©trie diff√©rentielle : vari√©t√©s, courbes et surfaces [d√©tail des √©ditions]
    Cette référence traite aussi de la géométrie, de manière plus complète et moins accessible que la référence précédente. L'objet central de l'étude est la variété différentielle, on traite aussi des courbes avec cette fois-ci aussi une étude globale et des résultats comme le théorème de Jordan. Ce livre complète les informations des paragraphes sur la géométrie, il traite des théories plus sophistiquées comme les variétés, la théorie du degré ou encore l'étude globale des courbes.
  • (fr) Pierre Samuel, Th√©orie alg√©brique des nombres [d√©tail des √©ditions]
    Comme son nom l'indique, cette référence offre un accès à la théorie algébrique des nombres. Elle présente les outils de base pour la résolution de quelques équations diophantiennes à l'aide d'outils comme les entiers algébriques. Il est, avec la référence suivante, à l'origine de la rédaction du paragraphe sur l'équation diophantienne.
  • (en) D. A. Cox Primes of the Form x2+ny2 Wiley-Interscience 1989 (ISBN 0471506540)
    Cette référence est très spécialisée. Ce livre de plus de 300 pages traite exclusivement de la résolution de l'équation diophantienne du deuxième degré. Avec la référence précédente, il est très largement à l'origine du paragraphe sur l'équation diophantienne.
  • (fr) N. Ferguson B. Schneier S√©curit√© de l'information et des syst√®mes : Cryptographie : En pratique, Vuibert, (2004), (ISBN 2711748200)
    Cette référence décrit divers systèmes de cryptographie dont RSA. Il n'a pas été consulté pour la rédaction de l'article.
  • (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers [d√©tail des √©ditions]
    Cette référence est généraliste. Elle couvre non seulement les informations données sur l'équation diophantienne, même si elle n'a pas été consultée dans cette optique, mais développe aussi des méthodes d'approximation diophantienne permettant de savoir si un nombre est un rationnel, un entier algébrique ou un nombre transcendant. Ce livre contient les informations du paragraphe sur les nombres algébriques et transcendants.
  • (en) J. P. Serre Lectures on the Mordell-Weil Theorem Friedrick Vieweg & Son (1997) (ISBN 3528289686)
    Ce petit livre (218 pages) montre comment la géométrie algébrique permet de résoudre des équations diophantiennes, il est d'un niveau nettement supérieur aux précédents et couvre le paragraphe sur l'usage de la géométrie algébrique en théorie des nombres, même si le paragraphe est rédigé pour être accessible à un vaste public, alors que cette référence ne l'est pas.
  • (fr) C. Brezinski M. Redivo-Zaglia M√©thodes num√©riques it√©ratives : Alg√®bre lin√©aire et non lin√©aire Ellipses Marketing (2006) (ISBN 2729828877)
    Ce livre traite à la fois de l'aspect théorique et pratique des méthodes de résolution d'équations. L'algèbre linéaire n'est pas en reste, mais on trouve aussi comment aborder des problèmes un peu différents, en particulier issus de la géométrie fractale. Cette référence couvre très largement l'intégralité des informations présentées pour la résolution par approximation des équations réelles ou vectorielles dans le cas de la dimension finie.
  • (fr) J. P. Aubin Analyse fonctionnelle appliqu√©e Puf 1987 (ISBN 02463822)
    Ce livre aborde l'analyse fonctionnelle sous un aspect didactique. Le choix, que l'auteur commente ainsi ¬ę ... pour garder la longueur de l'expos√© dans les limites raisonnables, nous avons choisi de nous placer dans le seul cadre des espace de Hilbert. ¬Ľ est essentiellement repris dans l'article pour la r√©daction du paragraphe sur l'analyse fonctionnelle.
  • (fr) Ha√Įm Brezis, Analyse fonctionnelle : th√©orie et applications [d√©tail des √©ditions]
    Cette introduction à l'analyse fonctionnelle est souvent citée comme référence à la fois accessible et riche. Elle choisit une présentation plus générale et moins didactique, en commençant directement par les propriétés d'un espace de Banach. L'exemple du paragraphe sur l'analyse fonctionnelle, ainsi que le vocabulaire provient de cette référence.
  • (fr) S. Francescholl Chaos et syst√®mes dynamiques Hermann (2007) (ISBN 2705666877)
    Ce livre définit et étudie les systèmes dynamiques, particulièrement sous la forme d'équations différentielles, même si les équations aux différences finies ou aux dérivées partielles ne sont pas absentes. Les exemples choisis dans l'article comme la météorologie ou l'évolution du système solaire sont traités dans ce livre, qui pousse l'étude à un niveau beaucoup plus élevé que celui de l'article.
  • (fr) J. H. Hubbard √Čquations diff√©rentielles et syst√®mes dynamiques Vuibert (1999) (ISBN 284225015X)
    Une r√©f√©rence tr√®s accessible sur l'√©tude des syst√®mes dynamiques. L'approche qualitative, ainsi que les simulations sur ordinateurs sont fr√©quentes, car il est rare de pouvoir exprimer une solution sous une forme explicite. Il couvre l'int√©gralit√© des informations du paragraphe sur les √©quations diff√©rentielles. On y trouve la d√©finition d'√©quation diff√©rentielle ainsi que le th√©or√®me de Cauchy avec sa d√©monstration, et l'√©tude de la ¬ę forme de Cauchy ¬Ľ. A l'image de l'article, cette r√©f√©rence √©tudie surtout les √©quations diff√©rentielles sous l'angle des syst√®mes dynamiques.
  • (en) Y.V. Egorov M.A. Shubin Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations Springer-Verlag 2i√®me √©dition (1998), (ISBN 3540638253)
    Un livre technique sur les équations aux dérivées partielles, traitant surtout du cas linéaire. Pour être compris, il suppose un bon niveau en mathématiques. L'expression des résultats fait usage de concepts trop sophistiqués pour qu'ils soient véritablement présentés dans l'article.
  • (fr) J. Dubois J. Chalin Le monde des fractales Ellipse (2006) (ISBN 272982782)
    A la différence des autres ouvrages de référence, celui-là n'est pas universitaire. Son auteur Jacques Dubois, Professeur émérite à l'Institut de Physique du Globe de Paris, a choisi ici une approche didactique sur la sensibilité aux conditions aux limites, reprise par l'article. Cette approche est abordée dans son livre sous l'axe des ensembles de Julia et l'étude de leurs dimensions, à l'image du paragraphe sur la condition initiale.
  • (fr) R. C. Robinson An Introduction to Dynamical Systems Prentice Hall (2004) (ISBN 0131431404)
    Ce gros livre de plus de 600 pages traite des systèmes dynamiques non linéaires, sous forme d'équations différentielles et d'équations aux différences finies. Seule, la deuxième partie, traitant des différences finies a été consulté. L'exemple de la suite logistique, abordé dans le paragraphe Chaos, est précisément décrit.

Liens externes

Notes

  1. ‚ÜĎ En termes modernes, on remarque que la fonction est continue et d√©finie sur un compact, ce qui montre l'existence d'un sommet (cf l'article Th√©or√®me isop√©rim√©trique)
  2. ‚ÜĎ Le raisonnement de l'√©poque consistait √† montrer que toute solution est n√©cessairement un triangle dont deux cot√©s adjacents sont de longueurs √©gales. Ce r√©sultat montre l'unicit√© d'une √©ventuelle solution, mais pas son existence. F. Dress indique : ¬ę O. Perron a fait observer que le m√™me sch√©ma de d√©monstration prouverait que "le nombre 1 est le plus grand nombre entier", puisqu'√† tout nombre entier a diff√©rent de 1 on peut en effet associer un nombre entier plus grand, son carr√© a2. Cet argument montre seulement que le nombre 1 est le seul candidat possible, et l'erreur de cette "d√©monstration" est √©videmment qu'ici le maximum n'existe pas. ¬Ľ F. Dress Quelques grands probl√®mes en math√©matiques Bulletin de la soci√©t√© math√©matiques de France T 115 (1987) p 43
  3. ‚ÜĎ Une d√©monstration se trouve dans l'article Isop√©rim√©trie
  4. ‚ÜĎ Cette √©quation peut servir d'exemple introductif, elle est int√©gralement trait√©e dans le site vid√©o : Equation du second degr√© param√©tr√©e Exercice de math√©matiques Terminale S
  5. ‚ÜĎ Le mot analogue signifie ici en termes techniques : exprimable sous forme de radicaux. Pour plus de d√©tail, voir l'article th√©or√®me d'Abel.
  6. ‚ÜĎ La m√©thode est encore efficace si son oppos√©, c'est √† dire <ax,y> est un produit scalaire
  7. ‚ÜĎ Le terme optimal signifie ici soit un maximum, soit un minimum
  8. ‚ÜĎ Les d√©tails des calculs sont accessibles en vid√©o pour un exemple analogue sur le site : √Čquation du cercle par vid√©omaths
  9. ‚ÜĎ Les informations provenant de ce paragraphe sont disponibles sur le site : La naissance de la g√©om√©trie analytique : la G√©om√©trie de Descartes (1637) IREM de Rennes
  10. ‚ÜĎ Pas moins d'un livre de 350 pages est n√©cessaire pour traiter tous les cas : D. A. Cox Primes of the Form x2+ny2 Wiley-Interscience 1989 (ISBN 0471506540)
  11. ‚ÜĎ Pour plus de d√©tails, voir l'article racine carr√©e de deux
  12. ‚ÜĎ M√™me famille ne signifie pas que Wiles utilise le th√©or√®me de Faltings, pour sa d√©monstration. Pour comprendre les travaux de Faltings, on peut se reporter √† : D. Ara Conjecture de Mordell-Lang relative, d'apr√®s Hrushovski Ecole Normale Sup√©rieure. Pour comprendre la preuve originale de Wiles voir : A. Wiles Modular elliptic curves and Fermat's last theorem Annals of Mathematics (141) (3), pp 443-551 (1995)
  13. ‚ÜĎ Newton a d√©velopp√© initialement sa m√©thode pour les √©quations alg√©briques ind√©pendamment de leur caract√®res r√©solubles : I. Newton De analysi per aequationes numero terminorum infinitas √©crit en 1669 et publi√© en 1711 par William Jones
  14. ‚ÜĎ Toutes ces m√©thodes sont pr√©sent√©es et analys√©es dans la r√©f√©rence suivante : C. Brezinski M. Redivo-Zaglia M√©thodes num√©riques it√©ratives: Alg√®bre lin√©aire et non lin√©aire Ellipses Marketing (2006) (ISBN 2729828877)
  15. ‚ÜĎ On trouve une courte introduction √† l'analyse fonctionnelle dans la r√©f√©rence de cette note. Elle commence par l'√©tude des Hilbert (chap VIII p 147) et termine par celle de l'op√©rateur de Fredholm (chap IX p 203): S. Lang Analyse r√©elle InterEditions, Paris (1977) (ISBN 2729600595)
  16. ‚ÜĎ Initialement, ¬ę Le directeur de l‚ÄôObservatoire de Paris, Jean-Dominique Cassini, semble ignorer les th√©ories de Newton et de Halley. ¬Ľ 50 ans plus tard, son fils Jacques se rallie √† la conception newtonienne et h√©liocentrique du syst√®me solaire. Il √©crit : ¬ę ...nous n‚Äôavons pas cru devoir nous √©carter du sentiment le plus commun√©ment re√ßu des Astronomes, que ce sont des Plan√®tes qui font leurs r√©volutions autour du Soleil, √† l‚Äô√©gard duquel elles [les com√®tes] d√©crivent des Orbes fort excentriques. ¬Ľ F. Michel Les com√®tes observ√©es en France au d√©but du XVIIIe si√®cle
  17. ‚ÜĎ Ce n'est que la formulation qui est plus simple, dans le cas d'un syst√®me logique, on attribue a Birkhoff l'affirmation suivante : ¬ę Le continu, c‚Äôest plus simple que le discret ¬Ľ : D. Perrin La suite logistique et le chaos Universit√© Paris Sud 11 Orsay p 8
  18. ‚ÜĎ Si l'on souhaite ne pas n√©gliger l'influence des plan√®tes, l'√©quation diff√©rentielle devient complexe : P. Iglesias Les origines du calcul symplectique chez Lagrange Le journal de maths des √©l√®ves de l'√Čcole Normale Sup√©rieure de Lyon
  19. ‚ÜĎ La vitesse scalaire correspond √† la norme de la d√©riv√©e de ŌÜ, ou encore, pour une automobile, au scalaire pr√©cis√© par l'indicateur de vitesse
  20. ‚ÜĎ Ces hypoth√®ses de r√©gularit√© du domaine ne sont pas g√©n√©rales, on √©tudie parfois des domaines dont la fronti√®re est une fractale, un article c√©l√®bre √† ce sujet est : M. Kac Can you hear the fractal dimension of a drum? Ann. Math. Month. Vol 73 pp 1-23 (1966)
  21. ‚ÜĎ Une √©tude de la dynamique des vagues est propos√©e dans : D. J. Acheson Elementary Fluid Dynamics Oxford University Press (1990) (ISBN 0198596790) p 56 √† 110
  22. ‚ÜĎ Une √©tude simple est propos√©e dans l'article : D. Perrin La suite logistique et le chaos Universit√© Paris Sud 11 Orsay
  23. ‚ÜĎ Pour comprendre le comportement un peu √©trange de la suite dans ce cas particulier, on peut se reporter au gros livre de plus de 600 pages, traitant des questions de cette nature : W. de Melo S. van Strien One-Dimensional Dynamics Springer (1996) (ISBN 3540564128)

Références

  1. ‚ÜĎ Cette √©quation provient du livre de R. Recorde The Whetstone of Witte publi√© en 1557. Voir √† ce sujet: J. J. O'Connor E. F. Robertson Robert Recorde par le site sur l'histoire des math√©matiques de l'Universit√© de St Andrews
  2. ‚ÜĎ Cette d√©finition s'inspire de : Gilles Lachaud, ¬ę Math√©matiques Math√©matique - √Čquations ¬Ľ, Encyclopaedia Universalis. Consult√© le 12 f√©vrier 2009.
  3. ‚ÜĎ Une autre source propose une d√©finition du m√™me esprit : ¬ę A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations") ¬Ľ. (en) ¬ę Equation ¬Ľ,dans Mathematics dictionary, Glenn James et Robert C. James (√©d.), Van Nostrand, 1968, 3e √©d. (1e √©d. 1948), p. 131
  4. ‚ÜĎ Voir, par exemple la d√©finition propos√©e dans : In√©quation l'encyclop√©die en ligne Encarta
  5. ‚ÜĎ C'est le cas par exemple, pour certaines √©quation √©tudi√©s dans l'enseignement pr√© universitaire : L. Pecqueux √Čquations - In√©quations par le site mathocollege.free
  6. ‚ÜĎ The algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen (1831)[lire en ligne], p104
  7. ‚ÜĎ (en) ¬ę Equation ¬Ľ dans Encyclopaedia of mathematics - An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia (Michel Hazewinkel, √©d.), Reidel, 1988, vol. 3, p. 399. (ISBN 1556080107) lire en ligne. L'article, non sign√©, pr√©cise √™tre ¬ę bas√© sur l'article du m√™me nom de la Grande Encyclop√©die Sovi√©tique. ¬Ľ
  8. ‚ÜĎ On trouve encore une d√©finition ou l'id√©e de question est sous-jacente dans l'Encyclop√©die Encarta, pas non plus sign√©e : ¬ę √©galit√© entre deux expressions math√©matiques dont on cherche si elle est v√©rifi√©e pour certaine(s) valeurs(s) de la variable appel√©e inconnue. ¬Ľ
  9. ‚ÜĎ Voir par exemple : √Čquation cart√©sienne d'un cercle dans le plan par le site hom√©omath
  10. ‚ÜĎ J. P. Guichard CultureMATH. Fran√ßois Vi√®te ENS Ulm Paris (2007) (partiellement disponible sur Vi√®te inventeur de l'alg√®bre nouvelle)
  11. ‚ÜĎ Cet exemple s'inspire de : F. Vandebrouck Introduction de la notion de param√®tre au lyc√©e IREM de Paris VII
  12. ‚ÜĎ Ce r√©sultat est attribu√© √† Z√©nodore au IIe si√®cle av. J.-C.: P. Nahin When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible Princeton University Press p 47 (2007) (ISBN 0691130523)
  13. ‚ÜĎ L'analyse num√©rique est un large domaine qui traite en particulier la r√©solution d'√©quations de diff√©rente nature, en page 2 de cette r√©f√©rence, on trouve page 2 : ¬ę Ce cours est une introduction aux m√©thodes d'analyse num√©rique ... afin de r√©soudre les √©quations alg√©briques ou diff√©rentielles ¬Ľ  : P. Viot M√©thodes d'analyse num√©rique Cours en ligne d'un bon niveau math√©matique DEA
  14. ‚ÜĎ L'usage d'une notation indiquant une ind√©termin√©e plut√īt qu'une variable n'est pas rare en alg√®bre, c'est ainsi qu'est d√©finie l'√©quation polynomiale dans : L. Lafforgue La th√©orie de Galois et l‚Äôarithm√©tique Images des math√©matiques, CNRS (2004)
  15. ‚ÜĎ Voir √† ce sujet : P. Freguglia Sur la th√©orie des √©quations alg√©briques entre le XVI et le XVII√®me si√®cle Bollettino di storia delle scienze matematiche 1994, vol. 14, n¬į2, pp. 259-298
  16. ‚ÜĎ Il existe plusieurs formulations de ce th√©or√®me. Dans la r√©f√©rence suivante, il est formul√© par : ¬ę Le corps C des nombres complexes est alg√©briquement clos. ¬Ľ, les √©nonc√©s ont l'air diff√©rents mais l'article Th√©or√®me de d'Alembert-Gauss montre que les deux sont √©quivalents. Adrien Douady et R√©gine Douady, Alg√®bre et th√©ories galoisiennes [d√©tail des √©ditions] p 283
  17. ‚ÜĎ Niels Henrik Abel M√©moire sur les √©quations alg√©briques, o√Ļ l'on d√©montre l'impossibilit√© de la r√©solution de l'√©quation g√©n√©rale du cinqui√®me degr√© 1824
  18. ‚ÜĎ Evariste Galois sur les conditions de r√©solubilit√© des √©quations alg√©briques 1846 Journal de Liouville.
  19. ‚ÜĎ On le trouve par exemple encore √† la fin du XIXe si√®cle : C. A. Laisant D√©monstration nouvelle du th√©or√®me fondamental de la th√©orie des √©quations Bulletin de la S.M.F. tome 1 (1887)
  20. ‚ÜĎ On la trouve dans l'article: Sur l'histoire du th√©or√®me fondamental de l'alg√®bre: th√©orie des √©quations et calcul int√©gral Archive for History of Exact Sciences Vol. 42 n¬į2 pp 91 136.
  21. ‚ÜĎ Elle est utilis√©e dans l'encyclop√©die Encarta : √©quations, th√©orie des Encyclop√©die Encarta
  22. ‚ÜĎ Ce site pr√©cise ¬ę Ces formules ne sont cependant jamais utilis√©es en pratique car elles conduisent √† des calculs beaucoup plus longs que la m√©thode du pivot de Gauss ¬Ľ : V. F. Bayart Pivot de Gauss par Bibm@th.net
  23. ‚ÜĎ K. Chemla G. Shuchun Les neuf chapitres: le classique math√©matique de la Chine ancienne et ses commentaires Paris Dunod (2004) (ISBN 2100077783)
  24. ‚ÜĎ A. Gazagnes Un probl√®me de restes et sa r√©solution par Qin Jiushao au 13e si√®cle Bulletin de l'APMEP. N¬į 444 pp 51-62 (2003)
  25. ‚ÜĎ A. Juditsky M√©thode de Descente de Gradient et M√©thode de Newton Universit√© Joseph Fourier de Grenoble
  26. ‚ÜĎ N. Soualem M√©thode du gradient conjugu√© Par le site math-Linux
  27. ‚ÜĎ On trouve une d√©finition g√©n√©rale de la g√©om√©trie analytique dans : G√©om√©trie analytique par Science.ch non sign√©
  28. ‚ÜĎ Un S√©minaire de g√©om√©trie analytique complexe montre par exemple l'usage d'une alg√®bre de Lie par J. Y. Charbonel.
  29. ‚ÜĎ La th√©orie du degr√© est trait√© p 262 √† 296 de mani√®re plus pouss√©e dans Marcel Berger, Bernard Gostiaux, G√©om√©trie diff√©rentielle : vari√©t√©s, courbes et surfaces [d√©tail des √©ditions]
  30. ‚ÜĎ Le site suivant d√©finit et montre des exemples d'√©quations cart√©siennes : N. Drakos R. Moore √Čquation cart√©sienne du site G√©othalg.
  31. ‚ÜĎ Ce vocabulaire ainsi qu'un exemple illustr√© par la vid√©o : S. Maniez √Čquation param√©trique de droite spatiale par le site videomath. On trouve aussi ce vocabulaire dans des documents plus acad√©miques o√Ļ l'on trouve ¬ę Elles poss√®dent l'avantage d'avoir une √©quation param√©trique ... ¬Ľ : L. Garnier S. Foufou D√©termination des √©quations implicites d'une supercyclide LE2I CNRS UFR Sciences, Universit√© de Bourgogne
  32. ‚ÜĎ Une analyse locale de la repr√©sentation des sous-vari√©t√©s de Rn est trait√© p 56 et p 101. Le cas des courbes plus g√©n√©rale que celui des sous-vari√©t√©s de dimension 1, est trait√© localement p 300 √† 333 et de mani√®re globale p 334 √† 372 Marcel Berger, Bernard Gostiaux, G√©om√©trie diff√©rentielle : vari√©t√©s, courbes et surfaces [d√©tail des √©ditions]
  33. ‚ÜĎ Voir √† ce sujet : La premi√®re inconnue par l'IREM de Poitiers p 27
  34. ‚ÜĎ Ce terme est fr√©quent, on le trouve par exemple √† : J. Dieudonn√© P. Dugac Abr√©g√© d'histoire des math√©matiques, 1700-1900 Hermann (√©dition de 1996) (ISBN 2705660240) p 227 dans l'√©dition de 1986
  35. ‚ÜĎ D. Richard Algorithme d'Euclide et √©quation diophantienne Universit√© de Clermont1
  36. ‚ÜĎ R. Rivest A. Shamir L. Adleman A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems Communications of the ACM, Vol. 21 (2), pp 120‚Äď126 (1978)
  37. ‚ÜĎ Cette question est trait√©e dans : B. Rittaud Le fabuleux destin de ‚ąö2 Le Pommier (2006) (ISBN 2746502755). On trouve aussi une r√©f√©rence plus acad√©mique : T. M. Apostol Irrationality of The Square Root of Two ‚ÄĒ A Geometric Proof. The American Mathematical Monthly 107 (9): pp 841‚Äď842 (Nov. 2000)
  38. ‚ÜĎ La premi√®re preuve, comportant encore des lacunes au sens de la rigueur demand√©e pour les preuves actuelles, se trouve dans la r√©f√©rence : Johann Heinrich Lambert M√©moire sur quelques propri√©t√©s remarquables des quantit√©s transcendantes circulaires et logarithmiques M√©moires de l'Acad√©mie des Sciences de Berlin, 17 1761 pp 265-322
  39. ‚ÜĎ Cette transcendance est montr√© pour la premi√®re fois dans l'article : Zu Hrn. Lindemanns Abhandlung: '√úber die Ludolph'sche Zahl' , Sitzungber. K√∂nigl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlin, 2, pages 1067‚Äď1086, 1885
  40. ‚ÜĎ Pour les d√©tails de l'histoire de cette √©quation sous une forme vulgaris√©e, voir : Simon Singh, Le Dernier Th√©or√®me de Fermat Hachette Litt√©rature (1999) (ISBN 2012789218), une version plus acad√©mique est : H.M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14(1975)
  41. ‚ÜĎ Ce site montre comment chercher le nombre de z√©ros, les intervalles les contenant, ainsi que des m√©thodes d'approximations dans un premier temps pour des polyn√īmes, puis pour des fonctions quelconques : J. P. Calvi Th√®mes d'analyse num√©rique Laboratoire de Math√©matiques E. Picard, Universit√© Paul Sabatier √† Toulouse
  42. ‚ÜĎ La m√©thode dichotomique est pr√©sent√©e en partie II du site : P. Fradin R√©solution approch√©e d'√©quations Extrait d'un cours de MPSI
  43. ‚ÜĎ Ce site d√©finit et pr√©sente la m√©thode du point fixe, il √©tudie aussi sa vitesse de convergence : V. et F. Bayart Point fixe, et th√©or√®mes du point fixe par le site BibM@ath
  44. ‚ÜĎ Ce site pr√©sente la m√©thode de Newton et analyse sa vitesse de convergence : A. Chambert-Loir Autour de la m√©thode de Newton Universit√© de Rennes I
  45. ‚ÜĎ Ce site pr√©sente la m√©thode de Newton et de quasi-Newton et explique pourquoi la m√©thode de quasi-Newton est plus rapide : R. Tapiero M√©thodes newtoniennes Universit√© de Lyon I
  46. ‚ÜĎ Cette approche est commune aux deux r√©f√©rences bibliographiques de cet article : Les livres de J.P. Aubin et de H. Br√©zis
  47. ‚ÜĎ On trouve le nom de cette √©quation ainsi qu'une √©tude √† la page 99 de : Ha√Įm Brezis, Analyse fonctionnelle : th√©orie et applications [d√©tail des √©ditions]
  48. ‚ÜĎ Le compl√©t√© de l'espace Hp est construit dans : J. P. Aubin Analyse fonctionnelle appliqu√©e Puf 1987 (ISBN 02463822) Vol 1 chap VI pp 142-168
  49. ‚ÜĎ C'est ainsi que proc√®de la r√©f√©rence : J. P. Aubin Analyse fonctionnelle appliqu√©e Puf 1987 (ISBN 02463822) Vol 1 chap V p 117-137
  50. ‚ÜĎ Cette distinction est d√©crite de mani√®re un plus g√©n√©rale, dans le contexte des espaces de Sobolev dans : Ha√Įm Brezis, Analyse fonctionnelle : th√©orie et applications [d√©tail des √©ditions] p 119
  51. ‚ÜĎ Cette description est largement simplifi√©e par rapport aux m√©thodes r√©ellement utilis√©es, m√™me si l'usage de suites d√©finies par r√©currence est exact : M. Fouchard Ch. Froeschl√© S. Breiter R. Ratajczak G. B. Valsecchi et H. Rickman Methods to study the dynamics of the Oort cloud comets II : modelling the galactic tide Lecture Notes in Physics 729 pp 271 293
  52. ‚ÜĎ Pour l'√©tude du comportement asymptotique d'un syst√®me dynamique r√©gi par une √©quation aux d√©riv√©es partielles particuli√®res, voir : Chao-Jiang Xu R√©gularit√© des solutions d'√©quations aux d√©riv√©es partielles non lin√©aires associ√©es √† un syst√®me de champs de vecteurs Annales de l'Institut Fourier, tome 37 n¬į2 (1987) p 105-113
  53. ‚ÜĎ C'est le titre choisi pour le livre : I. M. Guelfand G. E. Chilov Les Distributions. Tome 3 : Th√©orie des √©quations diff√©rentielles Dunod (1965)
  54. ‚ÜĎ Pour une approche √©l√©mentaire, voir : V. & F. Bayart Introduction aux √©quations diff√©rentielles par Bibm@th.net. Pour une vision plus compl√®te, on peut se r√©f√©rer au gros livre (600 pages) : H. O. Fattorini A. Kerber The Cauchy Problem Cambridge University Press (2009) (ISBN 0521096863)
  55. ‚ÜĎ Ces expressions sont explicit√©es dans Ha√Įm Brezis, Analyse fonctionnelle : th√©orie et applications [d√©tail des √©ditions] p 204
  56. ‚ÜĎ On lit ¬ę Les √©coulements turbulents, et les mouvements de l‚Äôatmosph√®re sont particuli√®rement turbulents, peuvent √™tre mod√©lis√©s par les √©quations de Navier-Stokes ¬Ľ dans le site : Sur une id√©e de Philippe Courtier (M√©t√©o-France) et Claude Basdevant (ENS-Ecole Polytechnique-Paris) Une m√©t√©o turbulente par France-diplomatie.
  57. ‚ÜĎ Voir r√©f√©rence pr√©c√©dente.
  58. ‚ÜĎ L'article original est : J. Fourier M√©moire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides M√©moires de l'Acad√©mie royale des sciences de l'Institut de France ann√©es 1821 et 1822, t. V, p. 153 √† 246; 1826
  59. ‚ÜĎ Cette citation provient de : D√©riv√©es partielles - Th√©orie lin√©aire (√©quations aux) Encyclopaedia Universalis
  60. ‚ÜĎ L'Universalis pr√©cise ¬ę En contraste, les √©quations non lin√©aires pr√©sentent un foisonnement de probl√®mes et de m√©thodes dont peu sont g√©n√©rales ¬Ľ : d√©riv√©es partielles - Th√©orie lin√©aire (√Čquations aux) Encyclopaedia Universalis
  61. ‚ÜĎ Ce site pr√©cise ¬ę La plus importante limitation d'un mod√®le est sa r√©solution spatiale ¬Ľ. Cette r√©solution spatiale correspond √† la pr√©cision de la connaissance de l'√©tat initial J. Poitevin A. Beuraud Mod√©lisation & Pr√©vision num√©rique : Les limites de la pr√©vision num√©rique M√©t√©o France (CNRM)
  62. ‚ÜĎ Millennium Problems par le site officiel du Clay mathematics institute
  63. ‚ÜĎ On trouve l'explication de cette figure dans : J. Dubois J. Chalin Le monde des fractales Ellipse (2006) Ellipses (ISBN 272982782)
  64. ‚ÜĎ C'est le cas si c est un r√©el de l'intervalle ]-2,2[, diff√©rent de 0 : C. Vercken Ensemble de Julia par l' Ecole nationale sup√©rieure des t√©l√©com Paris
  65. ‚ÜĎ Ce site √©tudie la suite r√©currente du paragraphe et d√©finit la dimension fractale. Elle est indiqu√©e comme √©quivalente √† la dimension de Hausdorff-Besicovitch dans les cas simples : J. P. Louvet Dimension fractale par l'Universit√© de Bordeaux I
  66. ‚ÜĎ Depuis 1991, on sait que cette fronti√®re est g√©n√©riquement (c'est √† dire qu'il existe de rares exceptions) de dimension de Hausdorff √©gale √† 2 : M. Shishikura The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and of the Julial sets Tokyo Institute of Technology et State University of New York at Stony Brook
  67. ‚ÜĎ Ces informations sont disponibles au paragraphe Les nombres complexes et les fractales sur : J. P. Louvet Quelques informations sur les fractales par l'Universit√© de Bordeaux I
  68. ‚ÜĎ Il existe plusieurs d√©finitions diff√©rentes. Celle choisie ici est celle que l'on trouve dans : R. L. Devaney An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Westview Press 2nd ed (2003) (ISBN 0813340853) pp 48-52
  69. ‚ÜĎ Voir par exemple : D. Perrin La suite logistique et le chaos Universit√© Paris Sud 11 Orsay pp 16-25
  70. ‚ÜĎ D. Perrin La suite logistique et le chaos Universit√© Paris Sud 11 Orsay p 43
  71. ‚ÜĎ Ce r√©sultat est beaucoup plus r√©cent : M. Lyubich Dynamics of quadratic polynomials I, II Acta Math. 178, No 2,pp 185 297 (1997)
  72. ‚ÜĎ D. Perrin La suite logistique et le chaos Universit√© Paris Sud 11 Orsay p 43
  73. ‚ÜĎ Ce r√©sultat est l'Ňďuvre de : M.V. Jakobson Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps Commun. Math. Phys. 81, pp 39 88 (1981)
  74. ‚ÜĎ M. Lyubich Almost every real quadratic map is either regular or stochastic Ann. Math. (2) 156, No 1, pp 1 78 (2002)
  75. ‚ÜĎ V. Isoz √Čquation de Lorenz Sciences.ch (G√©nie marin et m√©t√©o)
  76. ‚ÜĎ R. Koll√°r The Poincar√©-Bendixon theorem University of Michigan
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