Elements d'Euclide

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Elements d'Euclide

√Čl√©ments d'Euclide

Couverture de la premi√®re √©dition anglaise des √Čl√©ments par Henry Billingsley, 1570

Les √Čl√©ments (en grec ancien ő£ŌĄőŅőĻŌáőĶőĮőĪ / Stoikhe√≠a) sont un trait√© math√©matique et g√©om√©trique, constitu√© de 13 livres organis√©s th√©matiquement, probablement √©crit par le math√©maticien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de d√©finitions, axiomes, th√©or√®mes et leur d√©monstration sur les sujets de la g√©om√©trie euclidienne et de la th√©orie des nombres primitive.

Les √Čl√©ments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et syst√©matique de la g√©om√©trie et son influence sur le d√©veloppement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontr√© le plus de succ√®s au cours de l'Histoire : les √Čl√©ments furent l'un des premiers livres imprim√©s (Venise, 1482) et n'est pr√©c√©d√© que par la Bible pour le nombre d'√©ditions publi√©es (largement plus de 1 000). Pendant des si√®cles, il a fait partie du cursus universitaire standard.

Sommaire

Principes

Une des plus anciennes versions connues des √Čl√©ments.

La m√©thode d'Euclide a consist√© √† baser ses travaux sur des d√©finitions, des "demandes" (postulats) , des ¬ę notions ordinaires ¬Ľ (axiomes), et des propositions (probl√®mes r√©solus). Par exemple, le livre I contient 35 d√©finitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Postulats du livre I :

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes sont s√©cantes avec une troisi√®me de telle fa√ßon que la somme des angles int√©rieurs d'un c√īt√© est inf√©rieure √† deux angles droits, alors ces deux lignes sont forc√©ment s√©cantes de ce c√īt√©.

Notions ordinaires du livre I :

  1. Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles.
  2. Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales.
  3. Si des choses égales sont soustraites à d'autres choses égales, les restes sont égaux.
  4. Des choses qui co√Įncident avec une autre sont √©gales entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Postérité

Le succ√®s des √Čl√©ments est d√Ľ principalement √† la pr√©sentation logique de la quasi-totalit√© du savoir math√©matique dont Euclide disposait. L'utilisation syst√©matique et efficace du d√©veloppement des d√©monstrations √† partir d'un jeu r√©duits d'axiomes incita √† les utiliser comme livre de r√©f√©rence pendant des si√®cles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entour√®rent les axiomes et les d√©monstrations d'Euclide. N√©anmoins, les √Čl√©ments restent une Ňďuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence consid√©rable. Les scientifiques europ√©ens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particuli√®rement Isaac Newton furent tous influenc√©s par les √Čl√©ments et appliqu√®rent leur connaissance du livre √† leur propre travaux. Certains math√©maticiens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont √©galement tent√© d'√©crire leur propres √Čl√©ments, des structures d√©ductives axiomatiques appliqu√©es √† leurs disciplines respectives.

Dans cinq postulats √©nonc√©s dans le livre I, le dernier, dont on d√©duit le postulat des parall√®les : ¬ę en un point ext√©rieur √† une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parall√®le ¬Ľ, a toujours sembl√© moins √©vident que les autres. Plusieurs math√©maticiens soup√ßonn√®rent qu'il pouvait √™tre d√©montr√© √† partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire √©chou√®rent. Vers le milieu du XIXe si√®cle, il fut d√©montr√© qu'une telle d√©monstration n'existe pas, que le cinqui√®me postulat est ind√©pendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des g√©om√©tries non-euclidiennes coh√©rentes en prenant sa n√©gation.

Histoire

Les premières traces écrites des notions de longueurs et d'orthogonalité sont babyloniennes et remontent à une période située entre 1900 et 1600 av. J.-C.[1]. On y trouve la connaissance du théorème de Pythagore au moins pour le cas d'un triangle dont les cotés sont de longueurs respectives trois, quatre et cinq.

La premi√®re formalisation est rassembl√©e dans un livre appel√© Les √Čl√©ments. Il contient tout le savoir math√©matique de l'√©poque. Bien que la plupart des th√©or√®mes leur soient ant√©rieurs, les √Čl√©ments √©taient suffisamment complets et rigoureux pour √©clipser les Ňďuvres g√©om√©triques qui les ont pr√©c√©d√©s et peu de choses sont connues sur la g√©om√©trie pr√©-euclidienne.

Son auteur Euclide d'Alexandrie (325-265 av. J.-C.) est un mathématicien grec qui fut probablement un disciple d'Aristote (-384-322 av. J.-C.). Son histoire ainsi que celle de ce livre sont mal connues. Trois hypothèses sont avancées à son sujet. Euclide est:

  • soit un personnage historique principal auteur des El√©ments,
  • soit √† la t√™te d'une √©cole math√©matique
  • soit un nom d'auteur qu'a utilis√© un groupe de math√©maticiens pour r√©diger une compilation, ce nom serait alors une r√©f√©rence au philosophe grec Euclide de M√©gare (450-380 av. J.-C.) [2].

Si la premi√®re hypoth√®se a √©t√© admise sans l'ombre d'un doute pendant plus de 2000 ans, elle reste encore la plus vraisemblable. En revanche, il est pratiquement √©tabli qu'Euclide √©tait √† la t√™te d'une √©cole math√©matique vigoureuse et ses disciples ont certainement contribu√© √† la r√©daction [3] des El√©ments. Hippocrate de Chios (470-410 av. J.-C.) est l'auteur du contenu des livres I et II des √©l√©ments, si on en croit le philosophe byzantin Proclos (411-487). Il √©crit de lui ¬ę Il √©tait le premier √† √©crire pour la compilation maintenant connue sous le nom des El√©ments ¬Ľ [4].

L'ouvrage fut traduit en arabe apr√®s avoir √©t√© donn√© aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'apr√®s les textes arabes (Adelard de Bath au XIIe si√®cle, repris par Campanus de Novare). La premi√®re √©dition imprim√©e date de 1482 et le livre fut depuis traduit dans une multitude de langues et publi√© dans plus de 1 000 √©ditions diff√©rentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la biblioth√®que du Vatican ou √† la Bodleian Library √† Oxford, mais ces manuscrits sont de qualit√© variable et toujours incomplets. Par analyse des traductions et des originaux, il a √©t√© possible d'√©mettre des hypoth√®ses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie int√©grale.

Axiomatisation ultérieure

Les mathématiciens du XIXe siècle découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original. David Hilbert modifia la liste pour en fournir un jeu complet en 1899 dans un article intitulé Les fondements de la géométrie. La liste des axiomes de Hilbert en contient 20.

Livres

Les √Čl√©ments sont organis√©s comme suit :

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Références

  1. ‚ÜĎ la tablette 322 de la collection de G A Plimpton conserv√©e √† l'universit√© de Columbia.
  2. ‚ÜĎ J Itard, Les livres arithm√©tique d'Euclide (Paris, 1962)
  3. ‚ÜĎ Biographie d'Euclide dans Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)
  4. ‚ÜĎ T L Heath, A History of Greek Mathematics I (Oxford, 1921), 182-202

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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Bibliographie

  • Les √Čl√©ments d'Euclide, traduction Fran√ßois Peyrard, √©d. Blanchard Paris, 1993 (1re √©d. 1819)
  • Euclide, Les √Čl√©ments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [d√©tail des √©ditions]
√Čl√©ments d'Euclide
Livre I ~ Livre II ~ Livre III ~ Livre IV ~ Livre V ~ Livre VI
Livre VII ~ Livre VIII ~ Livre IX ~ Livre X ~ Livre XI ~ Livre XII ~ Livre XIII
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