Développée

La développée (rouge vermillon) de la parabole bleue est à la fois l'ensemble des centres des cercles osculateurs (rouge carmin) et l'enveloppe des normales (vertes).

En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme \vec{f}(s), le centre de courbure s'obtient en posant

\vec{g}(s)=\overrightarrow{O\Omega(s)} = \vec{f}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N}(s)

Et le vecteur dérivé de la développée est

\vec{g'}(s)= \vec{f'}(s)+\gamma(s)^{-1} \vec{N'}(s)-\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec N(s) = -\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s)^2} \vec N(s)

en utilisant les formules de Frenet.

Ainsi,

  • les points stationnaires de la développée g correspondent aux extrema de la courbure (les sommets) de f
  • entre deux extrema de la courbure de l'arc f, la tangente à la développée g au point de paramètre s est la normale à la courbe f.
Développée (en noir) d'une ellipse

Voir aussi

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Développée d'une courbe sur mathcurve.com


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