Dérivée première

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Dérivée première

Dérivée

Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas √™tre confondu avec diff√©rentielle.

En analyse, le nombre d√©riv√© d'une fonction en un point est, si celui-ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C'est-√†-dire le coefficient directeur de l'approximation affine de cette fonction en ce point ‚ÄĒ si cette approximation affine existe.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

La notion de nombre d√©riv√© a vu le jour au XVIIe si√®cle dans les √©crits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui le d√©finit comme ¬ę le quotient ultime de deux accroissements √©vanescents ¬Ľ.

La dérivée de la fonction f\, est notée en mathématique f'\, ou \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}.

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse.

Il existe aussi une d√©finition purement alg√©brique de la d√©riv√©e. On en trouve un exemple dans l'article polyn√īme formel.

Sommaire

Approche intuitive

En 0, la courbe est décroissante, donc le nombre dérivé y est négatif (il vaut -1).

En 1, la courbe est toujours décroissante, mais la pente y est moindre (-0,5).

En 2, la courbe est parfaitement horizontale, donc la dérivée est nulle (0).

En 3, la courbe est croissante, donc le nombre dérivé y est positif (0,5).

Pour approcher cette notion de mani√®re intuitive, commen√ßons par nous donner une courbe repr√©sentative d'une fonction continue dans un rep√®re cart√©sien, c'est-√†-dire trac√©e d'un seul trait de crayon, et bien ¬ę lisse ¬Ľ, on dira l√† que la fonction associ√©e est d√©rivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-√†-dire une droite qui √©pouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal √† distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe ¬ę monte ¬Ľ (c'est-√†-dire si la fonction associ√©e est croissante), la tangente sera √©galement montante ; inversement, si la fonction est d√©croissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse x\,_0 pour laquelle la fonction f\, est d√©rivable, on appelle nombre d√©riv√© de f\, en x\,_0 le coefficient directeur de la tangente √† la courbe au point d'abscisse x\,_0. Ce r√©el donne de pr√©cieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure alg√©brique de la vitesse √† laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Pour une fonction √† plusieurs variables, on parle de la d√©riv√©e partielle par rapport √† l'une de ses variables.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.

Approche historique

Article d√©taill√© : Histoire du calcul infinit√©simal.
Gottfried Wilhelm von Leibniz

D√®s la seconde moiti√© du XVIIe si√®cle, le domaine math√©matique de l'analyse num√©rique connut une avanc√©e prodigieuse gr√Ęce aux travaux de Newton et de Leibniz en mati√®re de calcul diff√©rentiel et int√©gral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites int√©grales.

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la premi√®re moiti√© du XVIIe si√®cle, a le premier men√© des √©tudes sur la notion de tangente √† une courbe - lui-m√™me les appelait ¬ę touchantes ¬Ľ; le marquis de l'Hospital participera aussi √† la fin du XVIIe si√®cle √† √©toffer cette nouvelle th√©orie, notamment en utilisant la d√©riv√©e pour calculer une limite dans le cas de formes ind√©termin√©es particuli√®res (voir R√®gle de L'H√īpital). Wallis, math√©maticien anglais (surtout connu pour la suite d'int√©grales qui porte son nom) contribua √©galement √† l'essor de l'analyse diff√©rentielle.

Jean Le Rond d'Alembert.

N√©anmoins cette th√©orie tout juste √©close n'est pas encore pourvue de toute la rigueur math√©matique qu'elle aurait exig√©e, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs d√®s lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non n√©gligeable. C'est au XVIIIe si√®cle que d'Alembert introduit la d√©finition plus rigoureuse du nombre d√©riv√© en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable √† celle qui est utilis√©e et enseign√©e de nos jours. Cependant, √† l'√©poque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose probl√®me : \R n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres r√©els). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIXe si√®cle que le concept de d√©riv√©e sera enti√®rement formalis√©.

C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f'\left(x\right), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f\, en x\,.

Définition formelle

Soit f\, une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x\,_0 appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition \mathcal{D}_f.

Pour tout h\in \R^* tel que [x_0,x_0+h]\sub \mathcal{D}_f, on appelle taux d'accroissement de f\, en x\,_0 et avec un pas de h\, la quantit√© :

t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonn√©es (x0,f(x0)) et (x0 + h,f(x0 + h)). Si t_{x_0}(h) admet une limite finie lorsque h\, tend vers 0, on dit que f est d√©rivable en x0, auquel cas le nombre d√©riv√© de f\, en x0 est √©gal √† la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}

Ou, de mani√®re √©quivalente :

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Tangente2.gif

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la tangente à la courbe en ce point.

Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que \R.

Par exemple, une fonction f\, d'une variable r√©elle, √† valeurs dans \R^n, est d√©rivable en x\,_0 si et seulement si toutes ses coordonn√©es sont d√©rivables en x\,_0 ; et sa d√©riv√©e est la fonction dont les coordonn√©es sont les d√©riv√©es des coordonn√©es de f\,. C'est un cas particulier de fonctions de variable vectorielle et √† valeur dans un espace vectoriel norm√© ou m√©trique.

Lien entre dérivabilité et continuité

Toute fonction d√©rivable est continue, mais le contraire n'est pas toujours vrai. Par exemple : la fonction x\mapsto |x| est continue mais pas d√©rivable en 0. Il en est de m√™me de la fonction "racine carr√©e" , qui est continue en 0, mais non d√©rivable en 0.

Fonction dérivée

La d√©rivabilit√© est a priori une notion locale (d√©rivabilit√© en un point), mais si une fonction est d√©rivable en tout point d'un intervalle, on peut d√©finir sa fonction d√©riv√©e sur l'intervalle en question. La fonction d√©riv√©e de f, souvent not√©e f' (prononcer ¬ę f prime ¬Ľ) est d√©finie sur \mathfrak{D}_f et le domaine de d√©rivabilit√© de f (ensemble des points de \R en lesquels f est d√©rivable) est d√©fini par :

f':\,\mathfrak{D}_f\rightarrow\R,\ x\mapsto f'(x)

C'est la fonction qui prend en tout point de \mathfrak{D}_f la valeur du nombre dérivé de f\, en ce point.

Ainsi, lorsque la fonction d√©rivable f est croissante, la fonction d√©riv√©e f'\, est positive. f'\, s'annule aux points o√Ļ f admet des tangentes horizontales.

Les fonctions dérivées sont utilisées notamment dans l'étude des fonctions réelles et dans les équations différentielles. La seule fonction (à une constante multiplicative près) égale à sa dérivée est la fonction exponentielle de base e (celle-ci est solution de y' = y, cf. article détaillé).

Notations

Il existe diff√©rentes notations pour exprimer la valeur de la d√©riv√©e d'une fonction f en un point a. On distingue :

  • la notation de Lagrange : f'\left(a\right) ;
  • la notation de Leibniz : \frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}(a) ou \left.\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}\right|_{x=a} ou m√™me, moins rigoureusement, \frac{{\mathrm d} \left(f(a)\right)}{{\mathrm d} x} ;
  • la notation d'Isaac Newton : \dot{f}(a) qui est plut√īt utilis√©e en physique pour d√©signer une d√©riv√©e par rapport au temps ;
  • la notation d'Euler : Dxf(a).

Dérivée des fonctions usuelles

Article d√©taill√© : D√©riv√©es usuelles.
Fonctions
f(x)\,
Dérivées
f'(x)\,
Conditions
a\,\! 0\,\! x\,\in\mathbb{R}
a x\,\! a\,\! x\,\in\mathbb{R}
1 \over x\,\! - {1 \over x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\sqrt{x}\,\! {1 \over 2\sqrt{x}}\,\!

x\,\in\mathbb{R}_+^*

a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}
a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*
a x^c\,\! acx^{c-1}\,\! c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}
\cos x\,\! -\sin x\,\! x\,\in\mathbb{R}
\sin x\,\! \cos x\,\! x\,\in\mathbb{R}
\tan x\,\! 1 \over \cos^2 x ou  1+\tan^2 x\,\! x\neq {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}
\cot x\,\! -1 \over \sin^2 x ou  -1-\cot^2 x\,\! x\neq k\pi, k \in \mathbb{Z}
\arccos x\,\! - {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\arcsin x\,\!  {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\arctan x\,\!  {1 \over 1+x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}
a^x\,\! a^x \ln a\,\! a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}
\ln |x|\,\! 1 \over x\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
e^x\,\! e^x\,\! x\,\in\mathbb{R}

Règles de dérivation

Article d√©taill√© : Op√©rations sur les d√©riv√©es.

f'\, peut souvent se calculer directement √† partir d'une expression de f\,, lorsqu'il s'agit d'une fonction ¬ę simple ¬Ľ, en utilisant la tables des d√©riv√©es usuelles. Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison lin√©aire de fonctions simples, comme produit, quotient ou compos√©e, on utilise un petit nombre de r√®gles alg√©briques d√©duites de la d√©finition donn√©e plus haut. Les r√®gles les plus couramment utilis√©es sont les suivantes :

Nom Règle Conditions
Linéarité (af)^\prime = af' Quelles que soient la fonction dérivable f\, et le réel a.
Linéarité (f+g)^\prime = f' + g' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Linéarité (f-g)^\prime = f' - g' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Produit (fg)^\prime = f'g+fg' Quelles que soient les fonctions dérivables f\, et g\,.
Inverse \left({1\over f}\right)' = {-f'\over f^2} Quelle que soit la fonction dérivable f\, qui ne s'annule pas.
Quotient \left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2} Quelles que soient la fonction dérivable f\, et la fonction dérivable g\, qui ne s'annule pas
Composée (g \circ f)' = (g'\circ f) \cdot f' Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) f\, et g\,
Réciproque (f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}} Quelle que soit la fonction f\, bijective de réciproque f^{-1}\,, dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point

En particulier, voici les r√®gles courantes se d√©duisant de la d√©riv√©e de compos√©es :

Nom Règle Conditions
Puissance (f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f' Quel que soit \alpha \in \mathbb Z, et même quel que soit \alpha \in \mathbb R si f est positive
Racine \left(\sqrt f\right)' = {f' \over 2\sqrt f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive
Exponentielle (\mbox{e}^f)^\prime = \mbox{e}^f\cdot f' Quelle que soit f\, dérivable
Logarithme (\log_b f)^\prime = {f' \over f \cdot \ln b} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive
Logarithme (\ln f)^\prime = {f' \over f} Quelle que soit la fonction dérivable f\, strictement positive

Dérivée d'ordre n

Article d√©taill√© : D√©rivation it√©r√©e.

On d√©finit la d√©riv√©e d'ordre n pour une fonction n fois d√©rivable par r√©currence :

\frac{{\mathrm d} ^{n+1}f}{{\mathrm d} x^{n+1}}=\frac{{\mathrm d} }{{\mathrm d} x} \frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n}

\frac{{\mathrm d} ^n f}{{\mathrm d} x^n} est également notée f^{(n)}\,.

Formule de Leibniz

Si f et g sont des fonctions n fois d√©rivables, alors, par application de la r√®gle du produit :

(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}.

En particulier pour n = 2,

(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!.

On notera l'analogie avec la formule du bin√īme de Newton.

Propriétés des fonctions dérivables

Théorème de Rolle

Soient a < b deux réels. Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, et si f(a) = f(b), alors il existe un réel c appartenant a l'intervelle ]a,b[ tel que f'(c) = 0.

Théorème des accroissements finis

Article d√©taill√© : Th√©or√®me des accroissements finis.
√Čnonc√©
Si une fonction ƒ est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un point x0 de ]a,b[ tel que le nombre dérivé de ƒ en ce point soit le taux de variation entre a et b
f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

En particulier, si f(a) = f(b), on retrouve le théorème de Rolle, qui sert aussi à démontrer le résultat plus général (voir l'article détaillé), c'est pourquoi on le rencontre souvent sous le nom de lemme de Rolle. Cette propriété est utilisée en cinématique pour déterminer une approximation du vecteur vitesse à partir d'un relevé de point.

Théorème de Darboux

Article d√©taill√© : Th√©or√®me de Darboux (analyse).

Si f est d√©rivable, sa fonction d√©riv√©e f' n'est pas n√©cessairement continue. Cependant f' poss√®de la propri√©t√© des valeurs interm√©diaires. Ceci constitue le th√©or√®me de Darboux, qui peut se formuler de deux fa√ßons √©quivalentes : si f d√©rivable est d√©finie sur I intervalle de R, f'(I) est un intervalle, ou : si f'(a)<f'(b), pour tout t de [f'(a);f'(b)], il existe c tel que f'(c)=t.

Dérivées des taux de variation liés

Analyse d'une fonction dérivée

En trouvant les valeurs de x pour lesquelles la d√©riv√©e vaut 0 ou n'existe pas, on trouve les nombres critiques de la fonction. Les nombres critiques de f permettent de trouver implicitement ses maximums et ses minimums. En effectuant le test de la d√©riv√©e premi√®re, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction d√©riv√©e passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction d√©riv√©e passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum. De plus, lorsque le signe de la d√©riv√©e premi√®re est positif, la fonction est croissante ; s'il est n√©gatif, elle est d√©croissante. On ne conclut rien, si au point critique la fonction d√©riv√©e ne change pas de signe. En d√©rivant la d√©riv√©e premi√®re, on a la d√©riv√©e seconde. En effectuant le test de la d√©riv√©e seconde, on trouve les nombres critiques de la d√©riv√©e premi√®re pour les placer dans le m√™me tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la d√©riv√©e seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavit√© de la fonction. Un signe positif de la d√©riv√©e seconde signifie que la fonction est convexe et un signe n√©gatif de la d√©riv√©e seconde signifie que la fonction est concave. Connaissant les changements de concavit√© et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse de sa repr√©sentation graphique.

Dérivée et optimisation

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel:

  1. Mathématisation
    • D√©finitions et dessin : on d√©finit les variables inconnues et on les repr√©sente sur un sch√©ma.
    • √Čcrire la fonction objectif √† deux variables et pr√©ciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donn√©e.
    • Trouver la relation entre les deux variables.
    • √Čcrire la fonction objectif √† une variable et pr√©ciser le domaine de la fonction.
  2. Analyse
    • D√©river la fonction pour obtenir la d√©riv√©e premi√®re.
    • Trouver les nombres critiques de la fonction, o√Ļ la d√©riv√©e premi√®re vaut z√©ro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
    • Effectuer le test de la d√©riv√©e premi√®re ou le test de la d√©riv√©e seconde pour d√©terminer le maximum ou le minimum recherch√© de la situation.
  3. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Dérivée algébrique

Article d√©taill√© : Polyn√īme formel.

Les alg√©bristes donnent un sens un peu diff√©rent au terme d√©riv√©e. Ils l'appliquent √† une structure B appel√©e A-alg√®bre associative unitaire et commutative. Une application D, de B dans B est dite d√©riv√©e si :

  • L'application D est A-application lin√©aire.
  • La d√©riv√©e de l'√©l√©ment 1B neutre de B pour l'addition est nulle.
  • Si b1 et b2 sont deux √©l√©ments de B, la d√©riv√©e de b1.b2 et √©gale √† la somme du produit de la d√©riv√©e de b1 et de b2 et du produit de b1 avec la d√©riv√©e de b2.
 D(b_1\cdot b_2) = D (b_1)\cdot b_2 + b_1\cdot D(b_2)\;

Un exemple de dérivée définie de cette manière est donnée dans l'article détaillé.

Articles connexes

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Voir ¬ę d√©riv√©e ¬Ľ sur le Wiktionnaire.

Liens externes

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