Diviseur


Diviseur
Page d'aide sur l'homonymie Pour la notion de diviseur en géométrie algébrique, voir Diviseur (géométrie algébrique).

En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque n fait partie de la liste des multiples de d, c'est-à-dire lorsqu'il existe un entier q tel que n = d × q. Quand d est non nul, cela revient à dire que la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Par exemple, 7 est un diviseur de 42 parce que 42/7 = 6. Nous disons aussi 42 est divisible par 7 ou 42 est un multiple de 7 ou 7 divise 42 et nous écrivons généralement 7 | 42. Les diviseurs peuvent être positifs ou négatifs. Les diviseurs positifs de 42 sont {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Certains cas spéciaux : 1 et -1 sont les diviseurs de chaque entier, et chaque entier est un diviseur de 0. Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et ceux qui ne le sont pas sont appelés impairs.

Le nom vient de l'opération arithmétique de division : si a, b sont des entiers avec b non nul, et si a/b=c est un entier, alors a est le dividende, b le diviseur, et c le quotient.

Sommaire

Critères pour les petits diviseurs

Il existe certaines règles qui permettent de reconnaître les petits diviseurs d'un nombre à partir du nombre de ses chiffres décimaux.

Un critère de divisibilité est un critère que vous pouvez utiliser pour déterminer la divisibilité d'un nombre par un autre nombre. Ceux-ci sont basés sur les congruences modulo le diviseur cherché.

Par exemple, en système décimal, nous voulons savoir le critère pour le diviseur 3.

10 est congru à 1 modulo 3, 100 est congru à 1 modulo 3,...,10n est congru à 1 modulo 3

Un nombre en système décimal s'écrivant

a_n \times 10^n + \ldots + a_2 \times 10^2 + a_1 \times 10^1 + a_0 \times 10^0\,

est congru modulo 3 à

a_n \times 1 +...+ a_2 \times 1 + a_1 \times 1 + a_0 \times 1\,

c’est-à-dire à la somme des coefficients des puissances de 10, c’est-à-dire la somme des chiffres qui composent le nombre. Cette somme doit être divisible par 3 pour que le nombre soit divisible par 3.

Notions supplémentaires et résultats

Quelques propriétés élémentaires :

  • Si a divise b et a divise c, alors a divise (bx+cy).
  • Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
  • Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=-b.

Tout nombre entier n possède pour diviseurs triviaux positifs, 1 et lui-même.

Un diviseur positif de n différent de n est appelé un diviseur propre (ou diviseur strict, ou une partie aliquote) de n. Un nombre qui ne divise pas également n, mais qui laisse un reste, est appelé une partie aliquante de n.

Un nombre entier n > 1 qui ne possède pas de diviseur propre est appelé un nombre premier. (Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers.)

N'importe quel diviseur de n est le produit de diviseurs premiers de n avec une certaine puissance en exposant. Ceci est une conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique.

Si un nombre est égal à la somme de ses diviseurs stricts, il est appelé un nombre parfait. Les nombres inférieurs à cette somme sont dits déficients, alors que les nombres plus grands que cette somme sont dits abondants.

Le nombre total de diviseurs positifs de n est une fonction multiplicative d(n) (par exemple :

d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)\,).

La somme des diviseurs positifs de n est une autre fonction multiplicative \sigma(n)\, (par exemple :

\sigma(42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma(2) \times \sigma(3) \times \sigma(7)\,).

La relation « divise » munit l'ensemble N des nombres entiers positifs d'une relation d'ordre partiel, qui en fait même un treillis complet. Le plus grand élément de ce treillis est 0 et le plus petit est 1. L'opération binaire de borne inférieure \and est donnée par le PGCD et l'opération binaire de borne supérieure \or par le PPCM. Le treillis dual est celui des sous-groupes du groupe cyclique infini Z, ordonné par l'inclusion (autrement dit : m divise n si et seulement si le sous-groupe mZ contient le sous-groupe nZ).

Si un nombre entier n est écrit dans une base b, et d est un nombre entier avec b ≡ 1 (mod d), alors n est divisible par d si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par d. Le critère donné pour d=3 donné plus haut est un cas particulier de ce résultat. (b=10).

Article détaillé : arithmétique modulaire.

Si la décomposition en facteurs premiers de n est donnée par

 n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_n^{\nu_n}

alors le nombre de diviseurs positifs de n est

 d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_n + 1),

et chaque diviseur est de la forme

 p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_n^{\mu_n}

 \forall i : 0 \le \mu_i \le \nu_i.

Diviseurs dans un anneau

Dans un anneau intègre A, un diviseur d'un élément a\in A est un élément non nul b\in A tel qu'il existe c\in A avec a=b \times c (autrement dit a appartient à l'idéal bA). Cette notion est intéressante surtout dans un anneau factoriel (comme l'anneau des entiers est un exemple).

Voir aussi



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  • diviseur — (di vi zeur) s. m. 1°   Terme d arithmétique. Nombre par lequel on en divise un autre.    Commun diviseur, nombre qui en divise plusieurs autres. Le plus grand commun diviseur, le plus grand nombre qui est commun diviseur entre plusieurs nombres …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • DIVISEUR — s. m. T. d Arithm. Nombre par lequel on en divise un plus grand. Quand on divise cent par dix, dix est le diviseur, et cent est le dividende. Le plus grand commun diviseur de deux nombres.   Il se prend quelquefois adjectivement. Le nombre… …   Dictionnaire de l'Academie Francaise, 7eme edition (1835)

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