Degre (angle)

ï»ż
Degre (angle)

Degré (angle)

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Degré.
Un angle de 45 degrés

Un degrĂ©, gĂ©nĂ©ralement reprĂ©sentĂ© par ° (le symbole degrĂ©), est une mesure d'un angle plan, qui reprĂ©sente 1/360 d'un tour complet ; un degrĂ© est aussi Ă©quivalent Ă  π/180 radians. Lorsque cet angle est en rapport avec un mĂ©ridien de rĂ©fĂ©rence, il indique un emplacement le long d'un grand cercle d'une sphĂšre, comme la Terre (voir CoordonnĂ©es gĂ©ographiques), Mars ou la sphĂšre cĂ©leste[1].

Sommaire

Historique et généralités

Le degrĂ©, divisĂ© en minutes et secondes qui sont des soixantiĂšmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagĂ©simale). Les mathĂ©maticiens arabes ont poursuivi et mesurĂ© les angles cĂ©lestes et terrestres de la mĂȘme maniĂšre. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a dĂ©coulĂ©.

L’utilitĂ© originelle des 360° du systĂšme sexagĂ©simal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet, 360 Ă©tant le multiple de (1 × 2 × 3 × 4 × 5) x 3, il se divise donc par ces multiples ainsi que par 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. c’est-Ă -dire toutes les combinaisons de ces multiples.

Ainsi : 3⁄5 - 1⁄3 = 9⁄15 - 5⁄15 = 4⁄15 correspond Ă  216° - 120° = 96° ce qui est plus aisĂ©ment calculable sans calculateur que 0,6 - 0,333
 = 0,266
 Avec une lĂ©gĂšre familiarisation, et cela tout en se passant de la mĂ©thode du commun dĂ©nominateur, on s’aperçoit que le rĂ©sultat 96° = 4 × 24° soit quatre quinziĂšmes. Une approche alternative aura aussi donnĂ© Ă  voir que 90° + 6° est Ă©gal Ă  un quart plus un soixantiĂšme, ou encore 60° + 36°, soit un sixiĂšme plus un dixiĂšme.

n 2 3 4 5 6 15/2 8 9 10 45/4 12 15 18
360° / n 180 120 90 72 60 57 45 40 36 32 30 24 20
60' ou " / n 30 20 15 12 10 8 7.5 6.666 6 5.333 5 4 3.333
Autres fractions rationnelles
n 2/9 1/4 4/15 3/10 1/3 3/8 2/5 5/12 4/9 7/15 8/15 5/9 7/12 3/5 5/8 2/3 7/10 11/15 3/4 7/9 4/5 5/6 7/8 8/9
n360° 80 90 96 108 120 135 144 150 160 168 192 200 210 216 225 240 252 264 270 280 288 300 315 320

Finalement du fait que 360° Ă©gale 0°, on se retrouve Ă  calculer en modulo 360 lorsque l’on parle en degrĂ©s. On peut souvent opĂ©rer les calculs dans les modulos infĂ©rieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathĂ©matique : 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru Ă  un, modulo deux ; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique on se contente de dire sept fois cent quatre-vingt degrĂ©s est Ă©gal Ă  cent quatre-vingt degrĂ©s. De mĂȘme 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).

Mesure d'angle plan

Angle obtuse acute straight.svg

Le degrĂ© d’arc (symbole °) est une unitĂ© pratique d’angle plan. Un angle plat vaut 180°. Bien qu’en dehors du systĂšme international (SI), le degrĂ© est en usage avec lui.

Un degrĂ© vaut π⁄180 radians, 10⁄9 grades ou 160⁄9 mils, soit 1⁄360 d’un tour complet.

Les prĂ©fixes du SI sont rarement appliquĂ©s aux symboles du degrĂ© d’arc et de ses subdivisions (uniquement Ă  la seconde d’arc, en fait) ; ces symboles sont Ă©galement les seuls Ă  ne pas ĂȘtre sĂ©parĂ©s du nombre les prĂ©cĂ©dant par une espace : on doit Ă©crire « 12° 30â€Č Â» et non « 12 Â° 30 â€Č Â».

Mesure d'angle solide

En astronomie de position, le degré carré est utilisé pour mesurer un angle solide[2] sur la sphÚre céleste. Un degré carré vaut (\frac{\pi}{180})^2 = 3,046 \, 174 \times 10^{-4} stéradian.

Sous-unités

Article dĂ©taillĂ© : Sous-unitĂ©s du degrĂ©.

Un degrĂ© est subdivisĂ© en 60 minutes d’arc (symbole â€Č), elles-mĂȘmes divisĂ©es en 60 secondes d’arc (symbole ″).

  • 1â€Č = 0,016 6
°
  • 1″ = 0,000 277
°
  • 1‮ = 0,000004629
°

On utilise aussi frĂ©quemment la notation dĂ©cimale : on notera aussi bien « 12,5° Â» que « 12° 30â€Č Â», ou encore, « 48.59039° Â» que « 48°35'25.4" Â». La prĂ©fĂ©rence dĂ©pend ici de l'outil de calcul et/ou de mesure.

Précautions de lecture

Les fonctions trigonomĂ©triques sont indĂ©pendantes de l’unitĂ© angulaire choisie. Mais en analyse, les fonctions sont dĂ©finies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimĂ©es en radians.

Pour x l’angle mesurĂ© en degrĂ©s, on a donc sin(x°)=sin(x*π⁄180), et de mĂȘme pour les autres fonctions trigonomĂ©triques.

En astronomie ou en optique, on utilise l’approximation \sin(\theta) \approx \tan(\theta) \approx \theta pour les faibles angles (infĂ©rieurs Ă  5°).

Le sinus et la tangente d’un angle faible sont quasi-Ă©gaux Ă  sa valeur en radians.

À retenir pour les Ă©lĂšves et Ă©tudiants

  • La minute dĂ©signe 1⁄60 degrĂ©, la seconde 1⁄60 minute d’arc, il n’y a aucun lien dans la dĂ©finition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres.
  • Les autres unitĂ©s homonymes « minute Â», « seconde Â» d’ascension droite ou d’astronomie sont des mesures horaires utilisĂ©es surtout pour la mesure de la longitude cĂ©leste. En rĂšgle gĂ©nĂ©rale, quand aucune prĂ©cision n’est donnĂ©e, on parle de minutes et de seconde d’arc et non pas d’ascension droite. MĂȘme en astronomie, on utilise Ă©galement les unitĂ©s dĂ©rivĂ©es du degrĂ© : le parsec, par exemple, est dĂ©fini par rapport Ă  la seconde d’arc.
  • De mĂȘme, toute unitĂ© d’angle ou de direction angulaire qu’on appellerait « heure Â» n’a aucun lien dans sa dĂ©finition avec les minutes et secondes d’arc (il y a plusieurs unitĂ©s dont le nom comprend « heure Â» : voir les pages respectives pour les rapports de conversion)
  • Les fonctions trigonomĂ©triques peuvent ĂȘtre calculĂ©es Ă  partir de la valeur de l’angle dans toute unité  Ă  condition de vĂ©rifier que la calculatrice est convenablement rĂ©glĂ©e.

Notes et références

  1. ↑ Beckmann P. (1976) A History of Pi, St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9
  2. ↑ Michel Dubesset, Le manuel du SystĂšme international d'unitĂ©s : lexique et conversions, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pĂ©trole. / Cours de l'Ecole nationale supĂ©rieure du pĂ©trole et des moteurs Â», 2000, 169 p. (ISBN 2710807629) 

Liens externes

  • Portail de la gĂ©omĂ©trie Portail de la gĂ©omĂ©trie
Ce document provient de « Degr%C3%A9 (angle) ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Degre (angle) de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • DegrĂ© (Angle) — Pour les articles homonymes, voir DegrĂ©. Un angle de 45 degrĂ©s Un degrĂ©, gĂ©nĂ©ralement reprĂ©sentĂ© par ° (le symbole degrĂ©), est une mesure d un 
   WikipĂ©dia en Français

  • DegrĂ© (angle) — Pour les articles homonymes, voir DegrĂ©. Un angle de 45 degrĂ©s Un degrĂ©, gĂ©nĂ©ralement reprĂ©sentĂ© par ° (le symbole degrĂ©), est une mesure d un angle plan, qui reprĂ©sen 
   WikipĂ©dia en Français

  • degrĂ© — [ dəgre ] n. m. ‱ degret fin XIe; probablt du lat. pop. °degradus, de de et gradus « pas, Ă©chelle »; cf. a. fr. grĂ©, greis I ♩ Concret ( 
   EncyclopĂ©die Universelle

  • Angle aigu — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Angle entre deux droites — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Angle nul — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Angle obtus — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Angle plat — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • Angle plein — Angle Pour les articles homonymes, voir Angles. En gĂ©omĂ©trie, la notion gĂ©nĂ©rale d angle se dĂ©cline en plusieurs concepts apparentĂ©s. Dans son sens ancien, l angle est une figure plane, portion de plan dĂ©limitĂ©e par deux droites sĂ©cantes. C est… 
   WikipĂ©dia en Français

  • angle — [ ɑ̃gl ] n. m. ‱ XIIe; lat. angulus 1 ♩ Cour. Saillant ou rentrant formĂ© par deux lignes ou deux surfaces qui se coupent. ⇒ arĂȘte, coin, encoignure, renfoncement. À l angle de la rue. Former un angle, ĂȘtre en angle. La maison qui fait l angle,… 
   EncyclopĂ©die Universelle


Share the article and excerpts

Direct link

 Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.