Couple bielle-manivelle

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Couple bielle-manivelle

Système bielle-manivelle

Le syst√®me bielle-manivelle est un mod√®le de m√©canisme qui doit son nom aux deux pi√®ces qui le caract√©risent. Il appara√ģt √† l'aube de la Renaissance et constitue une innovation de rupture qui vient s'ajouter aux cinq cha√ģnes cin√©matiques simples h√©rit√©es des m√©caniciens grecs. Sa cin√©matique, apparemment triviale, cache de vrais probl√®mes techniques : apr√®s plus d'un si√®cle d'existence, le moteur thermique n'a pu trouver d'autre alternative pour la variation de volume dans la chambre de combustion[1]. D'ailleurs les constructeurs automobiles rechignent √† abandonner ce bas moteur qui marche et concentrent tous leurs efforts sur l'admission et l'√©chappement. Le bielle-manivelle tournera donc encore un peu...

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Sommaire

Origine

Le syst√®me bielle-manivelle repr√©sente sans doute la plus importante innovation du XVe si√®cle. La pens√©e technique allemande de cette √©poque nous a l√©gu√© un manuscrit anonyme, dat√© aux environs de 1430, dit Anonyme de la guerre hussite[2]. Celui-ci comporte plusieurs dessins de moulins √† bras qui constituent la premi√®re repr√©sentation figur√©e certaine de ce m√©canisme : on y distingue parfaitement les bielles manŇďuvr√©es √† bras, et les manivelles.

Par ailleurs, les techniciens se sont probablement très vite rendu compte qu'il existe deux points morts qui peuvent bloquer le système, de sorte qu'ils ont rapidement associé un volant d'inertie sur l'axe en rotation, volant constitué d'une roue ou de barres en équerre munies de maillets et qui constituent l'ancêtre du régulateur à boules.

Le syst√®me bielle-manivelle a permis l‚Äôapparition d‚Äôun machinisme d‚Äôun genre nouveau, d‚Äôabord de petite taille avec les machines √† p√©dales qui lib√®rent la main de l‚Äôouvrier, comme le tour, la meule ou encore le rouet (1470). L‚Äôinterdiction de ce dernier, longtemps inscrite dans les r√®glements de corporations montre combien cette innovation √©tait pertinente parce que d√©stabilisante. Viendront ensuite des machines de plus grande taille actionn√©es par les roues des moulins, comme la scie hydraulique (Francesco di Giorgio Martini), la pompe aspirante et foulante (XVIe si√®cle) ou encore le marteau hydraulique qui permet de forger des pi√®ces de grande dimension.

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Description

C'est, avant tout, un syst√®me m√©canique de transformation de mouvement ; il est constitu√© de 4 pi√®ces principales :

  • la bielle.
  • la manivelle appel√©e aussi vilebrequin.
  • l'oscillateur.
  • le b√Ęti.

La manivelle et l'oscillateur constituent les deux pièces d'entrée et sortie du mécanisme. La transformation de mouvement concerne donc ces éléments. La manivelle (motrice ou réceptrice) est supposée tourner continuement dans le même sens autour de son axe, alors que l'oscillateur est animé d'un mouvement alterné.

La bielle est li√©e par deux articulations √†, d'un c√īt√© la manivelle et, de l'autre l'oscillateur qui peut √™tre guid√© dans le b√Ęti par deux types de liaisons :

  • Liaison autorisant une translation : C'est le cas des machines √† piston (pompes hydrostatiques, moteur).
  • Liaison autorisant une rotation : Ce cas est alors r√©pertori√© comme m√©canisme √† 4 barres (li√©es entre elles par 4 articulations). Il s'agit par exemple du syst√®me de tringlerie d'essuie-glace de v√©hicules automobiles. On trouve le m√©canisme inverse sur les voitures √† p√©dales pour enfants.

Exemples d'applications

Pour la suite de l'√©tude on ne consid√©rera que des syst√®mes avec oscillateurs en translation. on distinguera cependant deux grandes familles :

  • les moteurs √† piston (la manivelle est alors r√©ceptrice) : la source d'√©nergie vient des gaz introduits dans la chambre et poussant le piston.
  • les pompes hydrostatiques (la manivelle est alors motrice) : un couple moteur appliqu√© √† la manivelle anime l'ensemble, le piston propulse alors le fluide contenu dans la chambre.
  • Commande de certaines barri√®res (p√©ages ou parking). La lisse √©tant l'oscillateur, l'int√©r√™t du dispositif r√©side dans la commande du moteur animant le m√©canisme qui tourne dans le m√™me sens pour la lev√©e ou la descente de la lisse. La manivelle effectue donc exactement un demi-tour pour chaque mouvement.
  • les automates des vitrines des grands magasins: Toutes les pi√®ces anim√©es d'un mouvement alternatif sont entra√ģn√©es par des moteurs √©lectriques tournant en continu. Simplicit√© et effet garanti.

Modélisation cinématique

Bielle manivelle graphe.jpg

Le mécanisme bielle-manivelle comporte un nombre cyclomatique égal à 1, et présente une mobilité utile. Le tableau ci-dessous répertorie les principales solutions cinématiques en indiquant le type de chaque liaison mécanique, les degrés d'hyperstatisme et de mobilité.

Exemple Liaison O 1/2 Liaison A 2/3 Liaison B 3/4 Liaison C 4/1 Mobilité Mc Hyperstatisme

-Ms

Moteur pompe classique Pivot (5) Pivot (5) Pivot glissant (4) Pivot glissant (4) 1 1
Piston de section oblongue Pivot (5) Pivot (5) Pivot glissant (4) Glissière (5) 1 2
Machine vapeur

(bielles très longues)

Pivot (5) Pivot (5) Pivot (5) Pivot glissant (4) 1 2
Piston de forme ovalisée ou jeu Pivot (5) Pivot (5) Pivot glissant (4) Linéaire annulaire (3) 1 0
autre combinaison admissible Pivot (5) Pivot glissant (4) Rotule(3) Pivot glissant(3) 2 0
- - - - - - -

√Čquations horaires

Le syst√®me bielle manivelle est un m√©canisme plan. Dans le plan (x,y) du sch√©ma suivant, on peut repr√©senter en vraie grandeur les d√©placements de chaque pi√®ce. La g√©om√©trie d√©pend :

  • du rayon R=OA de la manivelle ;
  • de la longueur L=AB de la bielle ;
  • et de la distance entre le point O et la droite de d√©placement du point B.

Piston dans l'axe

Bielle manivelle.jpg

Pour cette configuration le point B est sur l'axe (O,y).

On peut rep√©rer la position du m√©canisme par la position angulaire őł de la manivelle. Cet angle est une fonction du temps.La position de B est alors d√©finie par sa hauteur h(t)=OB.

h(t)= OB = OH + HB = R.sinőł + L.cos(arsin(R/L.cosőł))
avec őł=őł(t)=ŌČ.t (par exemple).

Par dérivation on obtient alors la vitesse puis l'accélération (expressions non triviales).

On peut aussi rep√©rer la position angulaire de la manivelle őł en fonction de la position du piston (OB) avec la formule suivante:

őł=Arsin((R¬≤+OB¬≤-L¬≤)/(2.L.R))


Remarques sur la g√©om√©trie: Pour que le syst√®me puisse faire un tour, il faut que la bielle soit au moins plus longue que la manivelle (arcsin ayant des arguments inf√©rieurs ou √©gaux √† 1). Notez aussi que le milieu de course du piston ne correspond pas √† őł=0.


Valeurs particulières:

  • őł=90¬į: OB = R + L : c'est la position la plus haute de B, appel√©e point mort haut parce que sa vitesse s'annule pour changer de signe.
  • őł=270¬į: OB = L - R : par opposition il s'agit du point mort bas. La distance s√©parant les deux points morts et valant 2R est naturellement appel√©e course du piston.

Pour un système bielle-manivelle avec piston dans l'axe, on constate donc:

  • R vaut la moiti√© de la course du piston.
  • La longueur de bielle n'a pas d'incidence sur la course. Elle contribue cependant √† la sym√©trie du mouvement: si L est tr√®s grand devant R, celui-ci devient sinuso√Įdal.
Lois du mouvement pour L=3R
Lois du mouvement pour L‚ČąR

Les courbes ci-contre obtenues à partir de l'équation horaire, donnent sur une période, la comparaison de deux configurations (avec R/L différents):

Avec L=3R, le mouvement aux alentours du point mort bas s'apparente à un mouvement uniformément varié. Les accélérations peuvent être très violentes si la longueur de bielle est trop faible. A l'autre extrême, une contrainte d'encombrement, mais aussi de résistance au flambage (ou flambement) limite la longueur de bielle. Au technicien de trouver le bon compromis.

Voici quelques exemples de valeurs pratiquées dans le cas des moteur thermiques:

  • Moteur de scooter 50 cm¬≥ : R=20 et L=80=4R (mm)
  • Moteur de mod√©lisme 6 cm¬≥ : R=10 et L=35=3,5R

La fonction n'étant pas bijective (sur une période) et suffisamment complexe il ne sera pas donné d'expression de la rotation en fonction de la translation de B. On peut cependant considérer, que pour un moteur la vitesse de sortie est une rotation continue à vitesse constante. Pour arriver à cette fin, un volant d'inertie est monté sur l'arbre. Les vibrations engendrées par l'irrégularité du mouvement pourraient endommager l'ensemble du système.

Piston "désaxé"

Lorsque le point B est décalé, la symétrie du dispositif n'est plus respectée.

Comportement statique

L'objet de l'étude concerne ici le comportement statique du mécanisme, à savoir la détermination de la relation éventuelle entre l'effort appliqué au piston et le couple récupéré sur la manivelle (dans le cas d'une machine thermique par exemple).

Méthode statique

Pour chaque position, le mécanisme considéré à l'arrêt est en équilibre sous l'ensemble des efforts extérieures. Cette démarche est appelée quasi-statique puisqu'elle s'appuie sur le paradoxe de mouvement arrêté. C'est le principe de calcul adopté par les logiciels de simulation en mécanique, qui donnent l'évolution des efforts sur le mécanisme en équilibre tout en progressant. Cela revient à une hypothèse d'inertie nulle.

Pour cette √©tude les conventions sur les efforts ext√©rieurs sont les suivantes :

  • Force appliqu√©e sur et dans l'axe du piston. F suppos√©e connue.
  • Couple sur la manivelle (dans l'axe de la manivelle) C=f(F)?

Le problème statique étant plan, il peut être résolu graphiquement ou à l'aide de torseurs; dans tous les cas, il faudra opérer l'isolement de plusieurs systèmes mécaniques. La solution la plus courte étant:

  • √©quilibre de la bielle qui transmet l'action du piston vers la manivelle, ce qui nous renseigne sur la direction des actions transmises dans les articulations en A et B.
  • √©quilibre du piston sous 3 actions (glissi√®re 2D, articulation, et F ext), qui donne l'intensit√© des actions transmises dans les articulations en A et B.
  • √©quilibre de la manivelle sous 3 actions (2 articulations et un couple), qui donne la valeur du couple.

L'étude F=f(C) peut être menée de même. On sera cependant obligé d'inverser les deux dernières étapes.

Méthode énergétique

En consid√©rant que le syst√®me est de rendement 1, que la manivelle tourne √† vitesse constante, et que les inerties sont n√©gligeables, on √©tablit une relation simplifi√©e donnant C en fonction de F, √† partir de l'√©galit√© des puissances consomm√©e et fournie (produits F.V et C.ŌČ) :

C = F. R \cos\theta \left(1 + \frac{R\sin\theta}{\sqrt{L^2-R^2\cos^2\theta}}\right)

Lorsque L est suffisamment grand, le terme sous forme de fraction ne s'annulant pas, on retrouve deux points particuliers ou le couple est nul: il s'agit des points morts haut et bas pour lesquels l'action de F est donc totalement inefficace sur l'avanc√©e de la manivelle ; en effet, il est difficile d'arracher un v√©lo lorsque la p√©dale est plac√©e au dessus de l'axe du p√©dalier; l'efficacit√© est au contraire maximale lorsque la manivelle est √† l'horizontale.

Le piston

Efforts répartis sur la chemise

L'√©tude d√©taill√©e du piston montre que les actions m√©caniques doivent avoir un moment nul en B. Cela implique une g√©om√©trie bien adapt√©e pour √©viter l'arc-boutement de celui-ci dans la chemise, ce qui provoque les serrages du moteur. C'est pourquoi l'articulation B doit se trouver √† l'int√©rieur du piston, autrement dit, la surface de contact piston/chemise doit √™tre en vis √† vis de l'axe de piston. Par exemple si la liaison pivot glissant avec le b√Ęti est r√©alis√©e comme sur le sch√©ma cin√©matique (cependant juste cin√©matiquement), le piston tend √† se pencher et peut se coincer comme un tiroir de commode.

Cinématique


s = r\,(1 - cos \varphi) + \frac{\lambda}{2}\,r\,sin^2 \varphi

v = \omega\,r\,sin \varphi\,(1 + \lambda\,cos \varphi)

a = \omega^2\,r\,(cos \varphi + \lambda\,cos 2\varphi)

\lambda = \frac{r}{l} = \frac{1}{4} \ldots \frac{1}{6}

\varphi = \omega\,t = 2\,\pi\,n\,t

(őĽ est le rapport de bielle, ŌČ = const.)

Cinématique bielle-manivelle

L, la longueur de la bielle
C, la course
K = \frac{L}{C}, rapport bielle/course

D√©placement du piston : y = \frac{C}{2} (1 + cos \alpha^\prime) + C \frac{sin^2 \alpha^\prime}{8 K}

K = \frac{L}{2\,r}

D√©placement du piston (moteur d√©sax√©) : y = y^\prime + \frac{r\,d}{2\,K} \left\lbrack \frac{d}{2\,(2\,K+1)} - sin \alpha \right\rbrack
y^\prime = (1 - cos \alpha)\,r + \frac{r\,sin^2 \alpha}{4\,K}\,

Notes

Palmercarpenter.jpg
  1. ‚ÜĎ Voir moteur Wankel.
  2. ‚ÜĎ Les ing√©nieurs de la Renaissance Bertrand Gille, Th√®se Histoire, Paris, 1960 ; Seuil, coll. ¬ę Points Sciences ¬Ľ, 1978 (ISBN 2-02-004913-9)

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