Cercle

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Cercle
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Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du ¬ę rond ¬Ľ qui est associ√© en fran√ßais au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la d√©finition d'une distance non euclidienne, la forme peut √™tre plus complexe. Dans un espace de dimensions quelconque, l'ensemble des points plac√©s √† une distance constante d'un centre est appel√© sph√®re.

D'autres formes peuvent √™tre qualifi√©es de ¬ę rondes ¬Ľ : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, c√īnes, etc)[1].

Pendant longtemps, le langage courant employait ce terme autant pour nommer la courbe (circonf√©rence) que la surface qu'elle d√©limite. De nos jours, en math√©matiques, le cercle d√©signe exclusivement la courbe ; la surface √©tant appel√©e disque.

Le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre définit le nombre pi.

Sommaire

Géométrie euclidienne

Cercle de centre C et de rayon r dans un plan muni d'un repère orthonormé
Cercle unit√© : centr√© sur l'origine du rep√®re et de rayon 1 ; d√©finition du sinus et du cosinus
Un cercle est une section droite d'un c√īne de r√©volution.

Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est √©gale √† la longueur du petit axe. C'est une conique dont l'excentricit√© e vaut 0. Elle peut √™tre obtenue par l'intersection d'un plan avec un c√īne de r√©volution lorsque le plan est perpendiculaire √† l'axe de r√©volution du c√īne (on parle parfois de ¬ę section droite ¬Ľ du c√īne).

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, le cercle unité ou cercle trigonométrique est le cercle dont le centre est l'origine du repère, et dont le rayon vaut 1.

Représentation conventionnelle d'un cercle en dessin industriel

En dessin industriel, un cercle est le plus souvent repr√©sent√© avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin compos√© de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre mat√©rialis√© par une croix droite ¬ę + ¬Ľ en traits fins. Une forme de r√©volution, pleine ou creuse (cylindre, c√īne, sph√®re) et vue selon l'axe de r√©volution est repr√©sent√©e par un cercle.

Définitions

définition d'objets géométriques liés au cercle
  • Une corde est un segment de droite dont les extr√©mit√©s se trouvent sur le cercle.
  • Un arc est une portion de cercle d√©limit√©e par deux points.
  • Une fl√®che est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde d√©finis par deux m√™mes points du cercle
  • Un rayon est un segment de droite joignant le centre √† un point du cercle.
  • Un diam√®tre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui d√©limite le disque en deux parts √©gales. Le diam√®tre est compos√© de deux rayons colin√©aires ; sa longueur est 2r.
  • Un disque est une r√©gion du plan limit√©e par un cercle.
  • Un secteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons.
  • Un angle au centre est un angle form√© par deux rayons du cercle.

Propriétés géométriques

Voici quelques propriétés géométriques du cercle.

Mesures

La longueur d'un arc de rayon r sous-tendu par un angle őĪ, exprim√© en radians, est √©gale √† őĪr. Ainsi, pour un angle de 2ŌÄ (un tour complet), la longueur du cercle vaut 2ŌÄr.

L'aire du disque d√©limit√© par un cercle de rayon r vaut ŌÄr2 ; si l'on prend une corde de longueur l donn√©e et que l'on s'en sert pour d√©limiter une surface ferm√©e, la surface ayant la plus grande aire est d√©limit√©e par un cercle.

Selon la l√©gende de la fondation de Carthage, le souverain avait permis aux Ph√©niciens de fonder une ville dont le pourtour serait d√©limit√© par une peau de vache ; Didon en fit une grande lani√®re et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.

Corde et flèche d'un arc

La longueur d'une corde sous-tendue par un angle őĪ est √©gale √† 2rsin(őĪ / 2).

On peut exprimer le rayon r d'un cercle, la corde c et la fl√®che f d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux :

c = 2\sqrt{(2r - f)f} ;\qquad r = \frac{4f^2+c^2}{8 f} ;\qquad f = r - \sqrt{r^2 - \tfrac{c^2}4} \,

Tangente

Tangente perpendiculaire au rayon

La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.

Cette propri√©t√© a des applications en optique g√©om√©trique : un rayon lumineux passant par le centre d'un miroir sph√©rique repart en sens inverse selon la m√™me direction (on a une r√©flexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sph√©rique, la lumi√®re est renvoy√©e de l'autre c√īt√©, ce qui permet par exemple de ¬ę rabattre ¬Ľ la lumi√®re vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).

Médiatrice

La médiatrice d'une corde passe par le centre.

On peut montrer que la m√©diatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parall√®les et de rechercher l'intersection de leurs m√©diatrices.

On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelé cercle circonscrit au triangle.

Cercle et triangle rectangle

Triangle rectangle inscrit dans un cercle

Prenons trois points du cercle A, B et C, dont deux ‚ÄĒ A et C ‚ÄĒ sont diam√©tralement oppos√©s (c'est-√†-dire sont les intersections du cercle avec un diam√®tre). Alors, ABC est un triangle rectangle en B.

Ceci d√©coule du fait que la m√©diane de l'angle droit vaut la moiti√© de l'hypot√©nuse (on a un rayon et un diam√®tre) ; ceci est une propri√©t√© du triangle appel√©e le th√©or√®me de Thal√®s.

Angle inscrit, angle au centre

Illustration de la relation entre les secteurs angulaires interceptant un même arc.

Prenons deux points distincts A et B du cercle. O est le centre du cercle et C est un autre point du cercle. Alors, on a

\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{ACB}

Pour l'angle au centre \widehat{AOB}, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenant C.

Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion de longueur d'onde, c'est la notion de cercle de focalisation ou cercle de Rowland.

Points d'intersection avec une droite

Soit une droite (P_1P_2) \,, ensemble des points P\, tels que :

P = P_1 + k(P_2 - P_1) \,

o√Ļ k \, est un param√®tre r√©el et P_1 \, et P_2 \, sont deux points distincts de la droite.

Si dans un plan contenant la droite, ces deux points ont pour coordonn√©es (x_1, y_1) \, et (x_2, y_2) \,, alors les coordonn√©es (x, y) \, d'un point P \, quelconque de la droite sont donn√©es par les deux √©quations param√©triques :

x = x_1 + k (x_2 - x_1) \,
y = y_1 + k (y_2 - y_1) \,

Un cercle dans le m√™me plan, de centre I (x_3, y_3) \, et de rayon r \,, est d√©fini par l'√©quation (c'est un simple calcul d'hypot√©nuse) :

(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = r^2 \,

La substitution des coordonn√©es (x, y)\, d'un point de la droite dans l'√©quation du cercle donne une √©quation du deuxi√®me degr√© d'inconnue k. Le discriminant de l‚Äô√©quation, de la forme b^2 - 4ac \,, est donn√© par les coefficients :

a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \,
b = 2 \{(x_2 - x_1)(x_1 - x_3) + (y_2 - y_1)(y_1 - y_3)\} \,
c = x_3^2 + y_3^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_3x_1 + y_3y_1 )- r^2 \,

Trois cas se pr√©sentent pour b^2 - 4ac \, :

  • Si b^2 - 4ac < 0 \, : il n'y a pas d'intersection.
  • Si b^2 - 4ac = 0 \, : la droite est tangente au cercle en un point tel que :
    k = \frac{-b}{2a} \,
  • Si b^2 - 4ac > 0 \, : il existe deux points d'intersection avec le cercle tels que :
    k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \,

Rapport des cercles inscrits

Illustration de l'unique disposition de N cercles inscrits.
  • Rayon R' et surface S' des 2 plus grands cercles inscrits dans le cercle de rayon R et de surface S :
    R' = \frac{R}{2} \,;\qquad 2\,S' = \frac{S}{2}
  • Rayon R' et surface S' des 3 plus grands cercles inscrits :
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{\frac{4}{3}}} \,;\qquad 3\,S' = \frac{9\,S}{7+2\sqrt{3}}
  • Rayon R' et surface S' des 4 plus grands cercles inscrits :
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{2}} = (\sqrt{2}-1)\,R \,;\qquad 4\,S' = \frac{4\,S}{3+\sqrt{8}}
  • Rayon R' des 5 plus grands cercles inscrits :
    R' = \frac{R}{1+\sqrt{2+\sqrt{\frac{4}{5}}}}
  • Rayon R' et surface S' des 7 (ou 6) plus grands cercles inscrits (1 cercle au centre entour√© de 6) :
    R' = \frac{R}{3} \,;\qquad 7\,S' = \frac{7\,S}{9}

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Si M est un point et őď est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a

MA\times MB = |OM^2 - R^2|.

Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie, mais seulement de la position de M par rapport au cercle.

On peut remarquer que

  • si M est √† l‚Äôext√©rieur du cercle,
    MA\times MB = OM^2 - R^2 ;
  • si M est √† l‚Äôint√©rieur du cercle,
    OM^2 - R^2 = -MA\times MB ;
    ce produit correspond au produit des mesures algébriques MA et MB.

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle őď le produit des mesures alg√©briques MA et MB. Ce produit est ind√©pendant de la droite choisie et vaut toujours OM2 ‚ąí R2.

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT, la puissance de M est MT2. L'égalité

MA\times MB = MT^2

est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de v√©rifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si

  • A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et
  • MA√óMB = MC√óMD (en mesures alg√©briques),

alors les quatre points sont cocycliques.

√Čquations

Dans un plan muni d'un rep√®re orthonorm√©, l‚Äô√©quation du cercle de centre C(a,b) et de rayon r est :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \,, soit pour le cercle unit√© :
x^2 + y^2 = 1 \,.

Cette équation est en fait une application du théorème de Pythagore pour le triangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.

En mettant y en √©vidence, on obtient la double √©quation cart√©sienne du cercle (en fait une √©quation pour chaque demi-cercle d√©limit√© par le diam√®tre horizontal)  :

y = b \pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2} \,.

Des √©quations param√©triques possibles du cercle (en fonction du param√®tre \theta \, qui exprime ici un angle orient√© du vecteur joignant le centre du cercle √† un de ces points par rapport au vecteur horizontal unit√© du rep√®re) sont donn√©es par :

x = a + r \cos\theta ;\qquad y = b + r \sin\theta \,, soit pour le cercle unit√© :
x = \cos\theta ;\qquad y = \sin\theta \,

On peut √©galement d√©terminer une √©quation pour le cercle de diam√®tre [AB] :

(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0 \,, soit encore :
x^2 + y^2 - (x_A + x_B)x - (y_A + y_B)y + x_A x_B + y_A y_B = 0 \,.

Voir aussi

Sources

  1. ‚ÜĎ Voir la d√©finition de l'adjectif rond dans le Tr√©sor de la Langue Fran√ßaise Informatis√©.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cercle de Wikipédia en français (auteurs)

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