Analyse d'échelle

Analyse d'échelle est une méthode puissante d'approximation utilisée en mathématique pour la simplifications des équations avec plusieurs termes. Le principe est de garder le terme principal et de négliger les autres termes secondaires.

Sommaire

Exemple

Prenons comme exemple les équations Équations de Navier-Stokes appliquées à l'atmosphère, uniquement pour la composante vertical :

{{\partial w }\over{\partial t }} + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} - {\frac{u^2 + v^2}{R}}= - { { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} - g +2{\Omega u \cos \varphi} + \nu \left({\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}}\right),\qquad(1)

ou R est le rayon de la terre, Ω est la vitesse de rotation de la terres, g est la gravité, φ est la latitude ρ est la densité de l'air et ν est la viscosité cinématique de l'air (les turbulences en atmosphère libre sont négligées ).

Les relevés réels sur l'atmosphère de notre planète donnent :

  • vitesse horizontal de l'ordre de U = 101 m.s−1 et vertical de l'ordre de W = 10−2 m.s−1.
  • La dimension horizontal est L = 106 m et La dimension vertical est H = 104 m.
  • L'ordre de grandeur du temps mis en jeu est T = L/U = 105 s.
  • La différence de pression dans la troposphère est ΔP = 104 
  • Pa et la densité de l'air ρ = 100 kg·m−3.
  • Les autres grandeurs physiques sont approximativement :
R = 6.378 × 106 m;
Ω = 7.292 × 10-5 rad·s−1;
ν = 1.46 × 10−5 m·s−1;
g = 9.81 m·s−2.

Estimer les différents termes dans l'équation (1) peut être fait en utilisant la méthode :


\begin{align}
{{\partial w }\over{\partial t }} &\sim \frac{W}{T} \\[1.2ex]
u {\frac{\partial w}{\partial x}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
v {\frac{\partial w}{\partial y}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
w {\frac{\partial w}{\partial z}} &\sim W\frac{W}{H} \\[1.2ex]
{\frac{u^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} &\qquad
{\frac{v^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} \\[1.2ex]
\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial z} &\sim \frac{1}{\varrho}\frac{\Delta P}{H} &\qquad
\Omega u \cos \varphi &\sim \Omega U \\[1.2ex]
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} &\sim \nu \frac{W}{H^2}
\end{align}

Maintenant il faut introduire les échelles et leur valeur dans l'équation (1):


{\frac{10^{-2}}{10^5}}+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10^{-2}{\frac{10^{-2}}{10^4}}
-{\frac{10^2+10^2}{10^6}}



= - {{\frac{1}{1}} {\frac{10^4}{10^4}} } - 10 + 2 \times 10^{-4} \times 10 + 10^{-5} \left({\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{8}}}  \right).
\qquad (2)

Force est de constater que quasiment tous les termes de l'équation (2) sont négligeables. Il reste comme valeur non négligeable :

 0 = - {{\frac{1}{1}} {\frac{10^4}{10^4}} } - 10.  \qquad (3)

Cela simplifie drastiquement l'équation, et il reste que les termes de (3) soit l'équation simplifiée suivante :

{ { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} = - g

Articles connexes

Références

Lien externe

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