Vitesse de liberation

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Vitesse de liberation

Vitesse de libération

Illustration du raisonnement d'Isaac Newton. Depuis le sommet d'une montagne, un canon envoie des projectiles avec chaque fois plus de puissance. Les projectiles A et B retombent sur terre. Le projectile C entre en orbite circulaire, D en orbite elliptique. Le projectile E se libère de l'attraction terrestre.

La vitesse de libération (aussi appelée vitesse d'évasion, vitesse parabolique, vitesse de fuite, ou vitesse d'échappement, en anglais escape velocity) d'une planète est la vitesse qui, si elle est impartie à un objet à la surface de cette planète, conduira à ce qu'il échappe définitivement à l'attraction gravitationnelle de cette planète (ceci en supposant négligeable la résistance de l'atmosphère). Formulé autrement , c'est la vitesse minimale que doit atteindre théoriquement un corps pour s'éloigner indéfiniment d'un astre malgré l'attraction gravitationnelle de ce dernier. La vitesse de libération d'une planète est aussi la vitesse qu'un corps, initialement au repos et à distance infinie, acquiert en tombant jusqu'à la surface de la planète.

La vitesse de lib√©ration se calcule d'apr√®s la formule suivante :

v > \sqrt{\frac{2GM}{R}}

O√Ļ G est la constante gravitationnelle universelle (6,6742√ó10-11 m3¬∑kg-1¬∑s-2), M est la masse de la plan√®te, et R son rayon. La vitesse de lib√©ration augmente ainsi lorsque la masse de la plan√®te augmente et aussi lorsque son rayon diminue.

Démonstration de la relation

On part du principe selon lequel l'énergie mécanique d'un corps est constante au cours du temps. À la distance R, la vitesse du corps est la vitesse de libération. À une distance infinie, sa vitesse et son énergie potentielle de gravitation sont nulles. Son énergie mécanique est donc nulle.

E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0

Les masses se simplifient et on obtient la formule indiquée.

Comme par définition, la vitesse de libération est la vitesse nécessaire pour se soustraire complètement à la gravité d'une planète ou plus généralement d'un corps quelconque à partir de sa surface, celle-ci est plus élevée que la vitesse de mise en orbite puisque un corps en orbite subit encore la gravité du corps en question. La vitesse de mise en orbite est:

v > \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Pour le montrer, appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite √† mettre en orbite :

 m~a = \frac{GMm}{{R}^2}

Dans le Repère de Frenet lié au satellite en orbite, l'accélération normale s'écrit:

 a = \frac{{v}^2}{R}

Les masses se simplifient à nouveau et on obtient bien la formule annoncée.

A noter qu'un corps en altitude requiert une vitesse inf√©rieure √† celle de lib√©ration pour se soustraire √† la gravit√©. La vitesse requise est dans ce cas obtenue par la formule :

v > \sqrt{\frac{2GM}{D}} o√Ļ D est la distance au centre de la plan√®te ou du corps dont l'on souhaite se lib√©rer.

Valeurs remarquables de vitesse de libération

La vitesse de lib√©ration d'un corps quittant la surface de la Terre, dite aussi deuxi√®me vitesse cosmique, est de l'ordre de 11,2 kilom√®tres par seconde (soit environ 40 000 km/h) par rapport √† un rep√®re inertiel g√©ocentrique. Par comparaison, celle de Jupiter est de 59,5 km/s. La sonde Luna 1 fut, en 1959, le premier objet construit par l'homme √† atteindre la vitesse de lib√©ration terrestre lors de son trajet en direction de la Lune.

La vitesse de lib√©ration d'un corps quittant le syst√®me solaire, dite aussi troisi√®me vitesse cosmique, est de l'ordre de 16,6 kilom√®tres par seconde par rapport √† un rep√®re inertiel g√©ocentrique.

Vitesse de libération d'un véhicule spatial ...
Position Pour √©chapper √† Ve[1]     Position Pour √©chapper √† Ve[1]
√† la surface du Soleil, l'attraction du Soleil 617,5 km/s
√† la surface de Mercure, l'attraction de Mercure 4,3 km/s √† la surface de Mercure l'attraction du Soleil 67,7 km/s
√† la surface de V√©nus, l'attraction de V√©nus 10,3 km/s √† la surface de V√©nus, l'attraction du Soleil 49,5 km/s
√† la surface de la Terre, l'attraction de la Terre 11,2 km/s √† la surface de la Terre ou la Lune l'attraction du Soleil 42,1 km/s
√† la surface de la Lune, l'attraction de la Lune 2,4 km/s √† la surface de la Lune l'attraction de la Terre 1,4 km/s
√† la surface de Mars, l'attraction de Mars 5,0 km/s √† la surface de Mars, l'attraction du Soleil 34,1 km/s
√† la surface de Jupiter, l'attraction de Jupiter 59,5 km/s √† la surface de Jupiter, l'attraction du Soleil 18,5 km/s
√† la surface de Saturne, l'attraction de Saturn 35,6 km/s √† la surface de Saturne l'attraction du Soleil 13,6 km/s
√† la surface d'Uranus, l'attraction d'Uranus 21,2 km/s √† la surface d'Uranus l'attraction du Soleil 9,6 km/s
√† la surface de Neptune, l'attraction de Neptune 23,6 km/s √† la surface de Neptune, l'attraction du Soleil 7,7 km/s
dans le syst√®me solaire,   l'attraction de la voie lact√©e   ~1000 km/s

Remarques

Contrairement √† une croyance r√©pandue, il n'y a aucun besoin que cette vitesse soit verticale : la vitesse de lib√©ration est une quantit√© scalaire et non pas vectorielle. Il s'agit en fait d'une √©nergie cin√©tique de lib√©ration, mais comme celle-ci est proportionnelle √† la masse de l'objet, il est commode de la caract√©riser par la vitesse qui lui est associ√©e. Peu importe la direction vers laquelle le corps se dirige, sous r√©serve tout de m√™me que ce ne soit pas directement vers la plan√®te !

On peut aussi parler de vitesse parabolique : c'est la valeur, exprim√©e en fonction d'une plan√®te, de la vitesse qu'il faut donner √† un objet pour que la trajectoire de cet objet soumis exclusivement √† l'attraction de cette plan√®te soit une parabole (qui pourrait √™tre d√©g√©n√©r√©e).

Au-dessus de cette vitesse, l'objet va quitter l'orbite de la plan√®te et s'√©loigner. En dessous, l'objet reste li√© √† la plan√®te; il se mettra donc en orbite elliptique, et reviendra ou non s'√©craser sur la plan√®te en fonction des caract√©ristiques de cette orbite : dans ce cas, la direction joue un r√īle aussi bien que le point de d√©part et la vitesse.

Notes et références de l'article

  1. ‚ÜĎ a‚ÄČ et b‚ÄČ Solar System Data, Georgia State University

Voir aussi

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