Tore

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Page d‚Äôaide sur l‚Äôhomonymie Pour les articles homophones, voir Tor et Thor.

Un tore est un solide g√©om√©trique repr√©sentant un tube courb√© referm√© sur lui-m√™me. Le terme ¬ę tore ¬Ľ comporte diff√©rentes acceptions plus sp√©cifiques selon le contexte :

Sommaire

Le solide de révolution en géométrie euclidienne

Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.


Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R3 engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acception, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) d√©pend du signe de R-r :

  • Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diam√®tres). Certains auteurs r√©servent la d√©nomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.
  • Si R < r, le tore est dit ¬ę crois√© ¬Ľ et ressemble visuellement √† une citrouille ; le solide est topologiquement une boule ferm√©e de l'espace tridimensionnel, et sa surface une sph√®re.
  • Si R = r, le tore est dit ¬ę √† collier nul ¬Ľ.
  • si R > r, le tore est dit ¬ę ouvert ¬Ľ et ressemble √† une chambre √† air (exemple francophone) ou √† un donut (exemple anglophone).
Les trois types de tores.PNG
Les trois types de tores : Tore crois√©, √† collier nul, et ouvert.

√Čquations du tore

Un tore peut être défini paramétriquement par:[1]

x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \,
y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z(u, v) =  r \sin{v} \,

o√Ļ

u,v appartiennent √† l'intervalle [0, 2ŌÄ),
R est la distance entre le center du tube et le centre du tore,
r est le rayon du cercle C.

Une équation cartésienne pour un tore symétrique par rapport à l'axe z est

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient une équation du 4e degré.

 (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2).  \,\!

Aire et volume

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Pour R-r positif ou nul, on a :


  • Volume int√©rieur du tore : V = \int_0^{2\pi}R\,\text{d}\theta\;(\int_0^{2\pi}\int_0^r r\,\mathrm dr\text{d}\theta)=2\pi^2r^2R


Les théorèmes de Guldin permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r).

Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isom√©tries remarquables du tore, on distingue :

  • Les rotations ru d'axe (suppos√© orient√©) D et d'angle u ;
  • Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal √† D passant par le centre de C ;
  • Le retournement bQ par rapport √† tout plan affine Q contenant D ;
  • La sym√©trie centrale s par rapport au projet√© orthogonal O de C sur D ;
  • Les sym√©tries axiales par rapport √† toute droite passant par O et contenue dans P ;
  • Les compos√©es d'une rotation ru par le retournement a.

√Čvidemment, la sym√©trie centrale et les sym√©tries axiales s'obtiennent comme compos√©es des retournements d√©crits. Le groupe G des isom√©tries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S1 par Z/2Z :

\scriptstyle G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z) .

Un isomorphe naturel est d√©crit comme suit :

  • ru correspond √† (0,u,0) ;
  • a correspond √† (1,0,0) ;
  • Pour un plan Q fix√© arbitraire, bQ correspond √† (0,0,1).

En particulier, bru(Q)=rubQr-u correspond √† (0,u,1) ; s correspond √† (1,ŌÄ,0) ; ...

Cercles de Villarceau

Colorier un tore

Le th√©or√®me des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs diff√©rentes (maximum) de sorte que chacune touche toutes les autres.

Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement.

Caractéristique d'Euler d'un tore

La caract√©ristique d'Euler d'un tore est √©gale √† 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularit√©.

Applications

  • En recherche nucl√©aire pour la production d'√©nergie par fusion, dans les r√©acteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magn√©tiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces r√©acteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des chambres √† vide des acc√©l√©rateurs de particules du type synchrotron (en n√©gligeant les canaux d'entr√©e et de sortie).
  • En √©lectricit√©, la forme id√©ale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est r√©serv√© pour d√©signer des espaces topologiques bien d√©finis √† diff√©omorphisme pr√®s. Il existe plusieurs pr√©sentations, toutes √©quivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement not√© dans la litt√©rature math√©matique Tn, l'espace topologique unique √† hom√©omorphisme pr√®s d√©fini comme :

Le tore de dimension n est une vari√©t√© topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel r√©el, Tn est une vari√©t√© diff√©rentielle ; l'atlas maximal correspondant ne d√©pend ni du r√©seau, ni de l'espace vectoriel.

Le tore est √©galement obtenu par recollement des c√īt√©s oppos√©s d'un carr√©. On obtient une vari√©t√© plate.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tn=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

De la m√™me fa√ßon que pour construire un tore de surface externe de dimension 2 il fallait joindre deux √† deux les c√īt√©s oppos√©s d'un carr√© en le pliant dans une troisi√®me dimension, pour construire un tore de surface n dimensionnelle, il faut joindre deux √† deux les faces n-1 dimensionnelles oppos√©es d'un hypercube de dimension n en pliant cet hypercube dans une nouvelle dimension n+1. Ainsi, un tore de surface externe 3 est le recollement des 3 paires de faces oppos√©es d'un cube dans une quatri√®me dimension.

Le groupe fondamental de Tn est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zn.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

  • Torus Games Quelques jeux t√©l√©chargeables gratuitement, fonctionnant sous Windows et Mac OS X, qui d√©taillent la topologie du tore

Notes et références


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tore de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Tore ‚ÄĒ ist ein skandinavischer m√§nnlicher Vorname, der aus dem altnordischen √ě√≥rr (Thor) mit der Bedeutung Donner entstanden ist.[1][2] Der Name kommt insbesondere in Norwegen und Schweden vor und ist oft auch eine verk√ľrzte Schreibweise f√ľr Torbj√∂rn.… ‚Ķ   Deutsch Wikipedia

  • tore ‚ÄĒ [ t…Ēr ] n. m. ‚ÄĘ thore 1545; lat. torus ¬ę renflement ¬Ľ 1 ‚ô¶ Archit. Moulure ronde, demi cylindrique, unie ou d√©cor√©e qui entoure la base d une colonne, d un pilier. ‚áí boudin; scotie. 2 ‚ô¶ (1837) G√©om. Surface de r√©volution engendr√©e par un cercle… ‚Ķ   Encyclop√©die Universelle

  • Tore ‚ÄĒ can refer to: * Tore, Scotland * Tore (volcano), in Papua New Guineaee also* T√∂re ‚Ķ   Wikipedia

  • Tore ‚ÄĒ Tore, imp. of {Tear}. [1913 Webster] ‚Ķ   The Collaborative International Dictionary of English

  • Tore ‚ÄĒ Tore, n. [Probably from the root of tear; cf. W. t[ o]r a break, cut, t[ o]ri to break, cut.] The dead grass that remains on mowing land in winter and spring. [Prov. Eng.] Mortimer. [1913 Webster] ‚Ķ   The Collaborative International Dictionary of English

  • Tore ‚ÄĒ Tore, n. [See {Torus}.] 1. (Arch.) Same as {Torus}. [1913 Webster] 2. (Geom.) same as {torus}. [PJC] ‚Ķ   The Collaborative International Dictionary of English

  • T√∂re ‚ÄĒ is a village in Kalix municipality in Norrbotten, Sweden. Its harbour is the northernmost of the Bothnian Bay (and thus, of the Baltic Sea) that is accessible to commercial vessels. The European route E10 passes through T√∂re ‚Ķ   Wikipedia

  • Tore ‚ÄĒ m Scandinavian: from the Old Norse personal name ŠĻĖ√≥rir, apparently originally composed of the name of the god Thor (ŠĻĖ√≥rr) + Old Norse verr man. It has also been interpreted as a derivative form from ŠĻĖ√≥rr. As early as the Viking period, however,… ‚Ķ   First names dictionary

  • tore ‚ÄĒ past of TEAR ‚Ķ   Medical dictionary

  • -tore ‚ÄĒ (o sore) [lat. tor tŇćris, formato con la finale t del tema verbale di molti part. pass. e dal suff. or Ňćris¬†; dai temi del part. pass. terminanti in s √® derivata la var. sor sŇćris¬†; la forma femm. trice deriva dalla terminazione trix trńęcis,… ‚Ķ   Enciclopedia Italiana


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