Théorème de Clairaut (géométrie)

Le théorème de Clairaut en géométrie concerne des égalités d'aire entre parallélogrammes construits autour d'un triangle.

Enoncé

Théorème de Clairaut
  • Si ABC est un triangle
  • Si ABDE et ACFG sont des parallélogrammes extérieurs au triangle
  • Si (DE) et (FG) se coupent en O
  • Si, enfin, BCHI est un parallélogramme extérieur au triangle tel que [OA] et [CH] soient parallèles de même longueur

alors

  • L'aire du parallélogramme BCHI est égale à la somme des aires des deux autres parallélogrammes

Démonstration

Preuve

Il suffit de déformer les parallélogrammes sans modifier leur aire.

Puisque OF'CA, CHIB, BD'OA sont des parallélogrames,"[OA] et [CH] soient parallèles de même longueur" implique que [BD'], [IB], [QP], [HC] et [CF'] y sont également parallèles de même longueur.

aire(ABDE) =aire(ABD'O) (même base, même hauteur)
aire(ACFG) = aire(ACF'O)

Si la droite OA rencontre (BC) et (HI) en P et Q alors

aire(ABD'O) =aire(BIQP) (même base , même hauteur)
aire(ACF'O) = aire(CHQP)


Cas particulier

Clairaut et Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A, si ABDE et ACFG sont des carrés, alors BCHI est aussi un carré et il s'agit du théorème de Pythagore


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