Teleportation quantique

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Teleportation quantique

Téléportation quantique

Cet article fait partie de la série
MĂ©canique quantique
 \hat H | \psi\rangle = i\hbar\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}|\psi\rangle
Postulats de la mécanique quantique

Histoire de la mécanique quantique

La tĂ©lĂ©portation quantique est un protocole de communications quantiques consistant Ă  transfĂ©rer l’état quantique d’un systĂšme vers un autre systĂšme similaire et sĂ©parĂ© spatialement du premier en mettant Ă  profit l’intrication quantique. Contrairement Ă  ce que le nom laisse entendre, il ne s'agit donc pas de transfert de matiĂšre. Le terme de tĂ©lĂ©portation quantique est utilisĂ© pour souligner le fait que le processus est destructif : Ă  l'issue de la tĂ©lĂ©portation, le premier systĂšme ne sera plus dans le mĂȘme Ă©tat qu'initialement.

Avant d’aborder le protocole proprement dit, nous allons prĂ©ciser un certain nombre de notions Ă©lĂ©mentaires d’une nouvelle science en train de naĂźtre : l’information quantique.

Sommaire

Notion de qubit

Article dĂ©taillĂ© : Qubit.
SystÚme à deux niveaux non dégénérés.

Toute information numĂ©rique est encodĂ©e sous forme de mots binaires dont l’entitĂ© unique et indivisible est le bit (de l’anglais binary digit). Cette variable binaire ne peut prendre que deux Ă©tats distincts « 0 Â» et « 1 Â» correspondant par exemple Ă  la prĂ©sence ou non d’un signal Ă©lectrique, lumineux ou autre. En physique quantique, cette situation se gĂ©nĂ©ralise sans difficultĂ© Ă  l’aide d’un systĂšme Ă  deux niveaux : un niveau fondamental  \vert g\rangle et un niveau excitĂ©  \vert e\rangle sĂ©parĂ© du premier d’une Ă©nergie non nulle  \hbar\omega_{o} , oĂč ωo est par exemple la frĂ©quence de Bohr d’une certaine transition atomique que l’on sĂ©lectionne Ă  l’aide d’un laser asservi sur cette frĂ©quence. Naturellement, on identifiera l’état binaire « 0 Â» Ă  l’état fondamental du systĂšme Ă  2 niveaux et l’état binaire « 1 Â» Ă  l’état excitĂ© du systĂšme que l’on notera dĂ©sormais par les kets  \vert 0\rangle et  \vert 1\rangle . Ces deux Ă©tats constituent alors la base de l’espace de Hilbert du systĂšme, et l’état de ce dernier s’écrira de maniĂšre gĂ©nĂ©rale comme  \vert\psi\rangle = \alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle oĂč les paramĂštres complexes  \left(\alpha,\beta\right) vĂ©rifient la condition de normalisation  \vert\alpha\vert^{2}+\vert\beta\vert^{2}=1 . On appelle alors qubit (pour quantum binary digit) un tel systĂšme Ă  deux niveaux utilisĂ© comme brique Ă©lĂ©mentaire de la logique quantique. Etant donnĂ© l'arbitraire de phase d'un Ă©tat quantique  \vert\psi\rangle , on peut reprĂ©senter l'Ă©tat d'un qubit par un vecteur parcourant la sphĂšre de Bloch avec :

 \alpha = \cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}, \beta = e^{i\phi}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}.
SphĂšre de Bloch d'un qubit : les Ă©tats binaires classiques sont aux pĂŽles de la sphĂšre.

A la diffĂ©rence du bit classique, il est impossible de dĂ©terminer (de lire) l’état d’un qubit sans projeter ce dernier sur l’un des Ă©tats binaires classiques. Alors on peut penser qu’il suffit de multiplier un qubit afin d’en dĂ©terminer l’état par mesures rĂ©pĂ©tĂ©es sur les copies du qubit initial. Cependant, la possibilitĂ© d’une telle multiplication des copies du qubit est interdite par la physique quantique, elle fait mĂȘme l’objet d’un thĂ©orĂšme.

ThéorÚme de non clonage quantique

Article dĂ©taillĂ© : ImpossibilitĂ© du clonage quantique.

Afin de conserver les probabilitĂ©s, les opĂ©rations d’évolution en mĂ©canique quantique sont gĂ©nĂ©ralement unitaires, et on peut exiger d’une opĂ©ration de clonage  \widehat{U} d’un qubit  \vert\psi\rangle sur un autre qubit \vert\phi\rangle jouant le rĂŽle de support vierge d’ĂȘtre unitaire. Ainsi, cette opĂ©ration vĂ©rifiera pour un certain qubit  \vert\psi_{1}\rangle  :

 \widehat{U} \vert\psi_{1}\rangle \vert\phi\rangle \rightarrow \vert\psi_{1}\rangle \vert\psi_{1}\rangle  .

Or, cette opĂ©ration ne doit pas dĂ©pendre de l’état Ă  cloner et est valable pour un autre Ă©tat a priori diffĂ©rent du premier :

 \widehat{U} \vert\psi_{2}\rangle \vert\phi\rangle \rightarrow \vert\psi_{2}\rangle \vert\psi_{2}\rangle  .

Le calcul du recouvrement entre ces deux opĂ©rations conduit Ă  soit avoir deux Ă©tats identiques (trivial)  \vert\psi_{1}\rangle =\vert\psi_{2}\rangle  ou des Ă©tats orthogonaux \langle\psi_{1}\vert\psi_{2}\rangle = 0  . Finalement, on vĂ©rifie que l’on ne peut pas cloner une superposition linĂ©aire de deux Ă©tats incompatibles, ce qui est prĂ©cisĂ©ment le cas d’un qubit. On obtiendrait alors un Ă©tat intriquĂ© de la forme suivante :

 \widehat{U}\vert\psi\rangle\vert\phi\rangle\rightarrow\alpha\vert 0\rangle\vert 0\rangle +\beta\vert 1\rangle\vert 1\rangle

L'hypothĂšse d'unitaritĂ© n'est en fait pas essentielle puisqu'une opĂ©ration non unitaire impliquerait le mĂȘme rĂ©sultat.

Quelques portes de logiques quantiques

Une derniĂšre Ă©tape est nĂ©cessaire avant d’aborder le protocole de tĂ©lĂ©portation quantique. Il s’agit d’introduire les portes de logiques quantiques qui vont nous permettre de rĂ©aliser cette tĂ©lĂ©portation. En effet, la manipulation d’un qubit doit se faire par des opĂ©rations unitaires pour les raisons Ă©voquĂ©es prĂ©cĂ©demment. Ainsi, l’opĂ©ration logique associĂ©e Ă  l’application d’une fonction  f\left(x\right) de la variable binaire x notĂ©e  \widehat{U}_{f} est dĂ©finie par :

 \widehat{U}_{f}\vert x,y\rangle = \vert x, y\oplus f\left(x\right)\rangle

oĂč x et y dĂ©signent respectivement les registres d’entrĂ©e et de sortie qui permettent effectivement d’avoir une opĂ©ration unitaire puisque l’on vĂ©rifie facilement que  \widehat{U}_{f}^{2}= I , sachant que  \oplus dĂ©signe ici l’addition modulo 2 ("OU exclusif").

Citons enfin quelques exemples de portes. La porte cNOT (pour Control NOT) définie par

 cNOT : \left(x,y\right)\rightarrow \left(x,y\oplus x\right) ,

et la porte d’Hadamard Hd dont l’action est la suivante

 H_{d}\vert x=0,1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\vert 0\rangle + \left(-1\right)^{x}\vert 1\rangle\right].

Protocole de téléportation quantique

Nous arrivons enfin au vif du sujet Ă  savoir le principe de la tĂ©lĂ©portation quantique. Il est de tradition d’appeler les protagonistes d’un scĂ©nario de communication Alice et Bob. Alice dispose d’un qubit  \vert\psi_{A}\rangle qu’elle souhaite transmettre Ă  Bob. Elle dispose pour cela de deux canaux. Un canal classique et un canal quantique dit EPR, en rĂ©fĂ©rence au paradoxe Einstein-Podolsky–Rosen [1]. On prĂ©cisera ultĂ©rieurement le sens d’une telle dĂ©nomination lorsque l’on prĂ©sentera la tĂ©lĂ©portation quantique dans le rĂ©gime des variables continues. À ce stade, il suffit amplement de dire qu’il s’agit d’un canal composĂ© de deux qubits maximalement intriquĂ©s, et dont l’état s’écrit :

 \vert\phi^{+}_{AB}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\vert 0_{A}0_{B}\rangle + \vert 1_{A}1_{B}\rangle \right] \neq \vert\phi_{A}\rangle\otimes\vert\phi_{B}\rangle .

En effet, pour un tel Ă©tat, il est impossible de factoriser l’état de la paire de qubits sous la forme d’un produit tensoriel. Cette insĂ©parabilitĂ© se traduit par de trĂšs fortes corrĂ©lations sur les rĂ©sultats de mesure qu’il est impossible d’expliquer par des modĂšles classiques. On peut regarder Ă  ce propos l’article sur l'expĂ©rience d'Aspect.

Alice qui souhaite communiquer Ă  Bob l’état de son qubit sans ĂȘtre importunĂ©e par les indiscrĂ©tions d’Eve, applique Ă  son qubit  \vert\psi_{1}\rangle et au qubit de la part intriquĂ© l’algorithme quantique suivant :

A) L’état initial du qubit d’Alice et de la paire intriquĂ©e s’écrit

 \vert initial \rangle = \vert\psi_{1}\rangle \otimes \vert\phi^{+}_{AB}\rangle .

B) On fait interagir le qubit d’Alice avec le qubit EPR qu’elle dĂ©tient via une porte cNOT dont le qubit de contrĂŽle est le qubit d’Alice  \vert\psi_{A}\rangle . L’état intermĂ©diaire se met alors sous la forme suivante :

 \vert inter. \rangle =\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\vert 0_{A}\rangle\left[\vert 0_{A}0_{B}\rangle + \vert 1_{A}1_{B}\rangle\right]+\frac{\beta}{\sqrt{2}}\vert 1_{A}\rangle\left[\vert 1_{A}0_{B}\rangle + \vert 0_{A}1_{B}\rangle\right]

C) Ensuite, Alice fait subir Ă  son qubit une opĂ©ration d'Hadamard Hd qui donne le rĂ©sultat final :

 \begin{matrix}
\left\vert final \right\rangle
& = & \frac{1}{2} \left\vert 0_A0_A \right\rangle \left( \alpha \left\vert 0_B \right\rangle + \beta  \left\vert 1_B \right\rangle \right) \\
& + & \frac{1}{2} \left\vert 0_A1_A \right\rangle \left( \beta  \left\vert 0_B \right\rangle + \alpha \left\vert 1_B \right\rangle \right) \\
& + & \frac{1}{2} \left\vert 1_A0_A \right\rangle \left( \alpha \left\vert 0_B \right\rangle - \beta  \left\vert 1_B \right\rangle \right) \\
& - & \frac{1}{2} \left\vert 1_A1_A \right\rangle \left( \beta  \left\vert 0_B \right\rangle - \alpha \left\vert 1_B \right\rangle \right)
\end{matrix}

On constate alors que l’état du qubit d’Alice est tĂ©lĂ©portĂ© sur le qubit de Bob dans 25 % des cas lorsque Alice mesure pour ces deux qubits les Ă©tats binaires 0. Dans les autres cas, Alice doit transmettre Ă  Bob le rĂ©sultat de ces mesures, appelĂ©es mesures de Bell, afin que ce dernier puisse finaliser la tĂ©lĂ©portation. La thĂ©orie de la relativitĂ© restreinte d’Einstein n’est donc pas violĂ©e puisque la communication des rĂ©sultats des mesures de Bell se fait par un canal classique. En effet, on montre sans difficultĂ© que les Ă©tats de Bob correspondant Ă  chaque possibilitĂ© sont identiques Ă  l’état du qubit d’Alice Ă  une opĂ©ration unitaire prĂšs. Par exemple, lorsque Alice projette ces deux qubits sur l’état  \vert 0_{A}1_{A}\rangle l’état de Bob se retrouve alors dans l’état  \sigma_{x}\vert\psi_{A}\rangle , oĂč σx dĂ©signe une des matrices de Pauli sur laquelle il est possible de dĂ©composer tout opĂ©rateur hermitien (c'est-Ă -dire qu'une observable physique est reprĂ©sentĂ©e en physique quantique par un opĂ©rateur hermitien garantissant ainsi des valeurs propres rĂ©elles qui sont les grandeurs mesurables). Enfin, il faut souligner que le thĂ©orĂšme de non-clonage quantique est respectĂ© puisque le qubit d’Alice est complĂštement rĂ©duit lors des opĂ©rations et des mesures d’Alice. Ce schĂ©ma a Ă©tĂ© proposĂ© en 1993 par Charles Bennett[2] (alors chez IBM) sous une autre forme plus gĂ©nĂ©rale consistant Ă  projeter les EPR et qubits Ă  tĂ©lĂ©porter sur des Ă©tats intriquĂ©s appelĂ©s Ă©tats de Bell.

PremiÚres réalisations expérimentales

L’une des premiĂšres rĂ©alisations expĂ©rimentales de la tĂ©lĂ©portation quantique en variables discrĂštes a Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©e par l'Ă©quipe de Anton Zeilinger en 1997 [3]. Une paire de photons intriquĂ©s est crĂ©Ă©e par conversion paramĂ©trique spontanĂ©e et dĂ©gĂ©nĂ©rĂ©e en frĂ©quence dans un cristal non linĂ©aire χ(2). Il s'agit d'une conversion de type II puisque l’accord de phase est assurĂ© par birĂ©fringence. L’impulsion de pompage est polarisĂ©e parallĂšlement Ă  l’axe extraordinaire. Les photons signal et complĂ©mentaire sont alors Ă©mis suivant des polarisations orthogonales suivant deux cĂŽnes de fluorescence paramĂ©trique. L’intersection de ces deux cĂŽnes conduit Ă  des photons intriquĂ©s en polarisation qui sont en fait dans un Ă©tat antisymĂ©trique de Bell :

 \vert\psi_{23}^{-}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\vert h\rangle_{2}\vert v\rangle_{3}-\vert v\rangle_{2}\vert h\rangle_{3}\right] ,

oĂč h et v dĂ©signent respectivement les Ă©tats de polarisation horizontale et verticale. Le but de l’expĂ©rience est alors de projeter le photon Ă  tĂ©lĂ©porter et le photon intriquĂ© sur ce mĂȘme Ă©tat de Bell antisymĂ©trique par des mesures de coĂŻncidence Ă  l’issue d’une lame sĂ©paratrice 50/50. En effet, les deux dĂ©tecteurs de part et d’autre de la lame cliquent en mĂȘme temps lorsque les deux photons sont soit simultanĂ©ment transmis, soit simultanĂ©ment rĂ©flĂ©chis. On montre alors que les photons peuvent ĂȘtre dans un Ă©tat intriquĂ© de la forme  \vert\psi_{12}^{-}\rangle , ce qui suffit Ă  assurer la tĂ©lĂ©portation puisque :

 \vert\psi_{12}^{-}\rangle\langle\psi_{12}^{-}\vert\times\vert\psi_{1}\rangle\otimes\vert\psi_{23}^{-}\rangle = -\frac{1}{2}\vert\psi_{12}^{-}\rangle\otimes\vert\psi_{1}\rangle_{3}.

Le qubit de Bob se retrouve bien dans l’état du qubit d’Alice  \vert\psi_{1}\rangle dans 25 % des cas. On doit le vĂ©rifier en plaçant un cube sĂ©parateur de polarisation orientĂ© Ă  +/- 45 ° par rapport aux Ă©tats de polarisations verticales et horizontales. Il y a tĂ©lĂ©portation pour la triple coĂŻncidence Ă  l’issue de la lame sĂ©paratrice d’Alice et sur la voie adĂ©quate du cube de Bob[4].

Téléportation quantique en variables continues

Aujourd’hui, ce protocole est implĂ©mentĂ© en optique quantique dans le rĂ©gime des variables dites continues par opposition au rĂ©gime des variables discrĂštes abordĂ© prĂ©cĂ©demment qui se caractĂ©rise entre autres par le comptage des photons. En effet, dans le rĂ©gime des variables continues, on ne peut plus distinguer les photons individuellement : ils arrivent par « bouffĂ©es Â» contenant un trĂšs grand nombre de photons  \thicksim 10^{23} rendant l’approche par comptage complĂštement inimaginable !

La premiĂšre rĂ©alisation expĂ©rimentale d’une telle tĂ©lĂ©portation a Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©e par l’équipe de H. J. Kimble au Caltech aux États-Unis par Akira Furusawa en 1998 [5].

Avant d’aborder le principe de cette expĂ©rience qui, aujourd’hui est devenue routiniĂšre en optique quantique, il est utile de prĂ©ciser quelques notions liĂ©es aux variables continues.

Expression d’un champ Ă©lectrique monomode

Un champ Ă©lectrique monomode s’écrit de maniĂšre classique comme :

 E\left(t\right) = A \cos{\left(\omega t + \phi\right)} = E_{p}\cos{\left(\omega t\right)} + E_{q}\sin{\left(\omega t\right)},

qui est la décomposition usuelle du champ électrique dans le plan de Fresnel.

La procĂ©dure de quantification canonique conduit Ă  associer au champ Ă©lectrique l’opĂ©rateur suivant :

 \widehat{E}\left(t\right) = E_{o}\left\lbrace\widehat{a}e^{-i\omega t}+\widehat{a}^{\dagger}e^{i\omega t}\right\rbrace

oĂč les opĂ©rateurs  \widehat{a} et  \widehat{a}^{\dagger} dĂ©signe respectivement les opĂ©rateurs d'annihilation et de crĂ©ations d'une excitation Ă©lĂ©mentaire d'Ă©nergie  \hbar\omega  : le photon. Ils obĂ©issent Ă  la rĂšgle de commutation d’un oscillateur harmonique  \left[\widehat{a},\widehat{a}^{\dagger}\right] = 1 .

La constante  E_{o}=\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\epsilon_{o}V}} correspond au champ électrique associé à un seul photon dans une cavité cubique dont le volume de quantification est V.

Opérateurs de quadrature

Ces opĂ©rateurs sont dĂ©finis par analogie aux opĂ©rateurs de position et d’impulsion d’un oscillateur harmonique rĂ©gi par les opĂ©rateurs de crĂ©ation et d’annihilation introduit prĂ©cĂ©demment. Ils seront dĂ©finis de maniĂšre gĂ©nĂ©rale, en tenant compte d’une Ă©ventuelle rotation d’angle Ξ dans le plan de Fresnel, comme :

 \widehat{p}_{\theta} = \widehat{a}e^{-i\theta} + \widehat{a}^{\dagger}e^{i\theta}, \widehat{q}_{\theta} = \widehat{p}_{\theta + \frac{\pi}{2}}

Pour le cas particuliers Ξ = φ, ces opĂ©rateurs correspondent respectivement aux quadratures d’amplitude et de phase du champ. Ainsi, leurs variances caractĂ©risent respectivement les fluctuations d’amplitude et de phase. De plus, il est facile de vĂ©rifier que ces opĂ©rateurs ne commutent pas puisque

 \left[\widehat{p}_{\theta},\widehat{q}_{\theta} \right] = 2i .

On en dĂ©duit alors l'inĂ©galitĂ© d’Heisenberg suivante :

 V\left(\widehat{p}_{\theta}\right) V\left(\widehat{q}_{\theta}\right) \geq 1 ,

qui est trĂšs souvent employĂ©e sous la forme :

 \Delta N \Delta\phi\geq 1.

Autrement dit, lorsque l’on mesure avec prĂ©cision le nombre de photons d’un faisceau, on brouille complĂštement la phase de ce dernier, et rĂ©ciproquement.

Limite quantique standard et états cohérents du champ

L’opĂ©rateur d’annihilation  \widehat{a} a pour vecteur propre :

 \vert\alpha\rangle = e^{\frac{-\vert\alpha\vert^{2}}{2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\, \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}\vert n\rangle

oĂč α dĂ©signe un nombre complexe liĂ© Ă  l’amplitude A et Ă  la phase φ du champ par α = Aeiφ.

Or, l’action des opĂ©rateurs de crĂ©ation et d’annihilation sur les Ă©tats de Fock (i.e. Ă©tat nombre de photon oĂč il y a exactement n photons dans le mode considĂ©rĂ©)  \vert n\rangle donne :

 \widehat{a}\vert n\rangle = \sqrt{n}\vert n-1\rangle, \widehat{a}^{\dagger}\vert n\rangle = \sqrt{n+1}\vert n+1\rangle .

On vĂ©rifie alors facilement que :

 \widehat{a}\vert\alpha\rangle = \alpha \vert\alpha\rangle.

Il est Ă©galement utile de remarquer qu’un tel Ă©tat cohĂ©rent du champ peut s’exprimer Ă  partir de l’état vide de photons  \vert 0\rangle Ă  l’aide d’un opĂ©rateur dĂ©placement

 \widehat{D}\left(\alpha\right) = e^{\alpha\widehat{a}^{\dagger}-\alpha^{*}\widehat{a}}.

L’état cohĂ©rent, ou Ă©tat quasi-classique de Glauber, s’écrira comme :

 \vert\alpha\rangle = \widehat{D}\left(\alpha\right) \vert 0\rangle .

Ainsi, l’état vide de photons est un Ă©tat cohĂ©rent dont la valeur moyenne de photons est nulle. Les fluctuations de cet Ă©tat en amplitude et en phase dĂ©finissent la limite quantique standard par rapport Ă  laquelle on repĂšre toute variance de bruit,

 \Delta\widehat{p}_{\theta}= \Delta\widehat{q}_{\theta}=1

On voit bien qu’un Ă©tat cohĂ©rent est affectĂ© par des fluctuations qui sont identiques Ă  celle du vide, puisqu’un Ă©tat cohĂ©rent brillant n’est rien d’autres que l’état du vide dĂ©placĂ© dans le plan de Fresnel que l’on appelle aussi espace des phases.

Enfin, si l’on se rappelle l’inĂ©galitĂ© d’Heisenberg qui contraint la mesure des quadratures d’amplitude et de phase, on constate qu’elle n’impose rien sur les variances individuelles. Il devient donc possible d’imaginer des faisceaux dont les fluctuations peuvent ĂȘtre « comprimĂ©s Â» selon l’une ou l’autre des quadratures. Il s’agit des Ă©tats comprimĂ©s du rayonnement qui prennent une place importante dans les expĂ©riences d’optique quantique.

Compression et Intrication de faisceaux

Dans cette section, nous allons Ă©tablir le lien trĂšs simple existant entre la compression de deux faisceaux et l’intrication de ces derniers. Pour celĂ , on considĂšre deux faisceaux comprimĂ©s en amplitude selon des quadratures orthogonales en incidence sur une lame sĂ©paratrice 50/50 (SP). On notera A1 et A2 ces faisceaux incidents, et Aa et Ab les faisceaux Ă©mergents. La relation d'entrĂ©e sortie de la lame sĂ©paratrice donne :

 A_{1}= \frac{A_{a}+A_{b}}{\sqrt{2}}, A_{2}= \frac{A_{a}-A_{b}}{\sqrt{2}}

Si les faisceaux incidents sont comprimĂ©s de maniĂšre adĂ©quate, on trouve en termes des variances :

 V\left(q_{1}\right)= \frac{V\left(q_{a}+q_{b}\right)}{2}, V\left(p_{2}\right)= \frac{V\left(p_{a}-p_{b}\right)}{2}

Dans le cas d'une compression en amplitude maximale (V\left(q_{1},p_{2}\right)\rightarrow 0 ), on obtient deux faisceaux parfaitement corrĂ©lĂ©s en amplitude et anti-corrĂ©lĂ©s en phase. Il s’agit en fait de faisceaux EPR puisqu’une mesure sur l’un des faisceaux permet de dĂ©terminer l’état de l’autre mĂȘme s'il est sĂ©parĂ© spatialement du premier.

Enfin, il existe deux méthodes remarquables pour produire des états comprimés. Il s'agit de l'effet Kerr et de l'amplification paramétrique. Dans le premier cas, l'effet Kerr modifie la forme du disque des fluctuations du vide en une ellipse oblique globalement comprimée en amplitude. Pour l'amplification paramétrique, la configuration la plus efficace est de se placer sous le seuil d'oscillation (i.e. les pertes de la cavité ne sont plus compensées par la pompe) et en dégénerescence de fréquence. On obtient alors du vide comprimé en sortie.

Réalisation expérimentale d'une téléportation quantique bipartite

Nous allons maintenant aborder le principe de la téléportation quantique en variables continues comme l'illustre la figure.

Alice reçoit un faisceau d'amplitude complexe αin = xin + ipin dont elle souhaite transfĂ©rer Ă  Bob l'Ă©tat des quadratures x et p sans ajout de bruit. Pour celĂ , elle combine le faisceau Ă  tĂ©lĂ©porter sur une lame sĂ©paratrice 50/50 (SP) avec un des faisceaux intriquĂ©s (1). Alice mesure les quadratures de phase x et d'amplitude p (Ă  l'aide de dĂ©tection homodyne) Ă  la sortie de la sĂ©paratrice (SP) :

x=\frac{x_{in}+x_{1}}{\sqrt{2}}=g_{x}i_{x}, p= \frac{p_{in}-p_{1}}{\sqrt{2}}=g_{p}i_{p}

Ces rĂ©sultats sont ensuite transmis Ă  Bob par l'intermĂ©diaire de canaux classiques, ici des courants Ă©lectriques directement proportionnels aux rĂ©sultats des mesures. Bob effectue alors des modulations de phase (MP) et d'amplitude (MA), Ă  l'aide de modulateurs Ă©lectro-optiques notamment, sur un faisceau annexe qu'il a en sa disposition au prĂ©alable. Il combine ce faisceau modulĂ© Ă  l'autre faisceau intriquĂ© (2) Ă  l'aide d'un miroir de trĂšs forte reflectivitĂ© (99 %). Bob dispose donc d'un faisceau de sortie dont l'amplitude complexe s'Ă©crira :

 \alpha_{out} = \alpha_{2}+\sqrt{2}\left(g_{x}i_{x}+ig_{p}i_{p}\right)=\alpha_{in}+\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(p_{2}-p_{1}\right)

Enfin, si les faisceaux (1) et (2) sont parfaitement intriquĂ©s :

 V\left(x_{1}+x_{2}\right),  V\left(p_{1}-p_{2}\right)\rightarrow 0 ,

le faisceau de sortie se retrouve exactement dans l'Ă©tat du faisceau d'entrĂ©e :

 \vert\alpha_{out}\rangle = \vert\alpha_{in}\rangle

On parle alors de téléportation quantique des quadratures du champ.

CritÚre de Téléportation Quantique

Il est nĂ©cessaire d'introduire un critĂšre pour juger de la qualitĂ© d'une tĂ©lĂ©portation. Il s'agit de la fidĂ©litĂ© F dĂ©finie par :

 F=\langle\psi_{in}\vert\widehat{\rho}_{out}\vert\psi_{in}\rangle \leqslant 1

oĂč  \widehat{\rho}_{out} dĂ©signe la matrice densitĂ© caractĂ©risant l'Ă©tat tĂ©lĂ©portĂ©. On montre[6] que la fidelitĂ© de la tĂ©lĂ©portation est donnĂ©e par :

 F=\frac{2}{\sqrt{\left(2+V\left(x_{1}+x_{2}\right)\right)\left(2+V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right)}}

On constate que si l'on remplace les faisceaux EPR par des Ă©tats cohĂ©rents, la fidĂ©litĂ© atteint Ă  peine 1/2 qui fixe la limite entre la tĂ©lĂ©portation classique utilisant des corrĂ©lations classiques et la tĂ©lĂ©portation quantique oĂč le recours Ă  l'intrication quantique est indispensable. D'autre part, une fidĂ©litĂ© supĂ©rieure Ă  2/3 garantie l'unicitĂ© de la copie de Bob : aucune autre meilleure copie ne peut exister ! Il s'agit en fait d'une consĂ©quence du thĂ©orĂšme de non clonage quantique[7] qui est Ă  la base de la sĂ©curitĂ© de ce genre de protocole de communication quantique.

Enfin, la premiÚre tentative de A. Zeilinger ne constitue pas vraiment une téléportation quantique comme l'ont remarqué H. J. Kimble et al dans un commentaire[8] de l'article initial. En effet, le calcul de la fidélité de cette téléportation conduit à une valeur de 1/2, ce qui ne correspond pas à une téléportation quantique. Il existe également une réponse des autrichiens à ce commentaire.

Vers les rĂ©seaux de communications quantiques : TĂ©lĂ©portation quantique tripartite

Fichier:Teleportation GHZ.jpg
Principe de la téléportation quantique tripartite.

Dans cette configuration, trois protagonistes interviennent : Alice, Bob et Claire. Ils partagent trois faisceaux intriquĂ©s 1, 2 et 3 dans un Ă©tat dit de Greenberger - Horne - Zeilinger (GHZ). Ce canal se caractĂ©rise par les valeurs propres suivantes :

 p_{1}+p_{2}+p_{3}=0,\, x_{1}-x_{2}=0

pour les mĂȘmes combinaisons des opĂ©rateurs de quadratures.

On montre de la mĂȘme maniĂšre que prĂ©cĂ©demment que cet Ă©tat intriquĂ© permet d'avoir une tĂ©lĂ©portation quantique entre Alice et Bob sous le contrĂŽle de Claire[9]. Ainsi, lorsque le gain de la transmission entre Bob et Claire est nul, la tĂ©lĂ©portation est strictement classique et se retrouve mĂȘme dĂ©gradĂ©e par rapport Ă  la fidĂ©litĂ© limite de 1/2 caractĂ©risant la frontiĂšre entre la limite classique et quantique oĂč l'intrication devient indispensable.

Ce type de tĂ©lĂ©portation quantique peut ĂȘtre trĂšs intĂ©ressant en cryptologie quantique puisque Claire contrĂŽle le transfert de l'information quantique entre Alice et Bob.

Conclusions et perspectives

Actuellement, on s'attache Ă  produire et Ă  tĂ©lĂ©porter le plus fidĂšlement possible des Ă©tats fortement non classiques comme des superpositions d'Ă©tats cohĂ©rents incompatibles : "chats de Schrödinger"  \vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\vert\alpha\rangle + \vert -\alpha\rangle\right] ou des Ă©tats intriquĂ©s. Dans ce dernier cas, on parle de "entanglement swapping" pouvant atteindre des fidĂ©litĂ©s de l'ordre de 0.75 [10] surpassant ainsi la valeur seuil de 2/3 liĂ©e au thĂ©orĂšme de non clonage quantique. Enfin, le protocole de tĂ©lĂ©portation quantique s'inscrit dans une perspective plus ambitieuse consistant Ă  la mise en Ɠuvre de rĂ©seaux de communication quantique dans lesquelles on transfere l'Ă©tat d'un systĂšme quantique fragile sur une mĂ©moire quantique plus robuste vis Ă  vis de la dĂ©cohĂ©rence[11]. D'intenses recherches se concentrent donc sur la rĂ©alisation de ces relais quantiques mais Ă©galement sur les possibilitĂ©s d'augmenter ou de distiller l'intrication de canaux EPR qui sont inĂ©vitablement soumis Ă  des pertes en lignes. À partir de plusieurs canaux EPR affaiblis que l'on distille, on obtient un plus petit nombre de canaux plus fortement intriquĂ©s, rendant la tĂ©lĂ©portation quantique plus efficace et plus sĂ»re[12],[rĂ©f. souhaitĂ©e].

Références

  • ThĂ©orie :
    • C. H. Bennett, G. Brassard, C. CrĂ©peau, R. Jozsa, A. Peres, & W. K. Wootters, Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels, Phys. Rev. Lett. 70 1895-1899 (1993) (document en ligne)
    • G. Brassard, S Braunstein, R Cleve, Teleportation as a quantum computation, Physica D 120 43-47 (1998)
    • G. Rigolin, Quantum teleportation of an arbitrary two qubit state and its relation to multipartite entanglement, Phys. Rev. A 71 032303 (2005) (document en ligne)
    • A. DĂ­az-Caro, On the Teleportation of N-qubit States, arXiv quant-ph/0505009 (2005) (document en ligne)
  • PremiĂšres expĂ©rimentations avec des photons :
    • D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter, & A. Zeilinger, Experimental quantum teleportation, Nature 390, 6660, 575-579 (1997).
    • D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy, & S. Popescu, Experimental realization of teleporting an unknown pure quantum state via dual classical an Einstein-Podolsky-Rosen channels, Phys. Rev. Lett. 80, 6, 1121-1125 (1998);
  • PremiĂšres expĂ©rimentations avec des atomes :
    • M. Riebe, H. HĂ€ffner, C. F. Roos, W. HĂ€nsel, J. Benhelm, G. P. T. Lancaster, T. W. Körber, C. Becher, F. Schmidt-Kaler, D. F. V. James, R. Blatt: Deterministic quantum teleportation with atoms, Nature 429, 734 - 737 (2004)
    • M. D. Barrett, J. Chiaverini, T. Schaetz, J. Britton, W. M. Itano, J. D. Jost, E. Knill, C. Langer, D. Leibfried, R. Ozeri & D. J. Wineland: Deterministic quantum teleportation of atomic qubits, Nature 429, 737

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

(en) Téléportation quantique à IBM (fr) Téléportation & explication d'une source à photons uniques au GAP (Université de GenÚve, Switzerland)

Notes

  1. ↑ A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete ?.Phys. Rev. 41, 777 (1935)
  2. ↑ C. H. Bennett et al. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and EPR channels. Phys. Rev. Lett. 70, 1895–1899 (1993)
  3. ↑ Anton Zeilinger. et al. Experimental quantum teleportation. Nature 390, 575–579 (1997)
  4. ↑ Soutenance d'un projet bibliographique de Taoufik AMRI dont cet article s'inspire fortement, Fichier pdf (3.33 Mo)
  5. ↑ A. Furusawa, H.J. Kimble et al.. Unconditional quantum teleportation. Science 282, 706–709 (1998)
  6. ↑ Soutenance d'un projet bibliographique de Taoufik AMRI dont cet article s'inspire fortement, Fichier pdf (3.33 Mo)
  7. ↑ F. Grosshans, P. Grangier. No-cloning theorem and teleportation criteria for quantum continuous variables. Phys. Rev. A 64, 010301 (2001), [1]
  8. ↑ H. J. Kimble et al., A posteriori teleportation, arXiv:quant-ph/9810001v1
  9. ↑ H. Yonezawa, T. Aoki, and A. Furusawa, Demonstration of a quantum teleportation network for continuous variables. Nature 431(2004)
  10. ↑ H. Yonezawa, A. Furusawa et al. Phys. Rev. Lett. 99, 110503 (2007)
  11. ↑ cf. A. Dantan, N. Treps, A. Bramati and M. Pinard. Teleportation of an atomic ensemble quantum state. Phys. Rev. Lett. 94, 050502 (2005)]
  12. ↑ En effet, une intrication plus forte implique une fidĂ©litĂ© de tĂ©lĂ©portation plus grande, et si cette derniĂšre dĂ©passe la valeur seuil de 2/3, alors le thĂ©orĂšme de non clonage quantique garantie que l'Ă©tat tĂ©lĂ©portĂ© est unique.(2007)
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