Systeme binaire

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Systeme binaire

Système binaire

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Exemple d'informations binaires

Le syst√®me binaire est un syst√®me de num√©ration utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit ¬ę chiffre binaire ¬Ľ) les chiffres de la num√©ration binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, not√©es par convention 0 et 1.

C'est un concept essentiel de l'informatique. En effet, les processeurs des ordinateurs sont compos√©s de millions de transistors (imprim√©s sur un circuit √©lectronique) qui chacun ne g√®re que des bits 0 (¬ę le courant ne passe pas ¬Ľ) et 1 (¬ę le courant passe ¬Ľ).

Un calcul informatique n'est donc qu'une suite d'opérations sur des paquets de 0 et de 1, appelés octets lorsqu'ils sont regroupés par 8.

Sommaire

Conversions

Le codage le plus courant est l'équivalent en base deux de la numération de position que nous utilisons quotidiennement en base 10.

√Čnum√©ration des premiers nombres

Les premiers nombres s'√©crivent :

décimal  binaire
   0       0000
   1       0001
   2       0010
   3       0011
   4       0100
   5       0101

(Sachant que les colonnes binaires correspondent respectivement à 8,4,2 et 1)

On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant les tables d'additions suivantes:

 0+0=0    0+1=1    1+0=1   1+1=10

ainsi:

   11
+   1
 ====
  100

D√©tail :

1 + 1 = 10           => on pose 0, et retient 1
1 + 1(retenue) = 10  => on pose 0, et retient 1
0 + 1(retenue) = 1   =>         1

L'arithm√©tique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilis√© par les syst√®mes √©lectroniques les plus courants (calculatrices, ordinateurs, etc.) car le niveau de tension peut servir √† repr√©senter les deux chiffres 0 et 1 ; 0 repr√©sentant l'√©tat bas et 1 l'√©tat haut.

Tout nombre peut s'√©crire en binaire, c'est-√†-dire qu'il se d√©compose en somme de puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.), par exemple 35 se d√©compose en :

(1 * 25) + (0 * 24) + (0 * 23) + (0 * 22) + (1 * 21) + (1 * 20) = 32 + 2 + 1 = 35

donc le nombre décimal 35 se note 100011 en binaire.

Expression d'un nombre

Un nombre d√©cimal √† plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :

1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100

Sa repr√©sentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la m√™me fa√ßon :

1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1 * 26 + 1 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20

Représentation des entiers positifs

Pour trouver la repr√©sentation binaire d'un nombre, on le d√©compose en somme de puissances de 2. Par exemple avec le nombre dont la repr√©sentation d√©cimale est 59 :

  59 = 1√ó32 + 1√ó16 + 1√ó8 + 0√ó4 + 1√ó2 + 1√ó1
  59 = 1×25 + 1×24 + 1×2³ + 0×2² + 1×21 + 1×20
  59 = 111011 en binaire

Avec N bits, ce système permet de représenter les nombres entre 0 et 2N-1. Il est donc possible de compter sur ses dix doigts jusqu'à 1023 (210-1) en binaire. Il suffit d'affecter à chaque doigt une valeur binaire (pouvant être représenté par un doigt plié).

Doigt                  Main            Puis. Valeur en
                                       de 2  numération
                                             décimale
Auriculaire   de la main droite levé   2^0        1
Annulaire                ¬Ľ             2^1   +    2
Majeur                   ¬Ľ             2^2   +    4
Index                    ¬Ľ             2^3   +    8
Pouce                    ¬Ľ             2^4   +   16
Pouce         de la main gauche levé   2^5   +   32
Index                    ¬Ľ             2^6   +   64
Majeur                   ¬Ľ             2^7   +  128
Annulaire                ¬Ľ             2^8   +  256
Auriculaire              ¬Ľ             2^9   +  512
                                            -------
                                      Somme  =1 023

(Pour mémoire                          2^10  =1 024)

Ceci confirme la formule

2^10-1=1 024-1
      =1 023

On remarque qu'avec 10 doigts on peut prendre en compte les 10 premières puissances de 2 s'échelonnant de 2^0 à 2^9 c'est-à-dire la somme des 10 premières puissances de 2.

Représentation des entiers négatifs

Pour compl√©ter la repr√©sentation des entiers, il faut pouvoir √©crire des entiers n√©gatifs. On ajoute pour cela √† la repr√©sentation un bit de signe, plac√© en t√™te. Un bit de signe nul indique une valeur positive, un bit de signe positionn√© √† 1 est une valeur n√©gative. Cette r√®gle permet de rester coh√©rent avec le syst√®me de repr√©sentation des entiers positifs : il suffit d'ajouter un 0 en t√™te de chaque valeur.

Complément à un

Ce codage, fort simple, consiste à complémenter la valeur de chaque bit composant une valeur binaire.

Par exemple, pour obtenir -5 :

0101 valeur décimale 5
1010 complément à un

Le souci avec un tel système est qu'il y a toujours deux représentations de la valeur 0 pour un nombre de bit donné.

Article d√©taill√© : Compl√©ment √† un.
Complément à deux

Afin de pallier ce défaut, on a introduit la représentation par complément à deux. Celle-ci consiste à réaliser un complément à un de la valeur, puis d'ajouter 1 au résultat.

Par exemple pour obtenir -5:

0101 codage de 5 en binaire
1010 complément à un
1011 on ajoute 1 : représentation de -5 en complément à deux

Ce codage a l'avantage de ne pas n√©cessiter de diff√©renciation sp√©ciale des nombres positifs et n√©gatifs, et √©vite en particulier le probl√®me d'ordinateurs anciens (Control Data 6600) qui avaient un ¬ę +0 ¬Ľ et un ¬ę -0 ¬Ľ dont il fallait faire comprendre aux circuits de tests que c'√©tait le m√™me nombre ! Voici une addition de -5 et +7 r√©alis√©e en compl√©ment √† deux sur 4 bits :

-5        1011 
+7        0111
__        ____
 2    (1) 0010     (on 'ignore' la retenue)   

Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre -2n-1 et 2n-1-1.

Article d√©taill√© : Compl√©ment √† deux.

Du système décimal vers le système binaire

Pour d√©velopper l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 √©crit en base d√©cimale provient de la somme de nombres ci-apr√®s √©crits en base d√©cimale. √Ä dire vrai, pour proposer une m√©thode plus simple √† comprendre, il faut trouver la puissance de 2 la plus grande possible inf√©rieure ou √©gale au nombre de d√©part. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche √† nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).

  • 1. RO = RM1+Rr1
  • 2. Rr1 = RM2+Rr2
  • 3. Rr2 = RM3+Rr3

...

 32 768  1 fois  32 768  on fait 2 multiplié 14 fois par lui-même soit 215
+     0  0 fois  16 384  on fait 2 multiplié 13 fois par lui-même soit 214
+ 8 192  1 fois   8 192         idem         12      idem              213
+ 4 096  1 fois   4 096         idem         11      idem              212
+     0  0 fois   2 048         idem         10      idem              211
+     0  0 fois   1 024         idem          9      idem              210
+   512  1 fois     512         idem          8      idem              29
+   256  1 fois     256         idem          7      idem              28
+     0  0 fois     128         idem          6      idem              27
+     0  0 fois      64         idem          5      idem              26
+     0  0 fois      32         idem          4      idem              25
+    16  1 fois      16         idem          3      idem              24
+     8  1 fois       8         idem          2      idem              23
+     4  1 fois       4         idem          1      idem              22
+     0  0 fois       2         idem          0      idem              21 = 2
+     1  1 fois       1                                                 20 = 1
=45 853

Soit √©crit en syst√®me positionnel et en num√©ration d√©cimale (en √©crivant les puissances de 2) :

45 853 = 1√ó215 + 0√ó214 + 1√ó213 + 1√ó212 + 0√ó211 + 0√ó210 + 1√ó29  + 1√ó28  + 
         0√ó27  + 0√ó26  + 0√ó25  + 1√ó24  + 1√ó23  + 1√ó22  + 0√ó21  + 1√ó20

Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2

45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits pour aérer la lecture).

Ce nombre nécessite 16 bits pour son écriture (il est compris entre 215 et 216). L'autre méthode pour convertir un nombre décimal en base 2 est d'utiliser des successions de divisions par le nombre 2. Ainsi, on a:

45853 / 2 = 22926 reste 1
22926 / 2 = 11463 reste 0
11463 / 2 =  5731 reste 1
 5731 / 2 =  2865 reste 1
 2865 / 2 =  1432 reste 1
 1432 / 2 =   716 reste 0
  716 / 2 =   358 reste 0
  358 / 2 =   179 reste 0
  179 / 2 =    89 reste 1
   89 / 2 =    44 reste 1
   44 / 2 =    22 reste 0
   22 / 2 =    11 reste 0
   11 / 2 =     5 reste 1
    5 / 2 =     2 reste 1
    2 / 2 =     1 reste 0
    1 / 2 =     0 reste 1

Soit (en lisant les restes obtenus en sens inverse): 1011001100011101

Entre les bases 2, 8 et 16

Du binaire vers octal ou hexadécimal

Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.

  • Octal : base 8 : 8 = 23, il suffit de regrouper √† partir de la droite et par paquets de 3 les chiffres binaires (voir bńĀgu√†). Chaque paquet de 3 (le dernier devant √™tre parfois compl√©t√© par des 0 √† gauche), √©tant l'√©criture binaire d'un chiffre en base 8 (08=000, 18=001, 28=010, 38=011, 48=100, 58=101, 68=110, 78=111).
  • 101011011102 va s'√©crire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 25568.
  • Hexad√©cimal : base 16 : 16 = 24, donc on regroupe √† partir de la droite et par paquets de 4 les chiffres binaires. Chaque paquet de 4 bits √©tant la repr√©sentation binaire d'un chiffre en base 16. Il faut donc 16 chiffres, il a √©t√© d√©cid√© d'utiliser les 10 chiffres d√©cimaux plus les 6 premiers caract√®res de l'alphabet avec la convention suivante: A16=1010=10102, B16=1110=10112, C16=1210=11002, D16=1310=11012, E16=1410=11102 et F16=1510=11112.
  • 101011011102 va s'√©crire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en d√©cimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-√†-dire 56E16.

On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.

Vers le binaire

Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.

  • 1A2F16 va s'√©crire 1, 10=8+2, 2, 15=8+4+2+1 soit 1 1010 0010 11112
  • 1568 va s'√©crire 1, 5=4+1, 6=4+2 soit 1 101 1102

Par position dans une cha√ģne de carat√®res

Une astuce, par exemple pour √©crire un programme d'√©mulation d'instructions assembleur 16 bits, programme qui tournera sur une machine avec un processeur 8 bits. Elle permet d'√©viter le calcul et ne s'appuie que sur la position d'une sous-cha√ģne (ou d'un caract√®re) dans une cha√ģne de r√©f√©rence, pour trouver la position du caract√®re (ou d'une sous-cha√ģne) correspondant dans la cha√ģne de r√©f√©rence qui est associ√©e. Aussi, des fois que, les voici :

  • entre binaire et hexad√©cimal

Pour convertir du binaire (4 bits) en hexad√©cimal, ou r√©ciproquement, sans avoir √† calculer, c'est possible avec les cha√ģnes suivantes :

binhexa "0000111100101101000" et hexabin "0137FEC92586DA48"

En effet, la position (unique) d'une cha√ģne constitu√©e de 4 bits dans la cha√ģne "binhexa" donne la position du caract√®re hexad√©cimal correspondant dans la cha√ģne associ√©e "hexabin". Et r√©ciproquement, la position (unique) d'un caract√®re hexad√©cimal dans la cha√ģne "hexabin", donne la position du d√©but de la sous-cha√ģne de 4 "bits" correspondante dans la cha√ģne associ√©e "binhexa".

Exemple :

  • b"1110" est en 6e position dans la cha√ģne binhexa, "0000111100101101000", ce qui correspond dans la cha√ģne hexabin "0137FEC92586DA48" au caract√®re h"E" ;
  • h"4" est en 15e position dans la cha√ģne hexabin, "0137FEC92586DA48", ce qui correspond dans la cha√ģne binhexa "0000111100101101000" √† la position du premier caract√®re de la cha√ģne de 4 bits "0100".
  • entre binaire et octal

Idem avec les cha√ģnes de caract√®res associ√©es suivantes :

binoct "0001110100" et octbin "01376524"

Table des valeurs des groupements de chiffres binaires

Binaire Décimal Octal Hexadécimal
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
Binaire Décimal Octal Hexadécimal
1000 8 10 8
1001 9 11 9
1010 10 12 A
1011 11 13 B
1100 12 14 C
1101 13 15 D
1110 14 16 E
1111 15 17 F

La soustraction

La soustraction en binaire se déroule de la même manière qu’en décimal.

Principe de base :

0 ‚ąí 0 = 0
0 ‚ąí 1 = 1 (avec retenue)
1 ‚ąí 0 = 1
1 ‚ąí 1 = 0

Exemple de soustraction :

    *   * * *   (les colonnes avec * contiennent des retenues)
  1 1 0 1 1 1 0
‚ąí     1 0 1 1 1
----------------
= 1 0 1 0 1 1 1

Code de Gray ou binaire réfléchi

Article d√©taill√© : code de Gray.

Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est augmenté d'une unité.

D√©cimal cod√© binaire (¬ę binary coded decimal ¬Ľ, ou BCD)

Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:

1994 =  0001    1001   1001   0100
      1√ó1000 + 9√ó100 + 9√ó10 + 4√ó1

Il présente l'avantage de simplifier la conversion avec la notation décimale.

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10n/4-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778n-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).

Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage plus efficace que le BCD.

Il existe des variantes du codage BCD :

  • code Aiken o√Ļ 0, 1, 2, 3, 4 sont cod√©s comme en BCD et 5, 6, 7, 8, 9 sont cod√©s de 1011 √† 1111. Il permet d'obtenir le compl√©ment √† 9 en permutant les 1 et les 0.
  • codage binaire exc√©dant 3 qui consiste √† repr√©senter le chiffre √† coder + 3.
Article d√©taill√© : Binary coded decimal.

Applications

Théorie de l'information

Article d√©taill√© : Entropie de Shannon.

En théorie de l'information, l'entropie d'une source d'information est exprimée en bits. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle utilise.

Logique

La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'algèbre de Boole.

L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des probabilités ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir Théorème de Cox-Jaynes.

Informatique

Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS. La présence d'un seuil de tension au bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5V. cette marge de tolérance permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant sans problème (hormis d'échauffement) plusieurs gigahertz. Ne sachant pas techniquement réaliser des composants électroniques à plus de deux états stables (0 ou plus de 0,5V), on n'utilise que la logique (bivalente) et donc le système binaire.

En informatique, la repr√©sentation binaire permet de clairement manipuler des bits : chaque chiffre binaire correspond √† un bit. La repr√©sentation binaire n√©cessitant l'usage de beaucoup de chiffres (m√™me pour des nombres assez petits), ce qui entra√ģnerait d'importants probl√®mes de lisibilit√© et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs on lui pr√©f√®re pour eux une repr√©sentation parfois octale ou plus fr√©quemment hexad√©cimale. La quasi totalit√© des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits, la notation hexad√©cimale permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits (contre 3 pour la notation octale plus populaire du temps des premiers mini-ordinateurs DEC √† 12 ou 36 bits).

Histoire

  • 1650 av J.C. - Multiplication √©gyptienne
  • 1600 - Table de Thomas Harriot(1560-1621), premi√®re expression du binaire connue en France
  • 1605 - Francis Bacon utilise un code secret bilitaire (√† deux lettres) pour prot√©ger ses messages (il remplace les lettres du message par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre F ‚Üí 5 ‚Üí 00101 ‚Üí cod√©e AABAB
  • 1617 - Neper, dans son trait√© 'Rhabdologie', montre comment effectuer simplement les op√©rations sur des nombres binaires.
  • 1670 - Juan Caramuel y Lobkowitz fait la premi√®re √©tude raisonn√©e sur les num√©rations non d√©cimales.
  • 1677 - Leibniz √©tudie le binaire comme mode de calcul des fractions d√©cimales, De progresso dyadica est publi√© en 1679.
  • 1688 - La Chine s'empare des id√©es de Leibniz et red√©couvre des travaux chinois datant de trois mille ans avant J.C.
  • 1703 - Leibniz publie son expos√© sur le syst√®me binaire devant l'Acad√©mie des sciences de Paris dans les M√©moires
  • 1847 - George Boole publie les premiers travaux de son Alg√®bre de Boole
  • Dans les ann√©es 1930 - nombreux th√©oriciens : R. Valtat (F), Louis Couffignal (F), E.W. Phillips (UK), Alan Turing (UK), Claude Shannon (USA).

Voir aussi

Liens externes

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Systeme binaire de Wikipédia en français (auteurs)

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