Rayon (Géométrie)

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Rayon (Géométrie)

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Rayon, diamètre, circonférence, cercle

En géométrie, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est un segment de droite quelconque reliant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre. En sciences et en ingénierie, le terme rayon de courbure est souvent utilisé comme synonyme de rayon.

Plus g√©n√©ralement‚ÄĒen g√©om√©trie, ing√©nierie, Th√©orie des graphes, et dans nombre d'autres contextes‚ÄĒle rayon de quelque chose (par exemple un Cylindre, un polygone, un graphe, ou une pi√®ce m√©canique) est la distance de son centre ou axe de sym√©trie √† ses points de surface les plus √©loign√©s. Dans ce cas, le rayon peut √™tre plus grand que la moiti√© du diam√®tre.

La relation entre le rayon r\! et la circonférence c\! d'un cercle est r = \frac{c}{2\pi}.

Sommaire

Calcul du rayon

Cercle circonscrit à un triangle.svg

Pour calculer le rayon d'un cercle passant par trois points  P_1, P_2, P_3\!, la formule suivante peut être utilisée:

r=\frac{|P_1-P_3|}{2\sin(\theta)}

o√Ļ \theta \! est l'angle  \angle P_1 P_2 P_3.

Rayons de l'ellipse

Ellipse affinite2.png
  • Calcul de l'aire d'une ellipse:
A = \pi . Ra . Rb \,\!


o√Ļ Ra\! et Rb\! sont les rayons (ou demi-axes) de l'ellipse.

Le rayon terrestre

Sa mesure

La premi√®re mesure du rayon terrestre en astronomie a √©t√© con√ßue par Erathosth√®ne. Son calcul est le suivant : le Soleil est si √©loign√© que ses rayons arrivent parall√®lement en tout point de la Terre. Il a lu qu'√† Sy√®ne, les rayons tombent verticalement dans un puits le jour du solstice d'√©t√©. Cela veut dire que le Soleil passe par le z√©nith, il n'y a alors pas d'ombre. Plus au nord, au m√™me instant, les rayons atteignent Alexandrie sous un angle non nul, qu'il mesure. L'angle mesur√© est de un cinquanti√®me de cercle. Cela signifie que la circonf√©rence de la Terre est cinquante fois plus grande que la distance Sy√®ne - Alexandrie. Il avait lu √©galement que les caravanes de chameaux partant de Sy√®ne mettaient cinquante jours pour arriver √† Alexandrie en parcourant cent stades par jour. Il calcula que la distance entre les deux villes de la vall√©e du Nil √©tait de 5000 stades. Le stade √©quivaut √† 158m.

Par la mesure de l'ombre port√©e par ces objets de hauteur connue situ√©s en deux points de latitude diff√©rente, il trouve la valeur de 250 000 stades pour la longueur du m√©ridien, c'est-√†-dire la circonf√©rence terrestre. Cette mesure est exacte √† 2% pr√®s. Il en d√©duisit le rayon de la Terre.

Son utilisation

Le rayon terrestre est utilisé pour de nombreux calculs astronomiques comme:

  • Le calcul de la parallaxe diurne d'un astre:
Parallaxe diurne: deux observateurs se placent en deux points A et B de la Terre les plus éloignés possible et notent la configuration des étoiles entourant l'astre observé. Ils peuvent ainsi calculer les angles BAP et ABP, puis en déduire la parallaxe qui permettra d'obtenir la distance TP.

Parallaxe diurne.png

Bibliographie

  • Les √©l√©mens de g√©om√©trie d'Euclide, traduits litt√©ralement, et suivis d'un trait√© du cercle, du cylindre, du c√īne et de le sph√®re, de la mesure des surfaces et des solides, avec des notes. ; Euclid., F Peyrard ; Paris, F. Louis, 1809. (OCLC 5162390)
  • G√©om√©trie 4 : les relations dans le cercle. ; Michel Morin, Alain Roy ; Mont-Royal, Qu√©bec : Modulo, 1995. (OCLC 32548158)
  • Portail de la g√©om√©trie Portail de la g√©om√©trie
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