Racine Carree

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Racine Carree

Racine carrée

La racine carrĂ©e d’un nombre rĂ©el positif x est le nombre positif dont le carrĂ© vaut x. On le note \sqrt x ou xÂœ.

Une tablette d'argile datĂ©e du XLVIIIe siĂšcle av. J.-C. montre que les Babyloniens connaissaient la racine carrĂ©e de deux et un algorithme de calcul.

Tout nombre rĂ©el x positif possĂšde une racine carrĂ©e qui est elle-mĂȘme un nombre rĂ©el. La racine carrĂ©e d'un nombre entier n est soit un entier, soit un nombre irrationnel, c'est-Ă -dire qu'elle ne peut ĂȘtre exprimĂ©e par une fraction. Il semble que √2 fut le premier nombre irrationnel connu, et la dĂ©monstration de ce fait l'une des premiĂšres dĂ©monstrations par l'absurde.

À la renaissance, des mathĂ©maticiens ont Ă©tĂ© amenĂ©s Ă  dĂ©finir la racine carrĂ©e d'un nombre nĂ©gatif, ce qui a conduit Ă  l'avĂšnement des nombres complexes. L'extraction d'une racine carrĂ©e Ă©tait la cinquiĂšme « opĂ©ration classique Â», elle est aussi perçue comme une fonction.

Sommaire

Histoire

Article dĂ©taillĂ© : Histoire de la racine carrĂ©e.
Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres Ă©crits dans le systĂšme babylonien (crĂ©dits : Bill Casselman).

La plus ancienne racine carrĂ©e connue apparaĂźt vers 1 700 av. J.-C. sur la tablette YBC 7289. Il s'agit de la reprĂ©sentation d'un carrĂ© avec, sur un cĂŽtĂ©, le nombre 30 et, le long de la diagonale, un valeur approchĂ©e de √2.

Pythagore professait que « tout est nombre Â».

Racine carrée et autres structures

Si un ensemble E possĂšde une multiplication, il peut ĂȘtre intĂ©ressant de se poser la question de savoir quand, pour un Ă©lĂ©ment a de E, il existe un Ă©lĂ©ment b tel que b2 est Ă©gal Ă  a. Si E est Ă©gal Ă  Z, a vĂ©rifie la propriĂ©tĂ© prĂ©cĂ©dente si, et seulement si a est un carrĂ© parfait. Le terme de racine carrĂ©e sera Ă©tendu pour une raison de simplicitĂ©. La phrase 3 n'a pas de racine carrĂ©e dans Z possĂšde un sens complĂštement dĂ©fini.

Supposons que l'ensemble E soit Ă©gal Ă  celui des nombres complexes, c'est Ă  dire des nombres de la forme a + i.b oĂč a et b sont des nombres rĂ©els et i l'unitĂ© imaginaire. L'unitĂ© imaginaire est un nombre dont le carrĂ© est Ă©gal Ă  -1. Si α est un nombre complexe, alors il existe toujours un nombre complexe ÎČ tel que ÎČ2 soit Ă©gal Ă  α. De plus, -ÎČ vĂ©rifie la mĂȘme propriĂ©tĂ©. Il est frĂ©quent de dire que ÎČ et -ÎČ sont les racines carrĂ©es de α, ce qui est tout de mĂȘme plus commode que de dire que ÎČ et -ÎČ sont les racines de l'Ă©quation X2 - Î± = 0. On parle alors des[1] racines carrĂ©es de α.

Par extension, et quand il n'existe pas d'ambiguitĂ©, la locution racine carrĂ©e de α oĂč α est un Ă©lĂ©ment d'un ensemble E munis d'une multiplication signifie n'importe quel Ă©lĂ©ment x solution de l'Ă©quation x2 = Î±. La notation √α est nĂ©anmoins souvent dĂ©conseillĂ©e[1], elle est associĂ©e Ă  un Ă©lĂ©ment prĂ©cis et non pas un ensemble.

Dans le cas des nombres rĂ©els, c'est l'article qui permet de faire la diffĂ©rence. Un auteur parlant d'une racine carrĂ©e de 2, traite d'un des deux Ă©lĂ©ments √2 ou bien -√2. En revanche l'expression la racine carrĂ©e de deux Ă©voque toujours la solution positive. Comme l'expression √2 est toujours positive et le terme fonction racine dĂ©finie sur les rĂ©els positifs dĂ©signe toujours la valeur positive, on Ă©vite cette confusion dans les enseignements un peu Ă©lĂ©mentaires des mathĂ©matiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrĂ©e, alors toujours positive.

Fonction réelle

Représentation graphique de la fonction racine.

L’application x\mapsto x^2 est une bijection \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ dont l’inverse est notĂ© x\mapsto \sqrt{x}. Cette fonction s’appelle la fonction racine carrĂ©e. GĂ©omĂ©triquement, on peut affirmer que la racine carrĂ©e de l’aire d’un carrĂ© du plan euclidien est la longueur de ses cĂŽtĂ©s.

Mise en garde : l’aire s’exprime dans le systĂšme universel en mĂštre carrĂ© et les longueurs en mĂštre. En prenant la racine carrĂ©e d’une quantitĂ© exprimĂ©e en mĂštres carrĂ©s, on obtient une quantitĂ© exprimĂ©e en mĂštres. Les physiciens attachent une importance particuliĂšre Ă  l’analyse des unitĂ©s ; cet aspect est effacĂ© en mathĂ©matiques. Les nombres rĂ©els sont des constantes sans unitĂ©, et la racine carrĂ©e d’un nombre rĂ©el positif est un nombre rĂ©el positif.

Analyse

La fonction racine carrĂ©e vĂ©rifie les propriĂ©tĂ©s Ă©lĂ©mentaires suivantes valables pour tous nombres rĂ©els positifs x et y :

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} (sous la condition y\neq 0)
\sqrt{x^2} = |x|.

La fonction racine est continue en tout rĂ©el positif x (pour y proche de x, \sqrt{y} est proche de \sqrt{x}). Mieux, cette fonction est 1/2-höldĂ©rienne. De plus, elle est dĂ©rivable en tout rĂ©el strictement positif x, mais elle n’est pas dĂ©rivable en x=0. En ce point, la pente de la tangente est infinie ; la courbe reprĂ©sentative admet en 0 une demi-tangente verticale.

La fonction dĂ©rivĂ©e de x\mapsto \sqrt{x} est donnĂ©e par :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}

La fonction racine est en réalité de classe C^{\infty} sur \R_+^*.

\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}

Mieux encore, la fonction racine est dĂ©veloppable en sĂ©ries entiĂšres. Le dĂ©veloppement en sĂ©rie de Taylor de la fonction racine carrĂ©e au point 1 s’obtient immĂ©diatement Ă  partir de la formule du binĂŽme gĂ©nĂ©ralisĂ©e :

\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n
=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)2^{2n}}h^n
 = 1 + \frac{1}{2}h - \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \cdots

pour tout réel |h| < 1.

Construction géométrique de la racine carrée

AO = 1, OB = a, OH = x

La construction gĂ©omĂ©trique suivante se rĂ©alise Ă  la rĂšgle et au compas et permet, Ă©tant donnĂ© un segment OB de longueur a, de construire un segment de longueur \sqrt{a} :

  • Construire le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1
  • Construire le cercle C de diamĂštre AB.
  • Construire la droite D perpendiculaire Ă  (OB) et passant par O.
  • Nommer H le point d’intersection du cercle C et de la droite D.

Le segment OH est de longueur  \sqrt{a}.

La preuve consiste Ă  appliquer le thĂ©orĂšme de Pythagore :

  • Au triangle rectangle HOB : OH2 + a2 = HB2
  • Au triangle rectangle ABH : HB2 = (a+1)2 - AH2
  • Au triangle rectangle AOH : AH2 = 12 + OH2

D’oĂč OH2 + a2 = (a+1)2 - (12 + OH2), soit, aprĂšs simplification OH2 = a, et donc OH = \sqrt{a}.

Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.

Notion algébrique générale

Soient x et a deux Ă©lĂ©ments d’un anneau A, tels que x2=a. L'Ă©lĂ©ment x est alors une racine carrĂ©e de a. En gĂ©nĂ©ral (notamment si l'anneau n'est pas intĂšgre, ou s'il n'est pas commutatif), un Ă©lĂ©ment peut avoir plus de deux racines carrĂ©es.

Les racines carrées de nombres complexes

Article dĂ©taillĂ© : Racine de nombre complexe.

La racine carrĂ©e sur \R est dĂ©finie seulement pour les nombres positifs. Dans la rĂ©solution effective des Ă©quations polynomiales, l’introduction d’une racine carrĂ©e formelle d’un nombre nĂ©gatif dans les calculs intermĂ©diaires donnent des rĂ©sultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a Ă©tĂ© introduit.

Pour tout nombre complexe non nul z, il existe exactement deux nombres complexes w tels que w2 = z. Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ en une fonction continue f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z.

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de \mathbb{C} toute fonction continue f:U\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z.

La dĂ©termination principale de la racine carrĂ©e est la fonction \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} ainsi dĂ©finie : si z s’écrit sous forme trigonomĂ©trique  z=r e^{i\varphi} avec -\pi < \varphi \le \pi\,, alors on pose \sqrt{z}=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}}. Cette dĂ©termination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des rĂ©els strictement nĂ©gatifs, et est holomorphe sur son complĂ©mentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algĂ©brique, on a :

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x} {2}}

oĂč le signe de la partie imaginaire de la racine est le mĂȘme que le signe de la partie imaginaire du nombre initial (si elle est nulle, on prend par convention le signe +).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la dĂ©termination principale de la racine carrĂ©e dans le plan complexe, la relation \sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w} devient fausse en gĂ©nĂ©ral.

Les racines carrĂ©es de matrices et d’opĂ©rateurs

Article dĂ©taillĂ© : Racine carrĂ©e d'une matrice.

Si A est une matrice symĂ©trique dĂ©finie positive ou un opĂ©rateur autoadjoint dĂ©fini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice symĂ©trique dĂ©finie positive ou un opĂ©rateur autoadjoint dĂ©fini positif B tel que B2 = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En gĂ©nĂ©ral, il y a plusieurs tels opĂ©rateurs B pour chaque A et la fonction racine carrĂ©e ne peut pas ĂȘtre dĂ©finie pour les opĂ©rateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opĂ©rateurs dĂ©finis positifs sont apparentĂ©s Ă  des nombres rĂ©els positifs, et les opĂ©rateurs normaux sont apparentĂ©s Ă  des nombres complexes. Les articles sur la thĂ©orie des opĂ©rateurs dĂ©veloppent davantage ces aspects.

Extraction de racines carrées

Un premier algorithme

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrĂ©e d’un nombre. Évidemment, si la racine carrĂ©e n’est pas un nombre dĂ©cimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du rĂ©sultat : la suite des chiffres est exacte.

Nous commençons par sĂ©parer les chiffres du nombre par paires en commençant Ă  partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la mĂȘme façon que lorsque nous effectuons une division selon la mĂ©thode classique ; la racine carrĂ©e sera inscrite au-dessus de ce nombre.

À chaque Ă©tape :

  • on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisĂ©e et on la place au cĂŽtĂ© d’un reste Ă©ventuel de l'Ă©tape prĂ©cĂ©dente ;
  • soit r le rĂ©sultat intermĂ©diaire de la racine carrĂ©e obtenu prĂ©cĂ©demment (Ă©gal Ă  zĂ©ro au dĂ©but). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dĂ©passe pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supĂ©rieure au-dessus de la paire abaissĂ©e ;
  • on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
  • si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre Ă  abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.


VĂ©rification :

12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34.
   = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02)
   = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
   = 152,2756

Jusqu’au XIXe siĂšcle on utilisait couramment cet algorithme en accĂ©lĂ©rant les calculs Ă  l’aide d’un abaque formĂ©e d’un jeu de rĂ©glettes : les bĂątons de Napier.

Bien que dĂ©crite ici pour des nombres Ă©crits en base 10, la procĂ©dure fonctionne dans n’importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui prĂ©cĂšde, 20 reprĂ©sente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacĂ© par 100.

Par les fractions continues

Une fraction continue permet d'exprimer un nombre réel. Dans le cas particulier des racines carrés, son expression est relativement simple, ce qui permet de formuler deux méthodes d'extraction de racine. Elles possÚdent toutes deux l'avantage de présenter des fractions optimales, c'est à dire que si p / q est une des valeurs que propose l'algorithme, alors aucune fraction de a / b avec b < q n'approche plus précisément la racine.

La deuxiÚme méthode converge trÚs rapidement, à chaque étape, le nombre de décimales exactes double.

La méthode de Héron

Article dĂ©taillĂ© : MĂ©thode de HĂ©ron.

La mĂ©thode de HĂ©ron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrĂ©es. Son importance est avant tout historique, elle a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©e par les Babyloniens. Elle fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions.


On peut avoir une approche plus algorithmique en simplifiant cette méthode par la formule de Newton r = \sqrt{N}\approx\frac{\frac{N}{r}+r}{2}


Calcul par la méthode du goutte à goutte

Article dĂ©taillĂ© : Technique de l'extraction de racine.

Les racines carrées, approximations entiÚres

On a parfois besoin de construire des tables des parties entiĂšres des racines carrĂ©es des entiers naturels. Les premiĂšres sont donnĂ©es par :

CARRE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. 15 16 17 .. 24 25 26 27
RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 .. 3 4 4 .. 4 5 5 5

Une observation des premiers termes montrent que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrĂ©ment de maniĂšre rĂ©guliĂšre. Plus prĂ©cisĂ©ment,

  • le 0 est rĂ©pĂ©tĂ© 1 fois,
  • le 1, 3 fois
  • le 2, 5 fois
  • le 3, 7 fois
  • le 4, 9 fois

Le nombre de fois que l’entier n est rĂ©pĂ©tĂ© est le n-iĂšme entier impair. La preuve repose sur l’identitĂ© suivante :

 (a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Autre méthode

Il est aisĂ© de savoir quelle sera la taille de la racine carrĂ©e d'un nombre et cela avec un calcul Ă©lĂ©mentaire. Cela tient Ă  la multiplication elle mĂȘme: Si vous prenez le nombre de bits significatifs de deux nombres lorsque vous en faites le produit le rĂ©sultat compte autant de bits que la somme des bits de chacun des opĂ©randes. Dans le cas de la racine carrĂ©e les opĂ©rateurs sont Ă©gaux et comptent donc le mĂȘme nombre de bits. En consĂ©quence quand vous avez un nombre quelconque sa racine comporte la moitie de bits Si vous avez un nombre de 1024 bits vous savez que la racine en aura 512. Vous pouvez donc encadrer la racine ainsi 513 bits< Racine< 511 bits


Plus loin

Mais arrivĂ© lĂ  on peut affiner considĂ©rablement le rĂ©sultat Le prodigieux algorithme du compte goutte n’est utilisable que dans son intĂ©gralitĂ© car on ne connait en principe pas la longueur de la racine. C’est dĂ©sormais faux. On peut donc utiliser ce calcul pour, par exemple, les 10 premiers chiffres de la racine et ensuite complĂ©ter la valeur a 512 bits Si vous voulez extraire la racine de : 286566083047005741820534465902668361736253328912991487181716 On commence par dĂ©duire la taille de la racine qui sera donc 30 chiffres, puis on extrait les 10 premiers chiffres au compte goutte 5389438444. nous complĂ©tons la racine avec 20 fois le chiffre 9 et nous obtenons ainsi la valeur haute de la racine 538943844499999999999999999999 et en complĂ©tant avec des 0 on obtient la limite basse 53894384440000000000000000000. VĂ©rifions:la racine Ă©tant 538943844471945205222588086383 elle est bien comprise dans notre fourchette. Plus vous calculez de chiffres au ‘compte goutte’, qui est spĂ©cialement rapide, plus vous resserrez la fourchette

PrĂ©cision: Comment passer de la fourchette au rĂ©sultat. 538943844499999999999999999999 538943844400000000000000000000 = 538943844471945205222588086383 ????

La solution informatique est classique ! Une simple recherche dichotomique mais au lieu de tester directement la valeur calculĂ©e avec le nombre de dĂ©part il faut l'Ă©lever au carrĂ©

fonction Racine_64(C: int64): int64; var

 a, b, d, d1: int64;

begin

 A := borne basse
 B := borne haute
 repeat
   D := (a + B) shr 1;
   D1 := D * D; <= on élÚve au carré avant de tester
   if D1 > C then
     A := D - 1
   else
     if C > D1 then
       B := D + 1
     else
       Result := A;
 untel B > A;

end;

Et à vous les racines carrées

Beaucoup Plus loin ?

La méthode présentée est parfaitement fonctionnelle et d'une efficacité remarquable. Elle souffre cependant de deux défauts 1- Il faut avoir implémenter la méthode du Goute a Goutte 2- Elle ne fonctionne que pour les racines carrées


Goute a goutte

Cette méthode est utilisée pour identifier les X premiers chiffres de la racine. Mais il existe d'autres méthodes. Cherchons la racine carrée de 700528656608304465974182053402668361736253328912991487181716 On prend les 19 premiers chiffres(19 correspondant a un nombre de 64 bits) et on en extrait la racine par la classique fonction SQRT de l' ordinateur 70052865660830446 et obtenez 264675018 exactement comme avec la méthode compte goutte mais sans l'utiliser Il ne vous reste qu' mettre des 9 ou des 1 comme dans l'exemple(un dessalage et un Or en informatique).On connait sans problÚme la longueur(voir plus fait)

les racines niĂšme

La solution informatique est exactement la meme seul le test dans la recherche change D := (a + B) shr 1; D1 := D * D; <= on Ă©leve au carrĂ© If suffit simplement de changer le Calcul de D1 par exponentiation dĂ©sire Si vous cherchez la racine 164758 Ăšme du nombre D1 := D * D; devient D1:=D^164758 et par approximations sucessives vous obtiendrez votre racine 164758 eme

Cette méthode présente une difficulté: si pour la racine carrée nous savons calculer rapidement la longueur (Nombre de bits div 2) Comment savoir quel sera la longueur de la racine 164758 Ce n'est en réalite sans importance et n'a quasiment aucune incidence sur le calcul Elle permet juste de gagner un ou deux cycles de la recherche dichotomie Quelques milliardiÚmes de secondes moyennant un calcul long informatiquement (conversion valeur ASCI et numérique) Si vous faites une recherche dichotomique pour 10 vous avez 1- 50 1- 25 1- 12 1- 6 2- 12 4- 12 8- 12 8- 12 Le calcul des racines par approximation a donc son couteau suisse: la recherche dichotomique

On peut si on le désire connaitre malgré tout la taille de la racine n° d'un nombre quelconque Sachant que pour connaitre le nombre de chiffres d'une exponentiation on utilise la formule suivante

 R := Round(A * Log10(B)) + 1;

oĂč A est la valeur et B la puissance. Il est aisĂ© connaissant R et B de retrouver Log10(10] une simple recherche dichotomique (encore elle) vous permettra de retrouver le log10

Et les décimales?

Le calcul est automatique; il suffit de multiplier le nombre de départ par 10 autant de fois que vous désirez de décimales

C'est de la faute Ă  HĂ©ron!

Bien involontaire, il faut le dire tout de suite. Dans la recherche dichotomique qu'il donne, il existe un goulet au niveau de la dichotomie elle mĂȘme: le calcul du carrĂ© (pour lui une division). C'est la plus longue informatiquement parlant des quatre opĂ©rations. Son rapport avec ma multiplication est de 25. Il faut le mĂȘme temps Ă  un ordinateur pour faire 25 multiplications et divisions Toutes les recherches sur cette mĂ©thode Ă©taient donc basĂ©es sur le gain de cycles de recherche et non sur le test lui meme.

Gagner un cycle de calcul chez HĂ©ron Ă©quivaut a en gagner 25 sur une recherche dichotomique niveau temps. On comprend l'incidence de la pertinence de la valeur d'initialisation.

Approximation de √a à l'aide de suites adjacentes

Soit a un nombre réel strictement positif.

Considérons les suites u et v définies par

Les suites u(n) et v(n) sont adjacentes, et convergent vers la mĂȘme limite : \sqrt{a}. L'erreur peut mĂȘme ĂȘtre majorĂ©e par la diffĂ©rence v(n) − u(n).

Remarquons l'originalitĂ© de cette mĂ©thode qui mĂȘle moyennes harmonique, gĂ©omĂ©trique et arithmĂ©tique. En effet \sqrt{a} n'est autre que la moyenne gĂ©omĂ©trique de 1 et de a, et si on remplace u(0) par un rĂ©el strictement positif quelconque b, les suites u et v convergent vers la moyenne gĂ©omĂ©trique \sqrt{a b} de a et b.

(L'intéressante moyenne arithmético-géométrique et la moyenne géométrico-harmonique sont définies par des suites similaires.)

Curiosités

L’identitĂ© 2 = \sqrt{2+2} implique 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}}, et par itĂ©rations successives :

2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

Pour des raisons analogues, on obtient :

3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}} ; 4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}} ; ...

Si r est un entier strictement supérieur à 1,

r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}

Plus généralement, si p étant un nombre réel supérieur ou égal à 1,

\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}

Si p est Ă©gal Ă  1, on obtient le nombre d'or:

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}.


Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition

(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,

et construisit le produit n(n + p) en fixant p = 2

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}

Il substitua le terme (n + 3)

n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}

Ramanujan rĂ©itĂ©ra Ă  l’infini en remplaçant maintenant n par 1 et obtint la jolie formule :

3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}

(bien entendu, il doit ensuite démontrer que le passage à la limite est légal)

En fixant n et p Ă  d’autres valeurs positives ou en Ă©levant au carrĂ© une formule obtenue, on peut Ă©galement construire d’autres belles formules comme :

4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}

En rĂ©sumĂ©, la relation suivante, itĂ©rĂ©e Ă  l’infini :

n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}

permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supĂ©rieurs Ă  1 comme une itĂ©ration infinie de racines carrĂ©es.

En particulier, en fixant n = 0

2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}}}}

(toutes ces formules sont en fait des affirmations sur des limites, qui se démontrent, de maniÚre assez délicate, par encadrements)

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itĂ©ration infinie de racines carrĂ©es :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) , oĂč k est le nombre de racines carrĂ©es emboitĂ©es

Ou encore :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Racines carrées des entiers de un à vingt

\sqrt {1} = 1
\sqrt {2} ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
\sqrt {3} ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
\sqrt {4} = 2
\sqrt {5} ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
\sqrt {6} ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
\sqrt {7} ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
\sqrt {8} ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
\sqrt {9} = 3
\sqrt {10} ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\sqrt {11} ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\sqrt {12} ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\sqrt {13} ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\sqrt {14} ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\sqrt {15} ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\sqrt {16} = 4
\sqrt {17} ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\sqrt {18} ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\sqrt {19} ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\sqrt {20} ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Sources

  • Smith D.E., History of Mathematics (livre 2)
  • Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, seconde Ă©dition, Penguin Books, London, 2000, ISBN 0-691-00659-8

Références

  1. ↑ a  et b  Voir par exemple le site : racine carrĂ©e complexe par HomĂ©omath

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