Probleme des contacts

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Probleme des contacts

Problème des contacts

Sommaire

Traité des contacts d'Apollonius

Le probl√®me des trois cercles : Trouver un cercle tangent √† trois cercles donn√©s de rayons diff√©rents.

C'est un des grands problèmes de l'antiquité.

Ce problème dit problème d'Apollonius, a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius.

En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions.
Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers).

La détermination de cercle astreint à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C.

  • Le probl√®me 1, PPP, est r√©solu avec le cercle circonscrit dont le centre est le point d'intersection des m√©diatrices du triangle.
  • Le probl√®me 2, DDD, a pour solutions les cercles inscrit et exinscrits lorsque les droites forment un triangle. Vi√®te le traitera de fa√ßon isol√©e.
  • Le probl√®me 3, PPD, se ram√®ne au probl√®me 1 en utilisant des angles inscrits.
  • Le probl√®me 4, PPC, se trouve gr√Ęce √† l'introduction d'un cercle interm√©diaire.
  • Le probl√®me 5, PDD, se ram√®ne au probl√®me 4 en introduisant le sym√©trique du point par rapport √† une bissectrice des deux droites.
  • Le probl√®me 6, PCC, se ram√®ne au probl√®me 4 en trouvant un deuxi√®me point situ√© sur la droite joignant le point donn√© √† un des centres de similitude des deux cercles.
  • Le probl√®me 7, PDC, se ram√®ne au probl√®me 3 gr√Ęce √† un point interm√©diaire
  • Le probl√®me 8, DDC, se ram√®ne au probl√®me 5 par la m√©thode des translations en d√©pla√ßant les droites d'une longueur √©gale au rayon du cercle.
  • Le probl√®me 9, DCC, se ram√®ne au probl√®me 7 en rempla√ßant le plus grand des cercles par un cercle ayant pour rayon la somme ou la diff√©rence des rayons de ces deux cercles et l'on d√©place la droite parall√®lement √† elle-m√™me d'une longueur √©gale au rayon du petit cercle.
  • Le probl√®me 10, CCC, se ram√®ne au probl√®me 6 en substituant aux deux plus grands cercles, des cercles concentriques dont les rayons diff√©rent d'une quantit√© √©gale au rayon du plus petit cercle.

Le problème sera généralisé par Descartes en 1643.

Lien externe

Construction de cercles

Constructions de tangentes et de cercles tangents

Trouver des points de contact - Utilisations de configurations faisant intervenir l'homothétie (deux droites) ou l'inversion (deux cercles).

Tangente en un point du cercle

D'un point A situé sur un cercle de centre O on peut mener une tangente à ce cercle en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA].

Tangente cercle.svg

Construction à la règle et au compas (sans équerre). Tracer le point B symétrique de O par rapport à A et puis la médiatrice de [BO].

Tangentes à un cercle passant par un point donné

D'un point M ext√©rieur √† un cercle, on peut mener deux tangentes √† ce cercle ; elles touchent le cercle en A et B et on a MA = MB. La droite (OM) est un axe de sym√©trie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB.

Tangentes.gif

Construction d'Euclide

√Čtant donn√© un cercle (c) de centre O et un point M √† l'ext√©rieur du cercle, les points de contact A et B des tangentes issues de M sont les points d'intersection du cercle (c) et du cercle de diam√®tre [MO].

Cercle tangent à deux droites passant par un point donné

On donne deux droites (d1), (d2) s√©cantes et un point A n'appartenant pas √† ces droites. Existe-t-il un cercle passant par A tangent √† ces deux droites ?

Cercle tg 2 droites.gif

Construction

Placer un point J sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que le point A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de J sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites.

√Čtant donn√© un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2. La droite parall√®le √† (A1J) passant par A rencontre (IJ) en O1. Le cercle (c1), de centre O1 passant par A, est tangent √† (d1) et (d2).

De même, la droite parallèle à (A2J) passant par A rencontre (IJ) en O2. Le cercle (c2), de centre O2 passant par A, est la deuxième solution du problème.

Cercle tangent à deux cercles

On donne deux cercles (c1), (c2) de centres O1, O2, de rayons diff√©rents r1 et r2. √Čtudier les cercles (c) tangents √† ces deux cercles ?

Similitude CC.svg

Il existe deux homothéties H(S, r1/r2) et H(S', -r1/r2) transformant (c1) en (c2).

Les points S et S' centres d'homothéties des cercles sont les points qui partagent le segment [O1O2] dans le rapport r1/r2.

Si un cercle (c) est tangent aux cercles (c1), (c2) en T et T', la droite (TT') qui joint les points de contact passe par un centre d'homothétie. La puissance p du centre d'homothétie par rapport au cercle (c) variable est constante.

p = ST √ó ST' = ST √ó ST1 √ó ST'/ST1 = ST √ó ST1 √ó r2/r1.

On obtient la puissance du pointS par rapport au cercle (c1) multiplié par le rapport des rayons. Si U et U' sont les points d'intersection de (c1) et (c2) avec la ligne des centres, la puissance du point S par rapport au cercle de diamètre [UU'] est p = SU × SU'.

Le cercle (c) est globalement invariant par l'inversion de centre S de puissance p.

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