Poussee d'Archimede

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Poussee d'Archimede

Poussée d'Archimède

La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide (liquide ou gaz) soumis à un champ de gravité.

Cette force provient de l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur (effet de la gravit√© sur le fluide, voir l'article hydrostatique) : la pression √©tant plus forte sur la partie inf√©rieure d'un objet immerg√© que sur sa partie sup√©rieure, il en r√©sulte une pouss√©e globalement verticale orient√©e vers le haut.

Cette poussée définit la flottabilité d'un corps.

Sommaire

Histoire et légende

Archimède

Article d√©taill√© : Archim√®de.
Archimède comparant l'or et l'argent

Archim√®de est un savant grec qui v√©cut √† Syracuse (Sicile) de 287 av. J.-C. √† 212 av. J.-C. Il est connu pour ses multiples travaux scientifiques, th√©oriques ou pratiques, que ce soit en math√©matique ou en physique. Parmi ces derniers, son Trait√© des corps flottants jette les bases de ce qui sera plus tard la science nomm√©e hydrostatique. C'est notamment dans cet ouvrage qu'il √©tudie avec rigueur l'immersion d'un corps, solide ou fluide, dans un fluide de densit√© inf√©rieure, √©gale ou sup√©rieure. Le th√©or√®me qui portera plus tard le nom du savant y est ainsi √©nonc√© (ce th√©or√®me fut ensuite d√©montr√© au XVIe si√®cle).

La couronne du roi Hiéron II

Vitruve[1] rapporte que le roi Hi√©ron II de Syracuse (306-214) aurait demand√© √† son jeune ami et conseiller scientifique Archim√®de (√Ęg√© alors de 22 ans seulement) de v√©rifier si une couronne d'or, qu'il s'√©tait fait confectionner comme offrande √† Jupiter, √©tait totalement en or ou si l'artisan y avait mis de l'argent. La v√©rification avait bien s√Ľr pour contrainte de ne pas d√©t√©riorer la couronne. La forme de celle-ci √©tait en outre trop complexe pour effectuer un calcul du volume de l'ornement. Archim√®de aurait trouv√© le moyen de v√©rifier si la couronne √©tait vraiment en or, alors qu'il √©tait au bain public, en observant comment des objets y flottaient. Il serait alors sorti dans la rue en s'√©criant le c√©l√®bre ¬ę Eur√™ka ¬Ľ (j'ai trouv√©).

Ce que constate Archim√®de au bain public est que, pour un m√™me volume donn√©, les corps n'ont pas le m√™me poids apparent, c'est-√†-dire une masse par unit√© de volume diff√©rente. On parle de nos jours de masse volumique. L'argent (masse volumique 10 500 kg¬∑m-3) √©tant moins dense que l'or (masse volumique 19 300 kg¬∑m-3), il a donc une masse volumique plus faible : pour obtenir un poids voulu il faudra une plus grande quantit√© d'argent que d'or. De l√†, Archim√®de d√©duit que si l'artisan a cach√© de l'argent dans la couronne du roi, la couronne est plus grande que si, pour le m√™me poids, elle avait √©t√© faite exclusivement d'or, alors elle a une masse volumique plus faible qu'une couronne de m√™me taille seulement en or. Ainsi fut d√©couverte la supercherie du joaillier.

La solution au problème

Pour répondre à la question du roi Hiéron, Archimède a donc pu comparer les volumes d'eau déplacés par la couronne et une masse d'or identique. Si les deux déplacent le même volume d'eau, leur masse volumique est alors égale et on peut en conclure que les deux sont composées du même métal. Pour réaliser l'expérience, on peut imaginer plonger dans un récipient rempli à ras-bord la masse d'or. Une certaine quantité d'eau débordera alors du récipient. Ensuite, on retire l'or et on le remplace par la couronne à étudier. Si la couronne est bien totalement en or, alors l'eau ne débordera pas. En revanche, si sa densité est plus faible, de l'eau supplémentaire débordera.

La méthode ainsi décrite par Vitruve présente deux inconvénients. Le premier est qu'elle ne fait ici intervenir en rien le principe d'Archimède. Le second problème est qu'avec des conditions réalistes, en raison de la forme de la couronne et de la densité de l'or, la hauteur d'eau déplacée est très faible (inférieur au millimètre). Il est donc peu probable qu'Archimède ait pu tirer des conclusions significatives à partir d'une telle expérience.

Une m√©thode plus r√©aliste est la suivante. Une balance avec deux bras de volumes identiques. On dispose la couronne d'un c√īt√© et son poids √©gal en or de l'autre, l'√©quilibre est initialement obtenu. Ensuite, on immerge compl√®tement chacun des bras (plateau et objet qui repose dessus) dans des volumes d'eau (les volumes d'eau n'importent que dans la mesure o√Ļ chacun permet d'immerger compl√®tement plateau et objet). Si la couronne et l'or ont la m√™me masse volumique, alors le volume de la couronne sera identique au volume de la quantit√© d'or pur, le volume d'eau d√©plac√© identique pour chacun des deux volumes d'eau et de fait la pouss√©e d'Archim√®de sera √©gale sur les deux bras de la balance : l'√©quilibre sera respect√©. Si la couronne ne contient pas uniquement de l'or, alors le volume d'argent sup√©rieur au volume de la quantit√© d'or pur, se traduira par un volume d'eau d√©plac√© sup√©rieur pour la couronne que pour l'or pur, et de fait par une pouss√©e d'Archim√®de plus importante sur la couronne, le plateau avec la couronne s'enfoncera moins que l'or pur et un d√©s√©quilibre sera alors visible sur la balance.

Autres propositions du traité des corps flottants

Le trait√© des corps flottants contient d'autres propositions relatives au th√©or√®me d'Archim√®de :

  • Proposition III : Un solide de m√™me volume et de m√™me poids (en fait de m√™me masse volumique) que le liquide dans lequel il est abandonn√© y enfoncera de fa√ßon √† n‚Äô√©merger nullement au-dessus de la surface, mais √† ne pas descendre plus bas.
  • Proposition IV : Tout corps plus l√©ger que le liquide o√Ļ il est abandonn√© ne sera pas compl√®tement immerg√©, mais restera en partie au-dessus de la surface du liquide.
  • Proposition V : Un solide plus l√©ger que le liquide dans lequel on l‚Äôabandonne s'y enfonce de telle fa√ßon qu‚Äôun volume de liquide √©gal √† la partie immerg√©e ait le m√™me poids que le solide entier.
  • Proposition VI : Lorsqu‚Äôun corps est plus l√©ger que le liquide o√Ļ on l‚Äôenfonce et remonte √† la surface, la force qui pousse en haut ce corps a pour mesure la quantit√© dont le poids d‚Äôun √©gal volume de liquide surpasse le poids m√™me du corps.
  • Proposition VII : Un corps plus lourd que le liquide o√Ļ on l‚Äôabandonne descendra au fond et son poids, dans le liquide, diminuera d‚Äôune quantit√© mesur√©e, par ce que p√®se un volume de liquide √©gal √† celui du corps.

Formulation du théorème d'Archimède

Tout corps plong√© dans un fluide au repos, enti√®rement mouill√© par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirig√©e de bas en haut et oppos√©e au poids du volume de fluide d√©plac√© ; cette force est appel√©e ¬ę pouss√©e d'Archim√®de ¬Ľ.

Pour que le th√©or√®me s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immerg√© soient au repos. Il faut √©galement qu'il soit possible de remplacer le corps immerg√© par du fluide immergeant sans rompre l'√©quilibre, le contre-exemple √©tant le bouchon d'une baignoire remplie d'eau : si celui-ci est remplac√© par de l'eau, il est clair que la baignoire se vide et que le fluide n'est alors plus au repos. Le th√©or√®me ne s'applique pas puisque nous sommes dans un cas o√Ļ le bouchon n'est pas enti√®rement mouill√© par le liquide et ne traverse pas sa surface libre.

Une fois les conditions pr√©c√©dents respect√©es, dans un champ de pesanteur uniforme, la pouss√©e d'Archim√®de PA est donn√©e par la formule suivante :

 \vec{P}_{\rm A \,} = - \, M_{\rm f\,} \vec{g} ,

o√Ļ M f est la masse du fluide contenu dans le volume V d√©plac√©, et g la valeur du champ de pesanteur.

Si la masse volumique ŌĀ du fluide est elle aussi uniforme, on aura :

 \vec{P}_{\rm A \,} = - \, \rho \, V \vec{g}

ou encore, si l'on consid√®re les normes des forces :

 ||\vec{P}_{\rm A \,} ||  = \rho \, V \, g

La pouss√©e d'Archim√®de PA s'exprimera en newton (N) si la masse volumique ŌĀ est en kg/m¬≥, le volume de fluide d√©plac√© V en m¬≥ et la valeur de la pesanteur g en N/kg (ou m/s¬≤).

Démonstration

Expérience de pensée

Consid√©rons un fluide au repos. D√©limitons, par une exp√©rience de pens√©e, un certain volume de forme quelconque au sein de ce fluide. Ce volume est lui aussi au repos : malgr√© son poids, ce volume ne tombe pas. Cela signifie donc que son poids est rigoureusement √©quilibr√© par une force oppos√©e, qui le maintient sur place, et qui provient du fluide ext√©rieur. Rempla√ßons maintenant, toujours dans notre exp√©rience de pens√©e, ce volume par un corps quelconque. Comme la force qui maintenait le fluide en √©quilibre est une force de pression agissant √† la surface du volume, il est possible de supposer que cette m√™me force s'applique encore au corps immerg√©  : elle est toujours oppos√©e au poids de fluide d√©plac√©. C'est la pouss√©e d'Archim√®de. Le fait que les champs de force soient identiques pour le fluide homog√®ne au repos et pour le corps immerg√© dans le fluide au repos est appel√© ¬ę th√©or√®me de solidification ¬Ľ.

Idée de calcul

Supposons un cube d'arête a entièrement immergé dans un liquide, sa face du haut étant horizontale et située à une profondeur z1 > 0 (le sens positif est vers le bas).

Dans le cas d'un liquide incompressible au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme, la pression absolue p vaut

p = po + p h ,

o√Ļ po est la pression atmosph√©rique et p h la pression hydrostatique.

À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond au poids P d'une colonne de liquide (que l'on peut imaginer cylindrique) de hauteur z et de base A, divisé par la base. Or

P = m g = [ŌĀ (z A)] g ,

o√Ļ m est la masse de la colonne, zA son volume, ŌĀ la masse volumique (suppos√©e uniforme) du liquide et g l'acc√©l√©ration de la gravit√©, ce qui donne

p h = P / A = ŌĀ g z .

La pression absolue vaut donc

p = po + ŌĀ g z .

Par symétrie, les forces de pression exercées sur les quatre faces verticales du cube s'annulent deux à deux.

La force F 1 exerc√©e vers le bas sur la face du haut, d'aire A = a‚ÄČ2, vaut

F1 = p 1 A = (po + ŌĀ‚ÄČg‚ÄČz1) a 2.

La force F2 exercée vers le haut sur la face du bas, située à la profondeur z2 = z1 + a, vaut

F2 = p‚ÄČ2‚ÄČA = (po + ŌĀ‚ÄČg‚ÄČz2)‚ÄČa‚ÄČ2 = [po + ŌĀ‚ÄČg‚ÄČ(z1 + a)]‚ÄČa‚ÄČ2.

La résultante F de toutes les forces de pression vaut donc

F = F1 ‚Äď F2 = ‚Äď (ŌĀ‚ÄČg‚ÄČa)‚ÄČa‚ÄČ2 = ‚Äď ŌĀ‚ÄČg‚ÄČa‚ÄČ3 = ‚Äď ŌĀ‚ÄČg‚ÄČV = ‚Äď ŌĀV‚ÄČg = ‚Äď M‚ÄČf‚ÄČg ,

o√Ļ V = a‚ÄČ3 est le volume du cube, c'est-√†-dire en l'occurrence le volume immerg√©, et M‚ÄČf la masse du fluide contenu dans un volume V. La grandeur de la force r√©sultante est donc bien √©gale √† celle du poids M‚ÄČf‚ÄČg du volume de fluide d√©plac√© ; cette force √©tant n√©gative, elle est bien orient√©e verticalement vers le haut.

Il est possible de généraliser la démonstration précédente à un volume de forme quelconque. Il suffit de décomposer la surface bordant le volume en une infinité d'éléments infinitésimaux dS supposés plans, puis de faire la somme, à l'aide du calcul intégral, de toutes les forces infinitésimales df exercées sur chaque élément de surface.

Démonstration plus générale

Supposons un volume quelconque \mathcal{V}\,, délimité par une surface fermée \Sigma\,, plongé entièrement dans un fluide de masse volumique \rho\, soumis à un champ de pesanteur uniforme \vec{g}\,.

On cherche √† d√©terminer la r√©sultante des forces de pression exerc√©es sur le volume :

\vec{F} = \int_{\Sigma} d\vec{f}.

Par définition de la pression p\,, on a

d\vec{f} = - \, p \, d\vec{S}

o√Ļ d\vec{S}\, est un √©l√©ment infinit√©simal de la surface consid√©r√©e, orient√© par convention vers l'ext√©rieur de cette surface, et d\vec{f}\, l'√©l√©ment infinit√©simal de force qui s'y exerce. On cherche donc √† d√©terminer

 \vec{F} = - \int_{\Sigma} p \, d\vec{S}

Pour les besoins de la d√©monstration, consid√©rons maintenant l'int√©grale I\, suivante, o√Ļ l'on supposera que \vec{u}\, repr√©sente un champ de vecteurs uniforme et non nul :

 I =\left ( \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} \right ) \cdot \vec{u}

 \vec{u}\, étant uniforme, on peut aussi bien écrire

 I =\int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S}

Selon le théorème de flux-divergence,

 \int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S} = \int_{\mathcal{V}} \operatorname{div} (p \, \vec{u}) \, dV

Or, d'après l'une des formules de Leibniz de l'analyse vectorielle,

 \operatorname{div}(p \, \vec{u}) = \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u} + p \, \operatorname{div} (\vec{u})

Et puisque la divergence d'un champ de vecteurs uniforme est nulle, on a

 \operatorname{div}(p \,  \vec{u}) = \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u}

Par conséquent,

 I =\int_{\Sigma} p \, \vec{u} \cdot d\vec{S} = \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \cdot \vec{u} \ dV

\vec{u}\, √©tant uniforme, on peut aussi bien √©crire :

 I =\left ( \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} \right ) \cdot \vec{u} =  \left ( \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \,  dV \right ) \cdot \vec{u}

On en déduit donc que

 \vec{F} = - \int_{\Sigma} p \, d\vec{S} = - \int_{\mathcal{V}} \vec{\operatorname{grad}} (p) \, dV

Or, d'après la loi fondamentale de l'hydrostatique,

 \vec{\operatorname{grad}} (p) = \rho \, \vec{g}

D'o√Ļ

 \vec{F}= - \int_{\mathcal{V}} \rho \, \vec{g} \, dV = - \left ( \int_{\mathcal{V}} \rho \, dV \right ) \vec{g} = - \, M_{\rm f\,} \vec{g}

La résultante des forces de pression est donc égale en grandeur au poids du volume de fluide déplacé, mais orientée dans le sens contraire du poids, c'est-à-dire vers le haut.

Applications

Exemple d'un solide entièrement immergé

Trois solides de densités différentes peuvent subir une poussée d'Archimède inférieure, égale ou supérieure à leur poids.

Immergeons enti√®rement un solide de volume V, de masse m et de masse volumique ŌĀ dans un fluide de masse volumique ŌĀf uniforme, puis rel√Ęchons-le √† partir du repos. Au d√©part, la vitesse √©tant nulle, deux forces seulement agissent sur le solide : son poids Fp (vers le bas) et la pouss√©e d'Archim√®de Fa (vers le haut).

Fp = ŌĀV‚ÄČg
Fa = ŌĀfV‚ÄČg
Fp / Fa = ŌĀ / ŌĀf

Le rapport des masses volumiques est en l'occurrence équivalent à celui des densités.

  • Si la densit√© du solide est sup√©rieure √† celle du fluide, alors Fp > Fa et le solide coule.
  • Si la densit√© du solide est √©gale √† celle du fluide, alors Fp = Fa et le solide demeure immobile ; il est en √©quilibre neutre ou indiff√©rent.
  • Si la densit√© du solide est inf√©rieure √† celle du fluide, alors Fp < Fa et le solide remonte vers la surface.

Dans les deux cas o√Ļ le solide n'est pas en √©quilibre, son mouvement ult√©rieur est d√©termin√© par trois forces : son poids, la pouss√©e d'Archim√®de (oppos√©e au poids) et une force de frottement visqueux Ff (oppos√©e √† la vitesse).

Selon la deuxi√®me loi du mouvement de Newton, on a alors :

Fp ‚Äď Fa ¬Ī Ff = m‚ÄČa (le sens positif est vers le bas)

o√Ļ a est l'acc√©l√©ration du solide.

Comme la force de frottement visqueux n'est pas constante, mais qu'elle augmente avec la vitesse, l'accélération diminue graduellement, de sorte que le solide atteint[2] plus ou moins rapidement une vitesse limite, lorsque la résultante des forces est nulle.

Exemple d'un solide flottant à la surface d'un liquide

La poussée d'Archimède équilibre le poids du solide.
En réalité, le point d'application[3] de la poussée d'Archimède devrait se trouver au centre du volume immergé, donc plus bas que le centre de gravité du solide.

Consid√©rons un solide de volume V et de masse volumique ŌĀS flottant √† la surface d'un liquide de masse volumique ŌĀL. Si le solide flotte, c'est que son poids est √©quilibr√© par la pouss√©e d'Archim√®de :

Fa = Fp .

La pouss√©e d'Archim√®de √©tant √©gale (en grandeur) au poids du volume de liquide d√©plac√© (√©quivalent au volume V‚ÄČi immerg√©), on peut √©crire :

ŌĀLV‚ÄČi‚ÄČg = ŌĀSV‚ÄČg .

Le volume immergé vaut donc

V‚ÄČi = (‚ÄČŌĀS‚ÄČ/‚ÄČŌĀL‚ÄČ)‚ÄČV .

Puisque V > V‚ÄČi, il s'ensuit que ŌĀS < ŌĀL‚ÄČ.

Application au cas d'un iceberg

Consid√©rons un morceau de glace pure √† 0‚ÄȬįC flottant dans de l'eau de mer. Soit ŌĀS = 0,917 kg/dm3 et ŌĀL = 1,025 kg/dm3 (on aurait ŌĀL = 1,000 kg/dm3 pour de l'eau pure √† 3,98‚ÄȬįC). Le rapport ŌĀS /‚ÄČŌĀL (c‚Äôest-√†-dire la densit√© relative) est de 0,895, si bien que le volume immerg√© V‚ÄČi repr√©sente pr√®s de 90% du volume total V de l'iceberg.

Un glaçon qui fond dans un verre

Le volume de glace immergée correspond au volume d'eau produit par la fonte du glaçon.

Il est facile de v√©rifier que la fonte d'un morceau de glace pure flottant sur de l'eau pure se produit sans changement de niveau de l'eau. Le volume de glace immerg√© correspond en effet au volume d'eau liquide n√©cessaire pour √©galer le poids du gla√ßon. En fondant, le gla√ßon produit (par conservation de la masse) exactement ce volume d'eau, qui ¬ę bouche le trou laiss√© par la disparition de la glace solide ¬Ľ. Le niveau d'eau reste le m√™me. Sur la figure ci-contre, le volume d√©limit√© en pointill√© est, dans le verre de gauche, le volume de glace immerg√©e, et dans le verre de droite, le volume d'eau liquide produit par la fonte du gla√ßon.

On peut √©galement faire le calcul suivant : si on consid√®re, par exemple, un gla√ßon de 1 cm3 et de masse volumique 0,917 g‚čÖcm-3 (qui contient donc 0,917 g d'eau), le volume immerg√© sera de 0,917 cm3 (comme pour un iceberg, la majeure partie est sous l'eau). Lorsque le gla√ßon aura fondu, ces 0,917 g d'eau qui auront d√©sormais une masse volumique de 1 g‚čÖcm-3 occuperont exactement le volume qu'occupait la partie immerg√©e du gla√ßon.

Autres exemples d'application de la poussée d'Archimède

La salinité de la mer Morte permet à une personne de flotter tout en étant couchée.
  • Le principe d'Archim√®de s'applique √† des fluides, c‚Äôest-√†-dire aussi bien √† des liquides qu'√† des gaz. C'est ainsi gr√Ęce √† la pouss√©e d'Archim√®de qu'une montgolfi√®re ou un dirigeable peuvent s'√©lever dans les airs (dans les deux cas, un gaz de masse volumique plus faible que l'air est utilis√©, que ce soit de l'air chauff√© ou de l'h√©lium).
  • Un plongeur se met √† ¬ę couler ¬Ľ vers -12 m dans l'Atlantique ou la M√©diterran√©e car sa densit√© augmente avec la profondeur (√† cause de la compression croissante, particuli√®rement des bulles contenues dans le n√©opr√®ne de sa combinaison : sa masse ne change pas mais son volume diminue) jusqu'√† atteindre et d√©passer celle du milieu ambiant.
  • L'eau douce ayant une masse volumique plus faible que l'eau sal√©e, la pouss√©e d'Archim√®de est plus forte dans la mer Morte (mer la plus sal√©e du monde) que dans un lac. Il est donc plus facile d'y flotter.
  • Les spationautes s'entra√ģnent aux exercices dans l'espace dans des piscines o√Ļ, gr√Ęce √† la pouss√©e d'Archim√®de qui √©quilibre leur poids, ils peuvent conna√ģtre un √©tat qui s'apparente jusqu'√† un certain point √† l'impesanteur.
  • Le poids des navires (et donc leur masse volumique) variant suivant qu'ils soient en charge ou sur lest, la pouss√©e d'Archim√®de va √©galement varier. Pour maintenir un niveau de flottaison (tirant d'eau) constant et assurer une meilleure stabilit√©, les navires sont pourvus de ballasts qu'ils peuvent remplir ou vider suivant leur cargaison ou la salinit√© de l'eau dans laquelle ils naviguent.(Voir aussi car√®ne).
  • Les sous-marins contr√īlent leur masse volumique en utilisant √©galement des ballasts.
  • Le ludion.

Point d'application

Tout se passe comme si la poussée d'Archimède s'appliquait au centre de carène, c'est-à-dire au centre de gravité du volume de fluide déplacé[3].

Cette caract√©ristique est importante pour le calcul de la stabilit√© d'un sous-marin en plong√©e ou d'un a√©rostat : sous peine de voir l'engin se retourner, il est n√©cessaire que le centre de car√®ne soit situ√© au-dessus du centre de gravit√©.

Pour ce qui est d'un navire, en revanche, le centre de carène est souvent situé au-dessous du centre de gravité (par exemple pour une planche à voile). Cependant, lorsque la pénétration de l'objet dans le fluide évolue, le centre de carène se déplace, créant un couple qui vient s'opposer au mouvement. La stabilité est alors assurée par la position du métacentre, qui est le point d'application des variations de la poussée. Ce métacentre doit se trouver au-dessus du centre de gravité.

De façon anecdotique, on peut remarquer que les concepteurs de sous-marins doivent s'assurer simultanément de deux types d'équilibres pour leurs engins.

Notes

  1. ‚ÜĎ Vitruve, ¬ę De Architectura, Livre IX, chap.3, paragraphes 9‚Äď12 ¬Ľ, Universit√© de Chicago. Consult√© le 2009-05-08
  2. ‚ÜĎ Math√©matiquement, le solide tend de fa√ßon asymptotique vers une vitesse limite. En pratique, on consid√®re la vitesse limite atteinte quand l'acc√©l√©ration n'est plus perceptible.
  3. ‚ÜĎ a‚ÄČ et b‚ÄČ Comme le poids, la pouss√©e d'Archim√®de n'est pas une force unique, mais une r√©sultante. Elle n'a donc pas √† proprement parler de point d'application.

Voir aussi

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