Polygone

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Polygone
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En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gÎnia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.

Il peut ĂȘtre convexe ou non, voire croisĂ© si au moins deux cĂŽtĂ©s non consĂ©cutifs sont d'intersection non vide.

Lorsqu'un polygone n'est pas croisé, la somme de ses angles ne dépend que de son nombre de sommets.

Le bord d'un polygone est un cas particulier de ligne brisée.

La notion de polygone est généralisée en dimension supérieure par celles de polyÚdre et de polytope.

Des polygones

Sommaire

Vocabulaire de base

Un polygone est constituĂ© :

  • d'une suite finie[1] de points du plan appelĂ©s sommets[2] ;
  • des segments reliant les couples de sommets consĂ©cutifs ainsi que d'un segment reliant le premier et le dernier point, tous ces segments Ă©tant appelĂ©s cĂŽtĂ©s ;
  • d'une partie ouverte et bornĂ©e du plan, appelĂ©e intĂ©rieur et dont la frontiĂšre est contenue dans la rĂ©union des cĂŽtĂ©s.
Représentation d'un polygone ABCDEF.

Un polygone est en général désigné par la juxtaposition des lettres désignant les sommets, dans l'ordre de la suite.

L'ordre d'un polygone est le nombre de ses sommets.

La dĂ©signation d'un polygone en toute gĂ©nĂ©ralitĂ© s'Ă©crit donc A1A2A3...An, constituĂ© de n sommets et de n segments [A1A2], [A2A3]
 [An − 1An] et [AnA1].

On dĂ©nomme alors polygone la figure notĂ©e « A1A2A3...An Â», et constituĂ©e par la suite des n segments : [A1A2], [A2A3], ... [An-1An] et [AnA1].

À chaque sommet est associĂ© un angle, c'est l'angle entre les deux cĂŽtĂ©s qui aboutissent au sommet.

Ordre d'un polygone

Le nombre n des cÎtés d'un polygone est communément appelé ordre de ce polygone. C'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles. Par exemple, un polygone d'ordre cinq détient cinq sommets, cinq angles et cinq cÎtés.

Eléments opposés

  • Si l'ordre d'un polygone est pair :
  • les sommets sĂ©parĂ©s par n/2 cĂŽtĂ©s sont dits « opposĂ©s Â» entre eux ;
  • mĂȘme chose pour les angles correspondants ;
  • les cĂŽtĂ©s sĂ©parĂ©s par n/2 sommets sont dits eux aussi « opposĂ©s Â» entre eux.
  • Si l'ordre du polygone est impair, les cĂŽtĂ©s sont « opposĂ©s Â» aux sommets et aux angles ( et vice versa ) ; plus prĂ©cisĂ©ment, chaque sommet ( ou chaque angle ) est « opposĂ© Â» au cĂŽtĂ© situĂ© (n - 1)/2 sommets plus loin.

CÎtés prolongés et diagonales

Les droites qui portent les cÎtés d'un polygone sont appelées les cÎtés prolongés de ce polygone.

Les cÎtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les sommets entre eux. Tout segment reliant deux sommets d'un polygone et autre qu'un cÎté est appelé diagonale de ce polygone.

Un polygone à n cÎtés possÚde ainsi \frac{n(n-3)}{2}\, diagonales.

Typologie des polygones

Il existe de nombreuses maniĂšres de classer les polygones : en fonction de leur convexitĂ©, de leurs symĂ©tries, de leurs angles... Mais on les classe d'abord suivant leur nombre de cĂŽtĂ©s.

Classement suivant le nombre de cÎtés

Les polygones peuvent ĂȘtre classĂ©s entre eux suivant leur nombre de cĂŽtĂ©s, c'est-Ă -dire leur ordre.

Le polygone le plus Ă©lĂ©mentaire est le triangle : un polygone possĂšde au moins trois sommets et trois cĂŽtĂ©s.

Vient ensuite le quadrilatÚre, à quatre cÎtés et quatre sommets.

À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est formĂ© d'une racine grecque correspondant Ă  l'ordre du polygone suivie du suffixe -gone.

Pour s'y retrouver dans la dĂ©nomination des polygones, il faut retenir que -kai- signifie « et Â» en grec, et que -conta- signifie « dizaine Â». Par exemple, le mot triacontakaiheptagone signifie trois (tria-) dizaines (-conta-) et (-kai-) sept (-hepta-) unitĂ©s, et correspond donc Ă  un polygone de trente-sept cĂŽtĂ©s, "et" Ă©tant interprĂ©tĂ© ici comme "plus".

Au-delĂ  de douze cĂŽtĂ©s, la coutume incite Ă  parler de polygone Ă  n cĂŽtĂ©s oĂč n est remplacĂ© par le nombre souhaitĂ©, ceci afin de simplifier les choses.

Il existe cependant plusieurs dĂ©nominations anciennes pour des nombres « ronds Â» comme pour un polygone Ă  vingt cĂŽtĂ©s (icosa-), Ă  cent cĂŽtĂ©s (hecto-) et Ă  dix mille cĂŽtĂ©s (myria-).

DĂ©nominations des polygones
Nombre de cÎtés Nom
1 cÎté dégénéré
hénagone ou monogone (objet impossible en géométrie euclidienne[3])
2 cÎtés dégénérés digone
3 cÎtés triangle ou trigone
4 cÎtés quadrilatÚre ou tétragone
5 cÎtés pentagone
6 cÎtés hexagone
7 cÎtés heptagone
8 cÎtés octogone
9 cÎtés ennéagone ou nonagone
10 cÎtés décagone
11 cÎtés hendécagone
12 cÎtés dodécagone
13 cÎtés tridécagone ou triskaidécagone
14 cÎtés tétradécagone ou tétrakaidécagone ou quadridécagone
15 cÎtés pentadécagone ou pentakaidécagone ou quidécagone
16 cÎtés hexadécagone ou hexakaidécagone
17 cÎtés heptadécagone ou heptakaidécagone
18 cÎtés octadécagone ou octakaidécagone
19 cÎtés ennéadécagone ou ennéakaidécagone
20 cÎtés icosagone
21 cÎtés henicosagone ou icosikaihenagone
22 cÎtés doicosagone ou icosikaidigone
23 cÎtés triaicosagone ou icosikaitrigone
24 cÎtés tétraicosagone ou icosikaitétragone
25 cÎtés pentaicosagone ou icosikaipentagone
26 cÎtés hexaicosagone ou icosikaihexagone
27 cÎtés heptaicosagone ou icosikaiheptagone
28 cÎtés octaicosagone ou icosikaioctagone
29 cÎtés ennéaicosagone ou icosikaiennéagone
30 cÎtés triacontagone
31 cÎtés hentriacontagone ou triacontakaihenagone
32 cÎtés dotriacontagone ou triacontakaidigone
33 cÎtés tritriacontagone ou triacontakaitrigone
34 cÎtés tétratriacontagone ou triacontakaitétragone
35 cÎtés pentatriacontagone ou triacontakaipentagone
36 cÎtés hexatriacontagone ou triacontakaihexagone
37 cÎtés heptatriacontagone ou triacontakaiheptagone
38 cÎtés octatriacontagone ou triacontakaioctogone
39 cÎtés ennéatriacontagone ou triacontakaiennégone
40 cÎtés tétracontagone
50 cÎtés pentacontagone
60 cÎtés hexacontagone
70 cÎtés heptacontagone
80 cÎtés octacontagone
90 cÎtés ennéacontagone
100 cÎtés hectogone ou hécatontagone
200 cÎtés dihectogone
300 cÎtés trihectogone
400 cÎtés tétrahectogone
500 cÎtés pentahectogone
600 cÎtés hexahectogone
700 cÎtés heptahectogone
800 cÎtés octahectogone
900 cÎtés ennéahectogone
1 000 cĂŽtĂ©s chiliogone ou chiliagone ou chiligone[4]
10 000 cĂŽtĂ©s myriagone ou myriogone[4]

Les mĂȘmes principes s'appliquent aux polyĂšdres, oĂč il suffit de remplacer le suffixe -gone par le suffixe -Ăšdre.

Classement par convexité

On rappelle qu'une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un cÎté du polygone.

Pentagone croisé.

Exemple : les segments [AC], [AD], [BD], [BE], [CE] sont les 5 diagonales du pentagone ABCDE ci-contre.

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses cÎtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses cÎtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-contre (à droite).

L' enveloppe d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses cÎtés.

Polygone concave

Polygone concave.

Un polygone est dit concave s'il n'est pas croisé et si l'une de ses diagonales n'est pas entiÚrement à l'interieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-contre ( à droite ) est dit concave car les diagonales [BC] et [CE] sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone convexe

Polygone convexe.

Un polygone est dit convexe s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entiÚrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-contre (à droite) est dit convexe.

Polygone étoilé

L' enveloppe convexe d'un polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Attention : l'enveloppe convexe d'un polygone et le polygone lui-mĂȘme ne se confondent que si celui-ci est convexe !

Un polygone est alors dit étoilé si (et seulement si) aucun de ses cÎtés n'appartient à son enveloppe convexe.

Par exemple, le pentagone croisé précédent et son enveloppe sont étoilés tous les deux.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut prĂ©senter des rĂ©gularitĂ©s (appelĂ©es symĂ©tries) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que des rotations ou des rĂ©flexions. L'Ă©lĂ©ment de symĂ©trie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :

  • pour une symĂ©trie centrale, l'Ă©lĂ©ment de symĂ©trie est le centre de symĂ©trie ;
  • pour une symĂ©trie axiale, l'Ă©lĂ©ment de symĂ©trie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
  • pour une rotation, l'Ă©lĂ©ment de symĂ©trie est le centre de rotation. Pour dĂ©finir prĂ©cisĂ©ment une rotation, il faut prĂ©ciser, outre son centre de rotation, son angle. On peut aussi dĂ©finir une rotation en donnant son centre et son ordre, qui indique combien de fois il faut appliquer la rotation pour revenir au point de dĂ©part. Il existe des rotations d'ordre infini, mais lorsqu'il est fini, son produit avec l'angle de la rotation est toujours Ă©gal Ă  un multiple de 2 π radians (ou 1 tour ou 360°...).

On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux.

On dit qu'un polygone (ou plus généralement toute figure de géométrie) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante.

Dans le cas d'un polygone, tous les Ă©lĂ©ments de symĂ©trie passent par un mĂȘme point. Lorsqu'il est unique, ce point est appelĂ© centre du polygone.

Lien avec la théorie des groupes

L'ensemble des symétries d'un polygone (ou en fait de tout autre objet géométrique) est un exemple typique de groupe. En effet, lorsqu'on compose deux symétries d'un polygone (c'est-à-dire qu'on effectue l'une puis l'autre) le résultat est encore une symétrie de ce polygone, la composition forme donc une loi de groupe sur l'ensemble des symétries d'un polygone. Ainsi la théorie des groupes permet-elle une étude simple et générale des symétries d'un polygone.

Notion de polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il est convexe et présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de cÎtés.

Ennéagone régulier.

Cela signifie qu'il se superpose Ă  lui-mĂȘme quand on le tourne d'un angle de {2 \pi \over n} , oĂč n est l'ordre du polygone.

Le polygone prĂ©sente ainsi la mĂȘme configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposĂ©s rĂ©guliĂšrement sur un cercle centrĂ© sur l'axe de rotation.

Un polygone rĂ©gulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les cĂŽtĂ©s ont la mĂȘme longueur (et les angles la mĂȘme mesure).

Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses cÎtés sont égaux (ou ses angles égaux ), alors il est régulier.

L'ensemble des symétries d'un polygone régulier est appelé un groupe dihédral.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le triangle Ă©quilatĂ©ral est un polygone rĂ©gulier ;
  • le carrĂ© est un polygone rĂ©gulier ;
  • le losange (non carrĂ©) n'est pas rĂ©gulier (il n'est pas inscriptible dans un cercle).

Polygone isocĂšle

Polygone isocĂšle d'ordre impair (triangle isocĂšle).

Un polygone est dit isocÚle quand il présente au moins un axe-miroir.

Les axes-miroirs passent nécessairement par des sommets ou des milieux des cÎtés du polygone.

Plus prĂ©cisĂ©ment :

  • si l'ordre du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du cĂŽtĂ© opposĂ© ( mĂ©diane, voir plus bas );
  • si l'ordre du polygone est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommets opposĂ©s ( diagonale principale, voir plus bas ), soit par les milieux de deux cĂŽtĂ©s opposĂ©s ( mĂ©diane, voir plus bas ).

Un polygone isocÚle qui présente plusieurs axes-miroir a nécessairement un centre, le point d'intersection des axes-miroir.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • tout polygone rĂ©gulier est isocĂšle et prĂ©sente autant d'axes-miroir que de cĂŽtĂ©s ;
  • le triangle isocĂšle, qui a deux cĂŽtĂ©s Ă©gaux, prĂ©sente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux cĂŽtĂ©s Ă©gaux et le milieu du cĂŽtĂ© opposĂ© ;
  • les quadrilatĂšres isocĂšles convexes sont :
  • le trapĂšze isocĂšle ; son axe-miroir passe par les milieux de ses deux cĂŽtĂ©s parallĂšles ;
  • le cerf-volant est isocĂšle ; il prĂ©sente un axe-miroir qui est portĂ© par une diagonale et qui est la mĂ©diatrice de l'autre diagonale ;
  • le rectangle peut ĂȘtre vu comme un cas particulier de trapĂšze isocĂšle ; il prĂ©sente deux axes-miroirs qui sont portĂ©s par ses mĂ©dianes ;
  • le losange, qui est un cas particulier de cerf-volant, est donc isocĂšle ; il prĂ©sente deux axes-miroirs qui sont portĂ©s par ses diagonales ;
  • le carrĂ© est un polygone rĂ©gulier donc il est isocĂšle ; il prĂ©sente quatre axes-miroir : ceux du losange et ceux du rectangle dont il est un cas particulier ;
  • le parallĂ©logramme n'est pas isocĂšle (sauf s'il s'agit d'un losange ou d'un rectangle).

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie.

Tout polygone centrosymĂ©trique a nĂ©cessairement un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones d'ordre pair peuvent ĂȘtre centrosymĂ©triques.

Les cĂŽtĂ©s opposĂ©s d'un polygone centrosymĂ©trique sont parallĂšles et de mĂȘme longueur (ordre du polygone pair).

Polygone centrosymétrique (parallélogramme).

Quelques exemples et contre-exemples :

  • les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symĂ©trie ;
  • les quadrilatĂšres centrosymĂ©triques sont les parallĂ©logrammes (cĂŽtĂ©s opposĂ©s parallĂšles et de mĂȘme longueur) ;
  • les seuls quadrilatĂšres prĂ©sentant Ă  la fois un centre de symĂ©trie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
  • tout polygone rĂ©gulier d'ordre pair a un centre de symĂ©trie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus briÚvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n.

Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de cÎtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de cÎtés.

Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • un triangle ne peut prĂ©senter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors rĂ©gulier, donc Ă©quilatĂ©ral ;
  • tout quadrilatĂšre rotosymĂ©trique est centrosymĂ©trique ;
  • le cas le plus simple de polygone rotosymĂ©trique sans ĂȘtre centrosymĂ©trique ou rĂ©gulier est celui de l'hexagone 3-rotosymĂ©trique ;
  • tout polygone rĂ©gulier prĂ©sente par dĂ©finition un axe de rotation du mĂȘme ordre que le polygone ;
  • tout polygone convexe d'ordre premier prĂ©sentant un axe de rotation est rĂ©gulier.
Polygone scalĂšne (triangle scalĂšne).

Polygone scalĂšne

Un polygone scalÚne est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie. Un polygone scalÚne n'a donc pas de centre de symétrie.

Classement par les angles

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus ;
  • un quadrilatĂšre rectangle comporte au moins un angle droit ; ce n'est cependant pas forcĂ©ment un rectangle, qui en comporte quatre ;
  • dĂšs qu'un trapĂšze comporte un angle droit, c'est un trapĂšze rectangle ; mais tout trapĂšze rectangle comporte forcĂ©ment au moins deux angles droits adjacents ;
  • le seul polygone rĂ©gulier rectangle est le carrĂ©. C'est d'ailleurs un cas particulier de rectangle, avec quatre angles droits.

Polygone birectangle

Un polygone est dit birectangle quand il comporte au moins deux angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • aucun triangle n'est birectangle, du moins en gĂ©omĂ©trie euclidienne (il existe des triangles birectangles, et mĂȘme trirectangles, sur une sphĂšre) ;
  • les quadrilatĂšres convexes birectangles sont :
  • les trapĂšzes rectangles, qui prĂ©sentent deux angles droits consĂ©cutifs ;
  • les semi-rectangles, qui prĂ©sentent deux angles droits non consĂ©cutifs ; on peut les dĂ©crire comme deux triangles rectangles accolĂ©s par leur hypotĂ©nuse ;
  • le seul trapĂšze semi-rectangle est le rectangle ;
  • le seul polygone rĂ©gulier birectangle est le carrĂ©.

Un polygone avec deux angles droits consécutifs présente deux cÎtés parallÚles.

Polygone trirectangle

Un polygone est dit trirectangle quand il comporte au moins trois angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • aucun triangle n'est trirectangle ;
  • les seuls quadrilatĂšres convexes trirectangles sont les rectangles, qui comptent d'ailleurs quatre angles droits ;
  • le seul polygone rĂ©gulier trirectangle est le carrĂ©.

Un polygone convexe avec trois angles droits consécutifs présente deux fois deux cÎtés parallÚles. Il ressemble en fait à un rectangle avec un coin découpé.

Polygone Ă©quiangle

Un polygone est dit Ă©quiangle quand tous ses angles sont Ă©gaux.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • le seul triangle Ă©quiangle est le triangle Ă©quilatĂ©ral ;
  • les quadrilatĂšres convexes Ă©quiangles sont les rectangles ;
  • tous les polygones rĂ©guliers sont Ă©quiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Polygone équilatéral (heptagone régulier).

Un polygone est dit Ă©quilatĂ©ral quand tous ses cĂŽtĂ©s ont la mĂȘme longueur.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • les quadrilatĂšres convexes Ă©quilatĂ©raux sont les losanges ;
  • tous les polygones rĂ©guliers sont Ă©quilatĂ©raux.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un mĂȘme cercle, dit circonscrit au polygone. Ses cĂŽtĂ©s sont alors des cordes de ce cercle, d'oĂč le nom de polygone de cordes donnĂ© par les anglophones aux polygones inscriptibles.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • tout triangle est inscriptible ;
  • un trapĂšze n'est inscriptible que s'il est isocĂšle ;
  • tout semi-rectangle est inscriptible ;
  • le seul parallĂ©logramme inscriptible est le rectangle ;
  • tout polygone rĂ©gulier est inscriptible.
Article dĂ©taillĂ© : QuadrilatĂšre inscriptible.

Polygone circonscriptible (Ă  un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses cĂŽtĂ©s sont tangents Ă  un mĂȘme cercle, dit inscrit dans le polygone. Les anglophones ont baptisĂ©s polygone de tangentes ce type de polygone.

Quelques exemples et contre-exemples :

  • tout triangle est circonscriptible ;
  • les seuls parallĂ©logrammes circonscriptibles sont les losanges ;
  • tout polygone rĂ©gulier est circonscriptible ;
  • voir aussi : ThĂ©orĂšme de Pitot

Autres définitions et propriétés

MĂ©diatrices d'un polygone

Ce sont les médiatrices ( la droite qui coupe perpendiculairement et en son milieu un segment ) de ses cÎtés.

Bissectrices d'un polygone

Ce sont les bissectrices de ses angles.

MĂ©dianes et diagonales principales d'un polygone

  • Si l'ordre n du polygone est pair :
  • on appelle diagonale principale de ce polygone tout segment reliant deux sommets opposĂ©s. Ces diagonales principales sont au nombre de \frac{n}{2}\,. Si le polygone est rĂ©gulier, ses diagonales principales sont aussi appelĂ©es diamĂštres, car elles sont alors aussi des diamĂštres du cercle circonscrit au polygone.
  • on appelle mĂ©diane de ce polygone tout segment reliant les milieux de deux cĂŽtĂ©s opposĂ©s. Ces mĂ©dianes sont aussi au nombre de \frac{n}{2}\,.
  • Si l'ordre du polygone est impair, il n'y a pas de diagonales principales, seulement des mĂ©dianes. Chaque mĂ©diane relie alors un sommet au milieu du cĂŽtĂ© opposĂ©. Elles sont alors au nombre de  n \,.

ApothĂšmes et rayons d'un polygone Ă  centre

Apothéme d'un hexagone.

Les apothÚmes d'un polygone à centre relient les milieux de ses cÎtés à son centre.

Si le polygone est rĂ©gulier, ce sont aussi :

  • les demi-mĂ©dianes du polygone, s'il est d'ordre pair ;
  • les lignes de construction dĂ©finissant les mĂ©diatrices de ses cĂŽtĂ©s ;
  • des rayons du cercle inscrit dans le polygone.

Les rayons d'un polygone Ă  centre relient ses sommets Ă  son centre.

Si le polygone est rĂ©gulier, ce sont aussi :

  • les demi-diamĂštres du polygone, s'il est d'ordre pair ;
  • des rayons du cercle circonscrit au polygone.

Notion d'angle au centre

Soit A1A2A3...An un polygone à n cÎtés muni d'un centre O.

On appelle angle au centre du polygone l'angle \widehat{A_i O A_i}_{+1} \, formé par deux rayons consécutifs de ce polygone.

Si le polygone considĂ©rĂ© est rĂ©gulier, les n angles au centre ont tous la mĂȘme mesure, 2π / n radians, et c'est aussi la mesure de l'angle entre deux apothĂšmes consĂ©cutifs.

Somme des angles

La somme des angles d'un polygone non croisĂ© d'ordre n ne porte pas de nom particulier, mais vaut (en radians et en degrĂ©s) :

S = (n - 2)\times\pi~\mathrm{rad}=(n-2)\times180^\circ=n \times180^\circ-360^\circ.

En effet, cette formule, bien connue pour n=3, se généralise en découpant le polygone en n-2 triangles.

À noter que lorsque l'ordre d'un polygone augmente d'une unitĂ©, la somme de ses angles augmente de 180° ou π radians : c'est le supplĂ©ment d'angle.

PĂ©rimĂštre d'un polygone

Le pĂ©rimĂštre d'un polygone est la somme des longueurs de ses cĂŽtĂ©s. La formule en est donnĂ©e par François ViĂšte au XVIe siĂšcle.[rĂ©f. souhaitĂ©e]

Si le polygone est rĂ©gulier, son pĂ©rimĂštre P vaut :

 P = 2 n R \sin( \alpha / 2 ) \,

oĂč :

  • n est l'ordre du polygone ;
  • \alpha \, est son angle au centre ;
  • et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme \alpha \, vaut 2π / n radians, et que sin x ≈ x quand x est voisin de 0, le pĂ©rimĂštre tend vers 2 π R quand n tend vers l'infini. On retrouve bien le pĂ©rimĂštre du cercle.

Aire d'un polygone

Article dĂ©taillĂ© : Aire et centre de masse d'un polygone.

L'aire d'un polygone non croisé est l'aire de la surface enclose par le polygone.

Si le polygone est rĂ©gulier, son aire A vaut :

 A = n R^2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \,

oĂč :

  • n est l'ordre du polygone ;
  • \alpha \, est son angle au centre ;
  • et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme l'angle au centre vaut 2 π / n radians, et que sin x ≈ x et cos x ≈ 1 quand x est voisin de 0, l'aire tend vers π R2 quand n tend vers l'infini. On retrouve bien l'aire du disque.

Il existe une seconde formule possible pour calculer l'aire d'un polygone rĂ©gulier : A = \frac{a \times P}{2}

oĂč a est l'apothĂšme du polygone et P son pĂ©rimĂštre.

Lorsque le polygone est irrégulier, il est facile de le partitionner en triangles à partir des diagonales. Pour calculer son aire, il suffit alors de faire la somme des aires des triangles obtenus.

Voir aussi

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Articles connexes

Liens externes

Références

  1. ↑ Il s'agit plus exactement d'une suite cyclique, c'est-Ă -dire que le premier terme est le successeur du dernier et qu'un dĂ©calage des termes de la suite dĂ©crit le mĂȘme polygone.
  2. ↑ Plusieurs sommets peuvent coĂŻncider en un mĂȘme point. Un sommet est donc plutĂŽt un terme de la suite qu'une image dans le plan.
  3. ↑ En gĂ©omĂ©trie sphĂ©rique, on peut le reprĂ©senter par un sommet placĂ© sur un grand cercle
  4. ↑ a et b Dans ses MĂ©ditations MĂ©taphysiques, Descartes se sert du chiliogone et du myriogone pour montrer la diffĂ©rence entre l'imagination et la conception pure.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polygone de Wikipédia en français (auteurs)

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   EncyclopĂ©die Universelle

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   Fizikos terminĆł ĆŸodynas

  • polygone — ĆĄaudykla statusas T sritis Gynyba apibrÄ—ĆŸtis Vieta, ÄŻrengta ĆĄaudymo ÄŻ taikinius pratyboms ar ginklams bandyti. atitikmenys: angl. range; target range pranc. champ de tir; polygone; stand de tir 
   NATO terminĆł aiĆĄkinamasis ĆŸodynas

  • polygone — ● n. m. â–șGRAPH Forme gĂ©omĂ©trique utilisĂ©e en image de synthĂšse pour modĂ©liser des volumes. Plus il y en a, plus c est mieux (cela va de la patate polyĂ©drique Ă  la sphĂšre parfaite). Un ensemble de polygones forme un maillage, mesh en anglais. L… 
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