Polaire reciproque

Polaire réciproque

Reste à faire : une ou plusieurs applications simples de la polaire réciproque.

Sommaire

Points cocycliques, quadrilatère inscrit

Soit A,B,C,D un quadrilatère et M l'intersection des diagonales.

Les quatre points sont cocycliques si et seulement si \overline{MA}\,\cdot\,\overline{MB}=\overline{MC}\,\cdot\,\overline{MD}.

Cocyclique.svg


Un produit scalaire symétrique

PROPRIÉTÉ : Notons M' l'intersection de deux des cotés du quadrilatère. On a

\overrightarrow{\Omega M}\overrightarrow{\Omega M'}=R^2.


PScal.svg


Apparition de la droite des tangentes

Soit toujours \mathcal C(\Omega,R) un cercle, d'un point M extérieur au cercle on mène les deux tangentes à \mathcal C. Soit T,T' les points de contact.

PROPRIÉTÉ : Si I=(M\Omega)\cap(TT') alors [M,I] divise harmoniquement [AB].

HarmCercleBasiq.svg


PROPRIÉTÉ : Le point d'intersection de (TT') avec toute corde issue de M divise harmoniquement la corde. [MI] divise harmoniquement [AB]

HarmCercle.svg


Polaire réciproque

Cette droite (TT') possède donc les propriétés suivantes :

  1. Toute corde [AB] au cercle, issue d'un point M extérieur à ce cercle, coupe cette droite en un point I tel que [MI] divise harmoniquement [AB];
  2. Cette droite et l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport au cercle;
  3. Pour tout point I de cette droite, le cercle de diamètre [MI] est orthogonal au cercle de départ (cf. cerccles orthogonaux);
  4. Si O est le centre du cercle, \overrightarrow{OM}\,\overrightarrow{OI}=R^2;
  5. Les intersections des diagonales de tous les quadrilatères complets issues de M sont alignés et sont sur cette droite;
  6. Si dans un repère centré au centre du cercle, le point M a pour coordonnées (x0,y0), l'équation de cette droite est x0X + y0Y = R2.

Définitions

Définition : Étant donné un point M et un cercle \mathcal C, on nomme polaire de M par rapport à \mathcal C, l'ensemble des conjugués harmoniques de M par rapport à \mathcal C.

Par conséquent si M est extérieur au cercle, c'est la droite (TT').

Réciproquement, toute droite du plan est la polaire d'un point unique nommé "pôle" de la droite.

Polaire et pôle sont reliés analytiquement par la relation : x0X + y0Y = R2 lorsque l'origine du plan est au centre du cercle.

Géométriquement, si la droite \mathcal D coupe le cercle, son pôle ne peut être que le point d'intersection des tangentes au cercle aux point \mathcal D\cap\mathcal C. Si la droite ne coupe pas le cercle, on projette le centre O du cercle sur la droite en I; M est alors le conjugué de I par rapport au cercle, ou bien le projeté sur (OI) d'un point de contact d'une tangente à \mathcal C issue de I, puisqu'il est alors sur la polaire de I.

Intersection et alignement

La "polarisation" échange les notions de droites concourantes et de droite passant par deux points.

PROPRIÉTÉ Soit M1,M2 deux points (non alignés avec le centre du cercle); si D1,D2 désignent les polaires de ces points, alors D_1\cap D_2 est le pôle de la droite (M1M2). (Si M1,M2 sont alignés avec O on obtient le point à l'infini dans la direction perpendiculaire à (M1M2)).


PROPRIÉTÉ Soit D1,D2 deux droites, M1,M2 leur pôles alors la droite (M1M2) est la polaire du point D_1\cap D_2.


Polaire d'une courbe

Il y a deux façons naturelles de définir la polaire d'une courbe.

Ou bien à un point M de la courbe on associe sa polaire puis l'on considère l'enveloppe de ces polaires ou bien on considère le lieu formé par les pôles des tangentes à la courbe. Ces deux notions coincident.

Soit (x(t),y(t)) une courbe du plan, la tangente a pour équation Xy' − Yx' = xy' − yx' son pôle a donc pour coordonnées

X_0(t)=\frac{R^2y'}{xy'-yx'} et Y_0(t)=\frac{-R^2x'}{xy'-yx'}.

La polaire du point (x(t),y(t)) a pour équation Xx(t) + Yy(t) = R2. L'enveloppe de cette famiille de droites est déterminée par les équations \left\{\begin{align}X_0x(t)+Y_0y(t)&=R^2\\X_0x'(t)+Y_0y'(t)&=0\end{align}\right. qui donne précis&ément les mêmes expressions que précédemment.

La "polarisation" échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une conique

PROPRIÉTÉ : La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.


Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
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