Point de Lagrange

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Point de Lagrange
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Un point de Lagrange (not√© L1 √† L5), ou, plus rarement, point de libration, est une position de l'espace o√Ļ les champs de gravit√© de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement la force centrip√®te requise pour que ce point de l'espace accompagne simultan√©ment la rotation des deux corps. Dans le cas o√Ļ les deux corps sont en orbite circulaire, ces points repr√©sentent les endroits o√Ļ un troisi√®me corps de masse n√©gligeable resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens o√Ļ il accompagnerait √† la m√™me vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravit√© commun sans que sa position par rapport √† eux n'√©volue. Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables d√©nomm√©s L4 et L5, et en trois points instables not√©s L1 √† L3. Ils sont nomm√©s en l'honneur du math√©maticien fran√ßais Joseph-Louis Lagrange. Ils interviennent dans l'√©tude de certaines configurations d'objets du Syst√®me solaire (principalement pour les points stables) et dans le placement de divers satellites artificiels (principalement pour les points instables). Ce sont les points remarquables de la g√©om√©trie de Roche[1] (points-col et extremums) laquelle permet notamment de classer les diff√©rents types d'√©toiles binaires.

Sommaire

Historique

En m√©canique c√©leste, il est un sujet qui a passionn√© de nombreux math√©maticiens : c'est le probl√®me dit des trois corps. Newton, apr√®s avoir √©nonc√© sa loi qui exprime que ¬ę les corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carr√© de la distance de leurs centres ¬Ľ, a cherch√© √† d√©crire le comportement de trois corps sans y parvenir. Il faut attendre le math√©maticien Joseph-Louis Lagrange qui, en 1772, √©tudia le cas d'un petit corps, de masse n√©gligeable (ce qu'on appelle aujourd'hui corps d'√©preuve ou particule-test), soumis √† l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une plan√®te. Il d√©couvrit qu'il existait des positions d'√©quilibre pour le petit corps, des endroits o√Ļ toutes les forces se compensent.

Définition

Un objet de faible masse situé en ces points n'en bouge plus relativement aux deux autres corps, et tourne de concert avec eux (par exemple une planète et le Soleil).

Trois des points de Lagrange sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans le cas d'un grande dissymétrie de masse entre ceux-ci, deux points sont situés proches et de part et d'autre du corps peu massif, alors que le troisième est quasiment situé à l'opposé du corps peu massif par rapport au corps massif.

Si on donne en exemple les points de Lagrange du syst√®me Soleil-Terre, ces cinq points sont not√©s et d√©finis comme suit (√©chelle non respect√©e) :

  • L1 : sur la ligne d√©finie par les deux masses, entre celles-ci, la position exacte d√©pendant du rapport de masse entre les deux corps ; dans le cas o√Ļ l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible que l'autre, le point L1 est situ√© nettement plus pr√®s du corps peu massif que du corps massif.
  • L2 : sur la ligne d√©finie par les deux masses, au-del√† de la plus petite. Dans le cas o√Ļ l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible, la distance de L2 √† ce corps est comparable √† celle entre L1 et ce corps.
  • L3 : sur la ligne d√©finie par les deux masses, au-del√† de la plus grande. Dans le cas o√Ļ l'un des deux corps est notablement moins massif que l'autre, la distance entre L3 et le corps massif est comparable avec celle entre les deux corps.
Les deux derniers points de Lagrange forment avec les deux corps des triangles équilatéraux.
  • L4 et L5 : sur les sommets des deux triangles √©quilat√©raux dont la base est form√©e par les deux masses. Sans qu'il y ait de consensus pr√©cis, L4 est celui des deux points en avance sur l'orbite de la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces points sont parfois appel√©s points de Lagrange triangulaires ou points Troyens, du fait que c'est le lieu o√Ļ se trouvent les ast√©ro√Įdes troyens du syst√®me Soleil-Jupiter. Contrairement aux trois premiers points, ces deux derniers ne d√©pendent pas des masses relatives des deux autres corps.

Calcul de la position des points de Lagrange

Le calcul de la position des points de Lagrange se fait en consid√©rant l'√©quilibre d'un corps de masse n√©gligeable entre le potentiel gravitationnel cr√©√© par deux corps en orbite et la force centrifuge. La position des points L4 et L5 peut √™tre obtenue analytiquement. Celle des trois autres points L1 √† L3 s'obtient en r√©solvant num√©riquement ou √©ventuellement √† l'aide d'un d√©veloppement limit√© une √©quation alg√©brique. La position de ces trois points est donn√©e dans le tableau ci-dessous dans le cas o√Ļ la masse d'un des deux corps (en l'occurrence le num√©ro 2) est n√©gligeable devant l'autre, situ√© √† une distance R du pr√©c√©dent. Les positions sont donn√©es le long de l'axe reliant les deux corps, dont l'origine est identifi√©e au centre de gravit√© du syst√®me, et dont l'orientation va du corps 1 au corps 2. Les quantit√©s r2 et q d√©notent respectivement la position du corps 2 sur l'axe et le rapport de la masse du corps le plus l√©ger √† la masse totale des deux corps. Enfin, on utilise la quantit√© őĶ d√©finie par őĶ = (q / 3)1/3.

Point Position par rapport au centre de gravité du système
L1 r_2 + R \left(- \epsilon + \frac{1}{3} \epsilon^2 + \frac{1}{9} \epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)\right)
L2 r_2 + R \left(\epsilon + \frac{1}{3} \epsilon^2 - \frac{1}{9} \epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)\right)
L3 - R + R\left(- \frac{5}{12} q + \frac{1127}{20736} q^3 + \mathcal{O}(q^4)\right)

Dans la litt√©rature, on trouve parfois des expressions quelque peu diff√©rentes, du fait que l'origine de l'axe est prise ailleurs que sur le centre de gravit√©, et que l'on utilise comme terme √† la base du d√©veloppement limit√© le rapport entre les deux masses plut√īt que le rapport de la plus petite √† la masse totale, c'est-√†-dire que l'on utilise parfois la quantit√© q' d√©finie par q' = \frac{m_2}{M_1} = \frac{q}{1 - q}.

Stabilité

Lagrange points2.svg
Les points L4 et L5 bien que situés à des maxima du potentiel sont paradoxalement stables. L1, L2 et L3 qui sont des points-col sont instables.

Le calcul ci-dessus n'indique en rien si les points de Lagrange sont stables. La stabilit√© ou non de ces points est du reste peu intuitive. Dans le r√©f√©rentiel tournant avec les deux corps, une particule d'√©preuve peut √™tre vue comme soumise √† un potentiel incluant la contribution gravitationnelle et celle de la force centrifuge. Ce potentiel, not√© ő©, s'√©crit ainsi

\Omega = - \frac{G M_1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_1|} - \frac{G m_2}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_2|} - \frac{1}{2} |\boldsymbol{r}|^2 \omega^2.

Tous les termes de ce potentiel sont n√©gatifs et d√©croissent √† mesure que l'on s'√©loigne des masses (pour les deux premiers termes) ou du centre de gravit√© du syst√®me (pour le second). On peut ainsi montrer que les points de Lagrange L4 et L5 sont des maxima locaux du potentiel ő© (voir ci-dessous) et que les trois autres points sont des points selles. D'ordinaire, une position d'√©quilibre (d√©termin√©e par l'annulation des d√©riv√©es du potentiel) est stable uniquement si on se situe dans des minima locaux du potentiel. Cependant, √©tant donn√© que l'on est dans un r√©f√©rentiel tournant, le r√©f√©rentiel est non inertiel. Un objet se d√©pla√ßant dans ce r√©f√©rentiel, par exemple au voisinage d'une position d'√©quilibre, va √™tre soumis √† la force de Coriolis, et son mouvement ne d√©pend pas uniquement de la forme du potentiel. Pour √©tudier la stabilit√© des points de Lagrange, il faut donc tenir compte de la force de Coriolis.

Pour calculer la stabilit√© des points de Lagrange, il faut ainsi √©tudier l'√©quation du mouvement d'un objet situ√© au voisinage d'un de ces points. En notant őīR le vecteur de coordonn√©es őīX et őīY donnant l'√©cart d'un tel objet √† un des points de Lagrange (que l'on suppose confin√© au plan orbital, l'√©quation du mouvement s'√©crit

\ddot{\boldsymbol{\delta R}} = -2  \boldsymbol{\omega} \wedge \dot {\boldsymbol {\delta R}} +  \boldsymbol {\delta f},

o√Ļ őīf repr√©sente la force par unit√© de masse exerc√©e sur l'objet. Cette force est petite du fait qu'au point de Lagrange la force (constitu√©e d'une composante gravitationnelle et de la force centrifuge) est nulle et que l'on se place √† proximit√© d'un tel point. Cette force peut se calculer en termes d'un d√©veloppement limit√©. Par exemple, pour la composante X, on a

\delta f_X = f_X (0) + \frac{\partial f_X}{\partial X} \delta X + \frac{\partial f_X}{\partial Y} \delta Y.

Le premier terme correspond √† la force s'exer√ßant au point de Lagrange, force qui est nulle par construction. Par ailleurs, la force d√©rivant d'un potentiel, on peut exprimer les d√©riv√©es de la force en termes de d√©riv√©es secondes du potentiel :

\delta f_X = - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X^2} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta Y.

On peut ainsi exprimer l'équation du mouvement en termes des composantes selon

\ddot{\delta X} = 2 \omega \dot{\delta Y} - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X^2} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta Y,
\ddot{\delta Y} = - 2 \omega \dot{\delta X}- \frac{\partial^2 \Omega}{\partial X \partial Y} \delta X - \frac{\partial^2 \Omega}{\partial Y^2} \delta Y.

Ce groupe d'√©quation peut √™tre mis sous la forme d'un syst√®me de quatre √©quations diff√©rentielles du premier ordre :

\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -\Omega_{,xx} & - \Omega_{,xy} & 0 & -2 \omega \\ - \Omega_{,xy} & -\Omega_{,yy} & 2 \omega & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array} \right),

o√Ļ les d√©riv√©es partielles du potentiel ő© ont √©t√© not√©e en indice pr√©c√©d√© d'un virgule (par exemple, ő©,xx correspond √† \partial^2 \Omega / \partial x^2).

La stabilit√© du point de Lagrange consid√©r√© est obtenue en recherchant les solutions de cette √©quation. Pour cela, il suffit de trouver des solutions de type exponentielle, en eőďt. On va ainsi proc√©der √† la diagonalisation de la matrice ci-dessus, que l'on notera A. Les valeurs propres trouv√©es vont correspondre aux quantit√©s őď ci-dessus, les √©carts √† la position d'√©quilibre √©tant alors une certaine combinaison d'au plus quatre exponentielles. La stabilit√© du syst√®me est assur√© par le fait que les exponentielles ne croissent pas au cours du temps, c'est-√†-dire que les quantit√©s őď sont soit n√©gatives, soit complexes √† partie r√©elle n√©gatives. En fait, il n'est pas n√©cessaire de diagonaliser compl√®tement la matrice, il suffit d'en trouver les valeurs propres, c'est-√†-dire les solutions de l'√©quation

det(A ‚ąí őĽI) = 0.

Ce déterminant s'écrit

\left|\begin{array}{cccc} - \lambda & 0  & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 0 & 1 \\ -\Omega_{,xx} & - \Omega_{,xy}, & - \lambda & - 2 \omega \\ - \Omega_{,xy} & - \Omega_{yy} & 2 \omega & -\lambda \end{array} \right|,

et il vaut

\lambda^4 + (\Omega_{,xx} + \Omega_{,yy} + 4 \omega^2) \lambda^2 + \Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2.

Cette √©quation peut se ramener √† une √©quation polynomiale du second ordre en őĽ2. Les solutions de l'√©quation de d√©part sont donc deux couples de nombres oppos√©s deux √† deux. Pour que deux nombres oppos√©s soient n√©gatifs ou nuls ou alors de partie r√©elle n√©gative ou nulle, il faut obligatoirement qu'ils soient des nombres imaginaires purs, donc que les solutions de l'√©quation en őĽ2 soient r√©elles et n√©gatives. Pour que ces solutions soient r√©elles, il faut donc que le discriminant soit positif, soit ici

(\Omega_{,xx} + \Omega_{,yy} + 4 \omega^2)^2 - 4 (\Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2) > 0.

Une fois ceci obtenu, il faut que les deux solutions réelles soient négatives, ce qui implique que simultanément leur somme soit négative et leur produit positif, ce qui implique

ő©,xx + ő©,yy + 4ŌČ2 > 0,
\Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2 > 0.

La stabilit√© d'un point de Lagrange est soumise √† la r√©alisation de ces trois contraintes. Parmi ces contraintes, la derni√®re a une interpr√©tation simple : le signe de la quantit√© \Omega_{,xx} \Omega_{,yy} - \Omega_{,xy}^2 d√©termine si la position consid√©r√©e est un extr√©mum local ou un point selle. En l'occurrence, la positivit√© de cette quantit√© implique qu'elle doive √™tre un extr√©mum local, condition n√©cessaire mais non suffisante √† la stabilit√© du point de Lagrange. Quand cette quantit√© est n√©gative, on a un point selle et le point de Lagrange est instable. Par contre, de fa√ßon plus surprenante, un point de Lagrange peut √™tre stable s'il correspond √† un maximum local du potentiel, c'est-√†-dire que ő©,xx +  ő©,yy peut √™tre n√©gatif, pourvu que cette quantit√© ne d√©passe pas la valeur critique de -4 ŌČ2. En pratique, c'est ce qui se produit dans certains cas pour les points de Lagrange L4 et L5. L'interpr√©tation physique de cette situation est que la stabilit√© est alors assur√©e par la force de Coriolis. Un objet l√©g√®rement d√©cal√© d'un tel point va s'en √©loigner dans un premier temps en fa√ßon radiale, avant de voir sa trajectoire incurv√©e par la force de Coriolis. Si le potentiel est partout d√©croissant autour du point, alors il est possible que la force de Coriolis force l'objet √† tourner autour du point de Lagrange, √† l'instar des nuages dans une d√©pression qui ne se dirigent pas vers le cŇďur de la d√©pression, mais sont contraints √† une trajectoire circulaire autour de celui-ci.

Temps caractéristiques en L1 et L2 pour les systèmes à grande hétérogénéité de masse

Une des applications les plus importantes de l'instabilit√© des points de Lagrange, L1 et L2, r√©side dans le fait que des satellites artificiels peuvent √™tre envoy√©s en ces points du syst√®me Terre-Soleil (voir ci-dessous). Pour de tels satellites, des corrections de trajectoires r√©guli√®res doivent √™tre appliqu√©es afin de conserver le satellite au voisinage du point. Ce temps caract√©ristique peut √™tre √©valu√© dans le cas o√Ļ le rapport de masse des deux corps du syst√®me est √©lev√©. Dans ce cas, le temps caract√©ristique ő≥-1 d'instabilit√© est donn√© par

\frac{1}{\gamma} = \frac{T}{2 \pi \sqrt{1 + 2\sqrt{7}}},

o√Ļ T est la p√©riode orbitale du syst√®me. Dans le cas du syst√®me Terre-Soleil, o√Ļ T est l√©g√®rement sup√©rieur √† 365 jours, le temps caract√©ristique d'instabilit√© est alors de 23 jours et 4 heures.

Par ailleurs, la composante stable de la trajectoire se fait à la pulsation

\omega_{\rm Traj} = \omega \sqrt{2 \sqrt{7} - 1},

soit, de façon équivalente, avec la période

T_{\rm Traj} = \frac{T}{\sqrt{2 \sqrt{7} - 1}},

ce qui, dans le même cas de figure que ci-dessus, donne une période de 176 jours.


La structure des orbites en présence d'instabilité

Une fois les valeurs propres d'un point instable connues, une trajectoire au voisinage d'un point de Lagrange va √™tre une combinaison lin√©aire des vecteurs propres associ√©s aux valeurs propres. En notant őĽ'i l'une de ces valeurs propres, le vecteur propre associ√© a pour composantes

V_i = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mu_i \\ \lambda_i \\ \lambda_i \mu_i \end{array}\right),

avec

\mu_i = - \frac{1}{2 \omega} \left(\frac{\Omega_{,xx}}{\lambda} + \lambda \right),

et une trajectoire est de la forme

\left(\begin{array}{c} \delta X \\ \delta Y \\ \dot{\delta X} \\ \dot{\delta Y} \end{array}\right) = \sum_i \alpha_i V_i,

o√Ļ les quantit√©s őĪi sont des nombres quelconques d√©termin√©s par la valeur des őīX, őīY et de leur d√©riv√©e √† un instant donn√©. Dans le cas des trois points de Lagrange instables, le d√©terminant de la matrice des d√©riv√©es secondes est n√©gatif, ce qui implique que le discriminant de l'√©quation du second degr√© en őĽ2 poss√®de des racines r√©elles de signe oppos√©, et, qu'au final, les valeurs propres recherch√©es sont deux nombres imaginaires purs oppos√©s et deux nombres r√©els oppos√©s. Une trajectoire g√©n√©rique comprend donc, dans le plan orbital, une composante p√©riodique (li√©e aux racines imaginaires pures), une composante amortie (li√©e √† la racine r√©elle positive), et une composante instable. Pour une position őīX, őīY donn√©e, il est toujours possible de choisir une vitesse telle que les deux vecteurs propres aux racines r√©elles ne contribuent pas √† la solution correspondante. La trajectoire obtenue est alors p√©riodique, la p√©riode √©tant donn√©e par la racine complexe. Une telle solution n'est cependant pas stable. Un √©cart de trajectoire infime va en r√©alit√© rajouter √† la trajectoire une composante instable, qui va, peu √† peu, √©loigner la trajectoire de sa composante p√©riodique. On dit que la trajectoire obtenue n'est pas dynamiquement stable. Ceci est une g√©n√©ralisation du fait qu'un objet situ√© exactement sur un point de Lagrange instable est dans une situation instable : un petit √©cart √† cette position d'√©quilibre, in√©luctablement g√©n√©r√© par les perturbations caus√©es par les autres corps du syst√®me, finira par √©loigner l'objet de sa position initiale. La m√™me chose se produit pour des trajectoires situ√©es autour du point d'√©quilibre instable.

Pertinence du concept

Le calcul ci-dessus fait r√©f√©rence √† une configuration o√Ļ les deux corps du syst√®me sont en orbite circulaire. N√©anmoins, le concept de point de Lagrange pr√©vaut pour tout type d'orbite, y compris elliptique. On peut donc d√©finir ces points dans tout syst√®me √† deux corps li√©s gravitationnellement. Par contre, les trajectoires, stables ou instables, autour des diff√©rents points de Lagrange d√©pendent explicitement de la circularit√© ou non de l'orbite des deux corps du syst√®me.

Applications

√Čtant donn√© les questions de stabilit√© √©voqu√©es plus haut, on ne trouve pas d'objet naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le syst√®me solaire. Cependant, ils repr√©sentent tout de m√™me un int√©r√™t pour les r√©alisations scientifiques, car ils permettent des √©conomies de combustible pour le contr√īle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du fait de son √©loignement de la Terre.

Certains astronomes affirment que si la Lune a été formée par collision entre la proto-Terre et un objet appelé par convention Théia, le plus probable est que Théia se trouvait en L4 ou en L5. Une telle position lui aurait permis d'avoir une position stable pour accumuler de la masse, jusqu'à ce que l'effet de la gravité des autres planètes déloge Théia de cette position stable, provoquant la collision. D'ailleurs, les mêmes soulignent que de tels objets peuvent représenter un risque comparable aux géocroiseurs[3].

Des missions spatiales utilisent L1 et L2 : c'est le cas de la sonde SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil situ√©e, depuis 1995, au point L1 √† 1,5 million de km de la Terre. Ce point a √©t√© occup√© pour la premi√®re fois en 1978 par le satellite ISEE-3.

Le point L2 est particulièrement bien adapté pour observer le cosmos. Depuis 2001, son voisinage est occupé par le satellite WMAP, chargé d'étudier le fond diffus cosmologique. Il a été rejoint par les satellites Planck et Herschel en 2009, et le sera par Gaia en 2011 et par le James Webb Space Telescope en 2014.

L4 et L5 √©tant stables, on y trouve de nombreux corps naturels. Dans le syst√®me Jupiter-Soleil, plusieurs centaines d'ast√©ro√Įdes, appel√©s ast√©ro√Įdes Troyens, s'y agglutinent (pr√®s de 1800 en avril 2005). On en compte quelques-uns dans les syst√®mes Neptune-Soleil et Mars-Soleil. Curieusement, il semblerait que le syst√®me Saturne-Soleil ne soit pas en mesure d'en accumuler, √† cause des perturbations joviennes. On trouve √©galement des objets √† ces points dans le syst√®me Saturne-satellites de Saturne : Saturne-T√©thys avec T√©lesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dion√© avec H√©l√®ne au point L4 et Pollux au point L5. Dans le syst√®me Terre-Soleil, l'ast√©ro√Įde 2010 TK7 vient d'√™tre d√©couvert, celui-ci mesure 300 m√®tres de diam√®tre. De l√©gers nuages de poussi√®res sont √©galement pr√©sents pour le syst√®me Terre-Lune ; cela a fait renoncer √† y placer un t√©lescope spatial comme il avait √©t√© envisag√©.

Dans le système solaire KOI-730, 2 planètes partagent la même orbite autour de leur étoile grace au point de Lagrange[4].

En science-fiction

En science fiction, de par leur stabilit√©, les points L4 et L5 du syst√®me Terre-Lune abritent souvent de gigantesques colonies spatiales. Les auteurs de science-fiction et de bande dessin√©e aiment placer une Anti-Terre au point L3. Cette id√©e date d'avant la physique newtonienne, qui d√©montre qu'elle est tout √† fait irr√©aliste. Le point de Lagrange n'a d'int√©r√™t que pour un objet de masse n√©gligeable par rapport aux deux √©l√©ments du syst√®me, ce qui n'est pas le cas d'une plan√®te jumelle. Sans compter l'instabilit√© du point en question : une Anti-Terre plac√©e en L3 tiendrait sur son orbite un peu moins d'un mois dans les meilleurs cas.

Notes et références

  1. ‚ÜĎ G√©om√©trie de Roche, Jean-Marie Hameury, Observatoire de Strasbourg[1]
  2. ‚ÜĎ Si l'on d√©finit q comme le rapport de la plus petite masse √† la totale, seules les valeurs de q inf√©rieures √† 0,5 ont un sens, puisque les valeurs plus grandes correspondent au rapport de la plus grande masse √† la masse totale.
  3. ‚ÜĎ Do gravity holes harbour planetary assassins?
  4. ‚ÜĎ Two planets found sharing one orbit

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Point de Lagrange de Wikipédia en français (auteurs)

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