Perimetre

ÔĽŅ
Perimetre

Périmètre

Le périmètre du carré vaut ici 8.
Selon Hom√®re, le p√©rim√®tre de Troie √©tait de 10 200 pas[1]. (Photo des remparts suppos√©s de Troie.)

Le p√©rim√®tre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du p√©rim√®tre sert par exemple √† d√©terminer la quantit√© de grillage n√©cessaire √† la cl√īture d'un terrain, le nombre de briques ou de pierres pour la construction d'un mur, etc.

Pour tout polygone, le p√©rim√®tre vaut la somme des longueurs des c√īt√©s du polygone. Il existe des formules simples pour le calcul du p√©rim√®tre des figures de base, mais le probl√®me devient beaucoup plus ardu pour des figures plus complexes : il fait appel √† des calculs d'int√©grales ou de limites. Dans ce cas, une m√©thode consiste √† approcher la figure complexe par d'autres, plus simples et mieux connues, pour obtenir une approximation du p√©rim√®tre voulu.

La question de savoir, pour un p√©rim√®tre donn√©, quelle est la surface dont l'aire est maximale (ou isop√©rim√©trie) a √©t√© pos√©e tr√®s t√īt et sa r√©ponse seulement d√©montr√©e au XIXe si√®cle.

Le p√©rim√®tre d√©signe aussi parfois la courbe qui est le bord d'une surface, plut√īt que sa mesure. Le mot p√©rim√®tre (du grec ancien : ŌÄőĶŌĀőĮőľőĶŌĄŌĀőŅŌā) est compos√© du pr√©fixe p√©ri- qui signifie ¬ę autour ¬Ľ et du suffixe -m√®tre : ¬ę mesure ¬Ľ[2].

Sommaire

Figures de base

Polygone

Un rectangle de largeur a et de longueur b.

Le cas des polygones est fondamental, non seulement par sa simplicité, mais aussi parce que de nombreux périmètres sont calculés, en valeur approchée, par une suite de polygones tendant vers ces courbes. Le premier mathématicien connu pour avoir utilisé ce raisonnement fut Archimède qui approcha le périmètre d'un cercle en l'encadrant par celui de polygones réguliers[3].

Le p√©rim√®tre d'un polygone est √©gal √† la somme des longueurs de ses c√īt√©s.

En particulier, un rectangle de dimensions a et b a pour p√©rim√®tre 2(a + b). Un polygone √©quilat√©ral est un polygone dont tous les c√īt√©s ont la m√™me longueur (un losange est un polygone √©quilat√©ral √† quatre c√īt√©s). Pour calculer le p√©rim√®tre d'un polygone √©quilat√©ral, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de c√īt√©s.

Un polygone r√©gulier est souvent d√©fini par son nombre de c√īt√©s et son rayon, c'est-√†-dire la distance constante qui s√©pare son centre de chacun des sommets. Il est possible de calculer la longueur du c√īt√© par un raisonnement de trigonom√©trie. Si R est le rayon d'un polygone r√©gulier et n le nombre de ses c√īt√©s, son p√©rim√®tre est[4] :

2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right).

Ces méthodes sont résumées dans le tableau ci-dessous.

Périmètre de polygones
Polygone Formule Variables
Triangle a+b+c\; a, b et c sont les longueurs des c√īt√©s du triangle.
Parall√©logramme 2(a+b)\; a et b sont les longueurs de deux c√īt√©s cons√©cutifs.
Polygone √©quilat√©ral n\cdot a\; n est le nombre de c√īt√©s et a la longueur de chaque c√īt√©.
Polygone quelconque a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i} o√Ļ ai est la longueur du ie (1er, 2e, 3e ... ne) c√īt√© d'un polygone √† n c√īt√©s.
Polygone r√©gulier convexe 2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right) n est le nombre de c√īt√©s et R la distance entre le centre du polygone r√©gulier et chacun des sommets.

Circonférence d'un cercle

Si le diam√®tre du cercle est 1, sa circonf√©rence est ŌÄ.
Article d√©taill√© : Pi.

Le p√©rim√®tre d'un cercle est proportionnel √† son diam√®tre[5]. C'est-√†-dire qu'il existe une constante ŌÄ (le p grec de p√©rim√®tre) telle que, quel que soit un cercle de diam√®tre D et de p√©rim√®tre P,

P = ŌÄ D.

L'usage du compas ayant favoris√© l'utilisation du rayon R du cercle plut√īt que de son diam√®tre, cette formule devient :

P = 2 ŌÄ R.

Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, D = 2 R.

Il suffit, pour calculer le p√©rim√®tre d'un cercle, de conna√ģtre son rayon ou son diam√®tre et le nombre ŌÄ. Le probl√®me est que ce nombre n'est pas rationnel (on ne peut pas l'√©crire sous la forme d'un quotient de deux entiers) ni m√™me alg√©brique (il n'est pas la racine d'un polyn√īme √† coefficients entiers). Obtenir une valeur approch√©e de ŌÄ aussi pr√©cise qu'on le souhaite n'est donc pas √©vident. La recherche des d√©cimales de ŌÄ mobilise des connaissances en analyse, algorithmique et informatique.

Le p√©rim√®tre d'un cercle est souvent appel√© circonf√©rence, parfois longueur, le mot p√©rim√®tre concernant plut√īt le disque.

Perception du périmètre

Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.
La citadelle de Neuf-Brisach a un périmètre compliqué. Pour en faire le tour, mieux vaut suivre son enveloppe convexe.

Le p√©rim√®tre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures g√©om√©triques. Il est fr√©quent de confondre ces deux notions[6] ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la r√©duction) d'une figure g√©om√©trique fait cro√ģtre (ou d√©cro√ģtre) simultan√©ment son aire et son p√©rim√®tre. Par exemple, si un terrain est repr√©sent√© sur une carte √† l'√©chelle 1:10 000, le p√©rim√®tre r√©el du terrain peut √™tre calcul√© en multipliant le p√©rim√®tre de la repr√©sentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la repr√©sentation par 10 0002. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le p√©rim√®tre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle poss√©dant une aire √©gale √† un m√®tre carr√© peut avoir comme dimensions, en m√®tres : 0,5 et 2 (donc un p√©rim√®tre √©gal √† 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un p√©rim√®tre de plus de 2 000 m). Proclus (Ve si√®cle) rapporte que des paysans grecs se sont partag√©s ¬ę √©quitablement ¬Ľ des champs suivant leurs p√©rim√®tres, mais avec des aires diff√©rentes[7],[1]. Or, la production d'un champ est proportionnelle √† l'aire, non au p√©rim√®tre : certains paysans na√Įfs ont pu obtenir des champs avec de longs p√©rim√®tres, mais une aire (et donc une r√©colte) m√©diocre.

Lorsqu'on √īte une partie d'une figure, son aire diminue (on a aussi ¬ę √īt√© ¬Ľ une aire). Mais il n'en est pas toujours de m√™me du p√©rim√®tre. Dans le cas de figures tr√®s ¬ę d√©coup√©es ¬Ľ, √† la confusion aire/p√©rim√®tre s'ajoute celle avec l'enveloppe convexe de la figure plut√īt que son tour au sens strict[8]. L'enveloppe convexe d'une figure est semblable √† un √©lastique qui entourerait cette figure. Sur l'animation ci-contre √† gauche, toutes les figures ont la m√™me enveloppe convexe : le grand hexagone initial.

Isopérimétrie

Des yeux à la surface d'un bouillon.
Article d√©taill√© : Isop√©rim√©trie.

L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque[9]. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance √† une famille de th√©or√®mes, dit isop√©rim√©triques, √† des majorations dites in√©galit√©s isop√©rim√©triques, ainsi qu'√† un rapport, appel√© quotient isop√©rim√©trique. L'in√©galit√© isop√©rim√©trique indique qu'une surface de p√©rim√®tre p et d'aire a v√©rifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans[10], ce n'est qu'en 1895, √† l'aide de m√©thodes d√©riv√©es du th√©or√®me de Minkowski que la question est d√©finitivement r√©solue sous sa forme antique[11]. Ces m√©thodes permettent de d√©montrer le th√©or√®me isop√©rim√©trique et de le g√©n√©raliser √† des dimensions sup√©rieures dans le cas d'une g√©om√©trie euclidienne.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Courbe rectifiable

Mis √† part les cas des polygones et des cercles, le p√©rim√®tre de la plupart des surfaces est malais√© √† calculer : il fait intervenir une int√©grale qui ne s'exprime pas souvent au moyen de fonctions √©l√©mentaires (polyn√īmes, sinus, etc.)

Un exemple : l'ellipse

Une ellipse.

L'ellipse peut para√ģtre simple : il ne s'agit apr√®s tout que d'un ¬ę cercle √©cras√© ¬Ľ.

Soit une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.

L'aire est ais√©e √† calculer[12] : ŌÄab.

Mais le p√©rim√®tre P de l'ellipse ne peut √™tre obtenu qu'√† l'aide d'une int√©grale elliptique[13] :

P = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2 t}\,\text{d} t

qui s'exprime sous forme de s√©rie, en notant e l'excentricit√© de l'ellipse :

P = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \cdots}\right] o√Ļ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.

La difficult√© de ces calculs a conduit √† d√©velopper des approximations. La deuxi√®me propos√©e, plus pr√©cise, est l'Ňďuvre de Ramanujan[13] :

P \approx \pi\sqrt {2(a^2 + b^2)}\approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]

Courbe rectifiable

Article d√©taill√© : Longueur d'un arc.

Le problème du calcul d'un périmètre est plus ardu si la frontière est courbe et non plus polygonale.

Il est toujours possible d'approcher la longueur d'une courbe par celle d'un polygone d'approximation. La longueur du polygone d'approximation est la somme des longueurs de ses c√īt√©s. Lorsque le pas, c'est-√†-dire la longueur maximale entre deux sommets cons√©cutifs du polygone, tend vers z√©ro, la limite sup√©rieure de la longueur du polygone tend vers la longueur de la courbe. Si la longueur de la courbe est finie, celle-ci est dite rectifiable. Ce raisonnement permet de calculer des valeurs approch√©es de nombreuses courbes.

Une valeur exacte est possible lorsque la courbe est param√©tr√©e par une fonction contin√Ľment d√©rivable. Alors la courbe est rectifiable. Si la courbe est un arc param√©tr√© par une fonction f d√©finie sur un intervalle [c;d], alors sa longueur est :

L = \int_c^d||f '(t)||\mathrm dt.

En particulier, si f(t) = (x(t) ; y(t)) et si les coordonn√©es s'expriment dans une base orthonormale, la longueur L de la courbe est donn√©e par :

L = \int_c^d \sqrt {\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}\mathrm d t.

Cette formule permet d'√©tablir celle donn√©e plus haut, pour le p√©rim√®tre de l'ellipse ( x(t)=a cos t, y(t)=b sin t, I=]0,  ŌÄ/4[ ).

Il est √©galement possible d'utiliser les coordonn√©es polaires (őł, r(őł)) o√Ļ r est une fonction contin√Ľment d√©rivable de őł d√©finie sur un intervalle [őł1;őł2]. Dans ce cas :

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}\mathrm d\theta.

Courbes fractales

Construction du ¬ę flocon ¬Ľ.

Un exemple : Le flocon de von Koch

Article d√©taill√© : Flocon de Koch.

Le flocon de Koch est construit par une suite de polygones à la fois très simple et aux propriétés étonnantes[14].

  1. On part d'un triangle équilatéral.
  2. On partage chaque c√īt√© de la figure en trois segments de m√™me longueur. On construit, sur chaque segment central et √† l'ext√©rieur de la figure pr√©c√©dente, un triangle √©quilat√©ral.
  3. On répète le procédé de l'étape 2 indéfiniment.

√Ä chaque it√©ration, le polygone obtenu poss√®de un p√©rim√®tre √©gal √† 4‚ĀĄ3 de celui du pr√©c√©dent, la suite des p√©rim√®tres obtenus tend vers l'infini. Pourtant, tous ces polygones sont inclus dans le cercle circonscrit au premier triangle, et ont une aire finie.

Fractales et dimension de Hausdorff

Articles d√©taill√©s : Fractale et dimension de Hausdorff.

Si plusieurs surfaces ont des p√©rim√®tres infinis, il est toutefois possible que certaines aient un ¬ę plus long p√©rim√®tre ¬Ľ que d'autres[15]. La dimension de Hausdorff[16] introduite en 1918, permet de les comparer en √©tendant encore la notion de longueur, et donc celle de p√©rim√®tre.

Fragments d'histoire

Aire et périmètre

Des plans trac√©s sur des tablettes d'argile et datant d'Ur III (fin du IIIe mill√©naire av. J.-C.) comportent des mentions de longueurs de terrains, qui sont d√©coup√©s en triangles et quadrilat√®res afin de faciliter les calculs. Mais les aires de polygones, notamment les surfaces des champs, √©taient calcul√©es √† partir des p√©rim√®tres, m√™me si certains scribes semblent s'√™tre rendu compte que ces raisonnements pouvaient √™tre faux[17]. Cette fa√ßon de mesurer des villes ou des r√©gions par leur p√©rim√®tre est utilis√©e par Hom√®re pour Troie[1] ou encore par H√©rodote :

¬ę aussi donnait-on autrefois le nom d'√Čgypte √† la Th√©ba√Įde, dont la circonf√©rence est de six mille cent vingt stades.[18] ¬Ľ

D√®s 1800 avant J.-C., les probl√®mes de g√©om√©trie au sujet de p√©rim√®tres sont attest√©s. Un probl√®me classique trouv√© sur de nombreuses tablettes consistait √† trouver les dimensions d'un rectangle, connaissant son aire et son p√©rim√®tre[19] :

Exemple de probl√®me babylonien ‚ÄĒ Un champ rectangulaire poss√®de une aire de 96 et un p√©rim√®tre de 40. Quelles sont les longueur et largeur du champ ?

La l√©gende[20] veut que Didon, vers 800 avant J.-C., cherchant une terre pour fonder une nouvelle cit√© pour son peuple, obtint d'un roi qu'il lui en c√®de ¬ę autant qu'il en pourrait tenir dans la peau d'un bŇďuf ¬Ľ. Didon d√©coupa une peau de bŇďuf en tr√®s fines lani√®res et choisit une p√©ninsule : avec les lani√®res, elle s√©para la p√©ninsule du continent et put ainsi d√©limiter un vaste terrain. Carthage √©tait n√©e. La l√©gende de Didon peut avoir une origine didactique, car elle montre qu'aire et p√©rim√®tre ne sont pas li√©s, elle est √©galement une premi√®re approche du probl√®me d'isop√©rim√©trie[1].

La fondation de Rome est √©galement une question de p√©rim√®tre : Romulus trace, avec sa charrue, le p√©rim√®tre circulaire de sa future ville. Le mot latin Urbs (la Ville, qui d√©signe Rome et a donn√© en fran√ßais les mots urbain, urbaniser) serait une d√©formation d'une expression signifiant ¬ę tracer le p√©rim√®tre ¬Ľ. Une racine indo-europ√©enne signifiant pourtour, p√©rim√®tre, cl√īture en serait √† l'origine[21].

Le probl√®me de l'isop√©rim√©trie est tr√®s ancien, comme l'atteste la l√©gende de Didon, et ses diff√©rentes r√©ponses (polygone r√©gulier, demi-disque dans un demi-plan, cercle) √©tait connues d√®s l'antiquit√© grecque[22], bien qu'il ait fallu attendre le XIXe si√®cle pour qu'une d√©monstration rigoureuse soit √©labor√©e.

Circonférence du cercle

Comment Archim√®de encadra ŌÄ en utilisant des polygones r√©guliers.

Les Babyloniens liaient l'aire A et le p√©rim√®tre P d'un cercle suivant un algorithme de calcul √©quivalent √† la formule A=\frac{P^2}{12} ce qui donne une approximation[23] de ŌÄ √©gale √† 3. M√™me lorsqu'ils connaissaient le diam√®tre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son p√©rim√®tre (en multipliant le diam√®tre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La dimension usuelle pour un cercle √©tait toujours son p√©rim√®tre, jamais son diam√®tre ni son rayon. Cela montre que, pour les anciens, un cercle √©tait plut√īt vu comme une circonf√©rence plut√īt que comme une courbe d√©finie par un centre et un rayon[24]. La proc√©dure pour calculer l'aire d'un disque √† partir de son diam√®tre √©tait la suivante[25], utilis√©e, dans cet exemple, pour d√©terminer le volume d'une b√Ľche cylindrique dont le diam√®tre √©tait 1 + 2‚ĀĄ3 :

M√©thode babylonienne ‚ÄĒ Triple 1 + 2‚ĀĄ3, le dessus de la b√Ľche, et 5, la circonf√©rence de la b√Ľche, viendra. Prends le carr√© de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par 1‚ĀĄ12, la constante, et 2 + 1‚ĀĄ12, l'aire, viendra.

L'approximation de ŌÄ par 3 est √©galement utilis√©e dans la Bible[26] :

¬ę Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coud√©es d‚Äôun bord √† l‚Äôautre, une forme enti√®rement ronde, cinq coud√©es de hauteur, et une circonf√©rence que mesurait un cordon de trente coud√©es[27]. ¬Ľ

et le Talmud[26] :

¬ę Ce qui a trois palmes de tour est large d'une palme. ¬Ľ

Archim√®de √©non√ßa[5] et d√©montra, dans son trait√© De la mesure du cercle :

Approximation de ŌÄ par Archim√®de ‚ÄĒ Le quotient du p√©rim√®tre de tout cercle par son diam√®tre est plus petit que 3+\frac{10}{70} mais plus grand que 3+\frac{10}{71}.

Ce qui donne un encadrement de ŌÄ (qui est le quotient du p√©rim√®tre de tout cercle par son diam√®tre). Pour parvenir √† ce r√©sultat, Archim√®de encadra le cercle par deux polygones r√©guliers dont il calcula les p√©rim√®tres. Son r√©sultat utilise des polygones r√©guliers √† 96 c√īt√©s.

En 1424, Al-Kashi, dans son Trait√© sur le cercle, calcule une valeur approch√©e de ŌÄ en encadrant le cercle entre deux polygones r√©guliers √† 805 306 368 c√īt√©s avec seize d√©cimales exactes. Son objectif √©tait de d√©terminer une valeur approch√©e de ŌÄ suffisamment pr√©cise pour pouvoir calculer non seulement la circonf√©rence de la Terre, mais aussi celle de l'Univers[28]. Son trait√© commence ainsi[29] :

¬ę Louange √† Allah, qui conna√ģt le rapport du diam√®tre √† la circonf√©rence [...] et paix √† Mahomet, l'√Člu, qui est le centre du cercle des proph√®tes. ¬Ľ

La m√©thode d'Archim√®de a √©t√© reprise[30] en 1593 par Fran√ßois Vi√®te et Adrien Romain pour calculer jusqu'√† quinze d√©cimales de ŌÄ.

D'autres math√©maticiens ont calcul√© des valeurs approch√©es de ŌÄ en utilisant des calculs d'aires puis, √† partir du XVIIe si√®cle, les techniques du calcul infinit√©simal.

Longueur d'une courbe

La question du calcul de la longueur d'une courbe prend, au XVIIe si√®cle le nom de rectification d'une courbe[31]. Elle est en g√©n√©ral consid√©r√©e comme impossible √† r√©soudre, ce que Descartes exprime par : ¬ę ... la proportion qui est entre les droites et les courbes n'√©tant pas connue, et m√™me je crois ne le pouvant √™tre par les hommes[32]. ¬Ľ

Au XVIIe si√®cle, l'invention du calcul infinit√©simal a conduit √† interpr√©ter le calcul de la longueur d'une courbe comme celui d'une int√©grale[33] suivant la formule vue plus haut (voir l'exemple de l'ellipse).

Au XIXe si√®cle, Camille Jordan donne une nouvelle d√©finition de la longueur d'une courbe[34], se rapprochant de celle d'Archim√®de mais utilisant les outils modernes (dont le calcul de la limite d'une suite) : il approche la courbe par un polygone dont les sommets sont des points de cette courbe. Lorsque le nombre de ces points tend vers l'infini, la limite sup√©rieure de la suite des longueurs des polygones obtenus, si elle est major√©e, est la longueur de cette courbe. Cette d√©finition de courbe rectifiable englobe et √©tend la pr√©c√©dente qui utilisait une int√©grale.

La c√īte bretonne.

Durant les XIXe et XXe si√®cles, des math√©maticiens d√©couvrent de nombreuses courbes ¬ę bizarres ¬Ľ comme celle de von Koch, qui ne sont pas rectifiables[35]. √Ä partir de 1967, Beno√ģt Mandelbrot[36] d√©finit et √©tudie les fractales √† partir d'une question apparemment tr√®s simple :

Question ‚ÄĒ Combien mesure la c√īte de la Bretagne ?

Mandelbrot explique que plus on cherchera √† pr√©ciser la mesure, plus celle-ci sera grande, jusqu'√† √©ventuellement devenir infinie[37]. En effet, si on mesure grossi√®rement le p√©rim√®tre de la Bretagne (ou de tout pays) sur une carte, on va obtenir un polygone. Mais plus la carte sera pr√©cise, plus le polygone sera d√©coup√© et donc son p√©rim√®tre grandira. Si l'on veut le ¬ę vrai ¬Ľ p√©rim√®tre de la Bretagne, il faudra aller sur place mesurer chaque caillou, chaque escarpement de rocher, voire chaque atome de ces composants. L'√©tude de ces objets d√©passe le cadre du calcul de p√©rim√®tres.

Annexes

Bibliographie

Livres
Articles
  • Groupe national de r√©flexion sur l‚Äôenseignement des math√©matiques en dispositifs relais, ¬ę Aire et P√©rim√®tre ¬Ľ

Notes et références

  1. ‚ÜĎ a‚ÄČ, b‚ÄČ, c‚ÄČ et d‚ÄČ B. Teissier, Volumes des corps convexes, g√©om√©trie et alg√®bre, Institut de Math√©matiques de Jussieu. Le√ßon donn√©e le jeudi 7 octobre 1999, r√©dig√©e par C. Reydy p 2
  2. ‚ÜĎ Tr√©sor de la langue fran√ßaise informatis√©, article p√©rim√®tre.
  3. ‚ÜĎ La m√©thode est d√©crite dans le paragraphe Archim√®de ou le site : S. Mehl Longueur du cercle selon Archim√®de ChronoMath
  4. ‚ÜĎ Chevalier et al. 2002 pour la formule et une d√©monstration.
  5. ‚ÜĎ a‚ÄČ et b‚ÄČ Amiot, XXVIIe le√ßon.
  6. ‚ÜĎ Aire et p√©rim√®tre, dossier d‚Äôactivit√©s p√©dagogiques r√©alis√© par le groupe national de r√©flexion sur l‚Äôenseignement des math√©matiques en dispositifs relais.
  7. ‚ÜĎ T. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. 2, Dover Publications, 1981, p 206 (ISBN 0486240746)
  8. ‚ÜĎ Fran√ßois Colmez, ¬ę De l'Aire et d'autres Grandeurs g√©om√©triques ¬Ľ, p. 3.
  9. ‚ÜĎ Le probl√®me isop√©rim√©trique Irem d'Orl√©ans p 2
  10. ‚ÜĎ Le probl√®me isop√©rim√©trique Irem d'Orl√©ans p 1
  11. ‚ÜĎ B. Teissier, Volumes des corps convexes, g√©om√©trie et alg√®bre, Institut de Math√©matiques de Jussieu. Le√ßon donn√©e le jeudi 7 octobre 1999, r√©dig√©e par C. Reydy p 6
  12. ‚ÜĎ G. Tulloue, Aire d'une ellipse, par l'universit√© de Nantes
  13. ‚ÜĎ a‚ÄČ et b‚ÄČ E. Weisstein, Ellipse du site mathworld
  14. ‚ÜĎ Cette construction est d√©crite dans l'article Une m√©thode g√©om√©trique √©l√©mentaire pour l'√©tude de certaines questions de la th√©orie des courbes plane published de 1906 : J J O'Connor, E F Robertson, Niels Fabian Helge von Koch, par le site sur l'histoire des math√©matiques de l'universit√© de St Andrew
  15. ‚ÜĎ Mandelbrot 1995
  16. ‚ÜĎ L'article fondateur est : F. Hausdorff, Dimension und √§usseres Mass, Math. Ann. Vol 79, 1918, pp 157-179
  17. ‚ÜĎ Eleanor Robson 2008, p. 61, 67.
  18. ‚ÜĎ H√©rodote, Histoire : Livre second - Euterpe, XV.
  19. ‚ÜĎ Neugebauer 1992. Une r√©solution de ce probl√®me est donn√©e dans l'article Inconnue (math√©matiques).
  20. ‚ÜĎ Cette l√©gende est racont√©e par : Virgile, √Čn√©ide [d√©tail des √©ditions] [lire en ligne] Livre 1,16.
  21. ‚ÜĎ Jean-Paul Brachet, Claude Moussy, Latin et langues techniques, Presses Paris Sorbonne, 2006, 334 p. (ISBN 2840504170) , p. 51-53.
  22. ‚ÜĎ ¬ę Qu‚Äôest-ce que l‚Äôoptimisation de forme ? ¬Ľ, dans 1903 - 2003 Un si√®cle de math√©matiques √† Nancy [texte int√©gral] 
  23. ‚ÜĎ Neugebauer 1992, p. 51.
  24. ‚ÜĎ Eleanor Robson 2008, p.  65,66.
  25. ‚ÜĎ Traduction libre et adaptation depuis Eleanor Robson 2008, p. 65.
  26. ‚ÜĎ a‚ÄČ et b‚ÄČ E. Fourrey, Curiosit√©s g√©om√©triques, Vuibert et Nony, 1907, 431 p. 
  27. ‚ÜĎ Ancien Testament, Premier livre des Rois, Version Louis Segond - 1910
  28. ‚ÜĎ Berggren et al. 2004, p. 681.
  29. ‚ÜĎ Traduction libre depuis Berggren et al. 2004, p. 681.
  30. ‚ÜĎ Berggren et al. 2004, p. 329.
  31. ‚ÜĎ J. C. P√©nin, Analyse et d√©marche analytique Actes du 11e colloque de Reims InterIrem d'Epist√©mologie et d'Histoire des Math√©matiques, Chap 4, p 311
  32. ‚ÜĎ Descartes, La g√©om√©trie, extrait du site : J. C. P√©nin, La rectification des courbes
  33. ‚ÜĎ J. C. P√©nin La rectification des courbes
  34. ‚ÜĎ C. Jordan, Cours d'analyse de l'√©cole polytechnique, 3 volumes, Jacques Gabay, premi√®re publication entre 1882 et 1887, √©dition 1991 (ISBN 2876470187)
  35. ‚ÜĎ Poincar√© 1908, p. 132
  36. ‚ÜĎ Mandelbrot 1995
  37. ‚ÜĎ Mandelbrot 1995
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