Paradoxe du train

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Paradoxe du train

Le paradoxe du train est une exp√©rience de pens√©e destin√©e √† illustrer des effets paradoxaux de la relativit√© restreinte : non-pertinence des notions de simultan√©it√© et d'ant√©riorit√© absolues et contraction des longueurs.

Sommaire

Description du paradoxe

La situation apparemment incoh√©rente pr√©sent√©e par le paradoxe du train est la suivante. Consid√©rons un train anim√© d'une vitesse v proche de celle de la lumi√®re (ce qui est par ailleurs impossible √† r√©aliser concr√®tement) et un tunnel ayant la m√™me longueur propre (c'est-√†-dire la longueur mesur√©e dans un rep√®re au repos par rapport √† l'objet mesur√©). La relativit√© restreinte indique que si nous mesurons la longueur du train depuis la voie, le train appara√ģtra plus court que le tunnel d'un facteur (1/ő≥ ) = [1 - (v2/c2)]¬Ĺ.

La situation vue du train est différente. C'est maintenant le tunnel qui est plus court que le train, le premier n'étant donc pas susceptible de contenir le second dans toute sa longueur.

Il en r√©sulte que pour les observateurs situ√©s sur la voie, l'arri√®re du train sera d√©j√† dans le tunnel quand l'avant en sortira. Pour les passagers du train, c'est l'inverse : l'avant sortira du tunnel alors que l'arri√®re n'y sera pas encore entr√©.

Imaginons alors l'exp√©rience suivante. Une bombe est situ√©e √† l'avant du train, pr√™te √† exploser au moment pr√©cis o√Ļ le train sort du tunnel. En m√™me temps cette bombe peut √™tre d√©samorc√©e gr√Ęce √† un signal √©mis √† l'arri√®re du train au moment pr√©cis o√Ļ la queue du convoi entre dans le tunnel. La bombe √©clatera-t-elle ou non ?

Dans le repère de la voie, l'arrière du train entre dans le tunnel avant que l'avant soit sorti. Le signal de désamorçage est émis et neutralise l'explosion. La bombe n'explose pas.

Dans le repère du train l'avant du train sort avant que l'arrière soit entré. Donc le signal de désamorçage ne peut pas atteindre l'avant. La bombe explose.

La bombe ne peut pas √† la fois exploser et ne pas exploser selon le rep√®re choisi. La relativit√© restreinte serait-elle en d√©faut ?

Contraction des longueurs

Paradoxe du train et du tunnel

Supposons que le tunnel soit équipé de deux détecteurs, un à l'entrée E et l'autre à la sortie S. Le train, supposé se déplacer à une vitesse proche de celle de la lumière, traverse ce tunnel. Le détecteur de sortie émet un signal lumineux A lorsque l'avant P du train sort du tunnel. Le détecteur d'entrée émet un signal lumineux B lorsque l'arrière Q du train entre dans le tunnel. Autrement dit l'événement A consiste dans le passage du point P du train devant le point S de la voie et l'événement B dans le passage du point Q du train devant le point E de la voie.

La relativit√© restreinte indique que vu de la voie le train para√ģt raccourcir. Cela veut dire que, pour les observateurs fixes, lorsque l'arri√®re Q du train entre dans le tunnel l'avant P n'en est pas encore sorti. Autrement dit l'√©clair A est √©mis apr√®s l'√©clair B. Si l'observateur O sur la voie est √† mi-distance des extr√©mit√©s du tunnel, il recevra donc d'abord l'√©clair B (et √† cet instant tout le train sera √† l'int√©rieur du tunnel) puis un bref instant apr√®s l'√©clair A.

La vision des passagers du train est diff√©rente. Pour eux c'est le tunnel qui para√ģt plus court que leur train. Cela revient √† dire que lorsque l'avant P du train est sorti du tunnel (√©clair A) l'arri√®re Q du train n'y est pas encore entr√© (√©clair B). Par cons√©quent l'ordre des √©v√©nements A et B est invers√© par rapport aux observateurs de la voie. L'√©v√©nement A pr√©c√®de maintenant l'√©v√©nement B. Un passager situ√© au milieu du train recevra l'√©clair A avant l'√©clair B.

Il n'y a rien d'incohérent à ces différences de point de vue entre l'observateur au repos et l'observateur en mouvement. La relativité restreinte affirme en effet que les notions d'antériorité et de simultanéité sont relatives, c'est-à-dire dépendent du référentiel dans lequel on fait les mesures. Elles n'ont pas de caractère absolu. Depuis la voie A est postérieur à B tandis que depuis le train B est postérieur à A.

Résolution du paradoxe

Revenons alors √† la question pos√©e. L'√©v√©nement A correspond √† l'explosion de la bombe plac√©e √† l'avant du train, l'√©v√©nement B √† celui de l'√©mission du signal de d√©sarmement de la bombe. Dans le rep√®re du train, il n'y a aucune ambigu√Įt√© : l'√©v√©nement B √©tant post√©rieur √† A, le signal de d√©samor√ßage B est √©mis alors que la bombe a d√©j√† explos√©. Dans le rep√®re de la voie le signal B est √©mis avant que la bombe explose. Mais ce signal aura-t-il le temps de parvenir jusqu'√† l'avant du train ? La r√©ponse est n√©gative, de sorte que la bombe explosera. On peut le montrer de plusieurs fa√ßons.

La relativit√© restreinte d√©finit le carr√© de l'intervalle spatio-temporel entre deux √©v√©nements A et B s√©par√©s par une distance temporelle őĒt et une distance spatiale őĒs par la formule

\,c^2\Delta \tau^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta s^2

et √©nonce que cette quantit√© est ind√©pendante du rep√®re dans lequel elle est √©valu√©e. En particulier elle peut √™tre positive ou n√©gative mais ce caract√®re ne d√©pend pas du syst√®me de coordonn√©es choisi. Si la quantit√© est n√©gative, cela signifie que l'intervalle est du type ¬ę espace ¬Ľ (la distance spatiale est plus grande que la distance temporelle) et que les √©v√©nements A et B sont ind√©pendants l'un de l'autre. Or puisque nous venons de voir que B n'a pas pu agir sur A quand on se place dans le rep√®re du train il en est n√©cessairement de m√™me dans le rep√®re de la voie ferr√©e[1]. Cela veut dire √† son tour que le signal √©mis par l'arri√®re du train n'aura pas le temps d'arriver √† l'avant pour emp√™cher l'explosion de la bombe. Dans le rep√®re de la voie, les observateurs fixes concluent √©galement que la bombe explosera.

Il n'y a pas de contradiction dans l'analyse de la relativité restreinte.

Les calculs suivants développent quantitativement ce raisonnement et fournissent tous les détails du problème.

Calcul algébrique

Illustration graphique du paradoxe

Diagramme d'espace-temps

Attention ! La contraction des longueurs est consid√©rablement exag√©r√©e : elle correspondrait √† une vitesse d'environ 0,6 c totalement irr√©alisable en pratique. Le diagramme montre que l'√©v√©nement A est situ√© hors de la zone d'influence de B.

Le schéma ci-contre représente le passage du train dans le tunnel dans un diagramme espace-temps. Y sont représentées les lignes d'univers d'une part de l'avant P du train et de l'arrière Q du train, et d'autre part de la sortie S du tunnel et de son entrée E.

Lorsque l'avant P du train co√Įncide avec la sortie S, c'est l'√©v√©nement A. Lorsque l'arri√®re Q du train co√Įncide avec l'entr√©e E du tunnel, c'est l'√©v√©nement B. Les coordonn√©es (xt) correspondent au rep√®re fixe de la voie. Les coordonn√©es (x ‚Äô, t ‚Äô) sont relatives au train. L'origine des coordonn√©es peut √™tre choisie de fa√ßon arbitraire. (Pour fixer les id√©es on peut prendre l'√©v√©nement B comme origine avec tB = t ‚ÄôB = 0.)

Le temps tA ou t ‚ÄôA correspondant √† l'√©v√©nement A est obtenu en menant de A la parall√®le √† l'axe x ou x ‚Äô et en notant o√Ļ cette parall√®le coupe l'axe temporel. On remarque imm√©diatement que tA est sup√©rieur √† tB tandis que t ‚ÄôA est inf√©rieur √† t ‚ÄôB. Autrement dit l'√©v√©nement A est post√©rieur √† l'√©v√©nement B pour les observateurs situ√©s sur la voie tandis que l'inverse est vrai pour les passagers du train, ces derniers jugeant que l'√©v√©nement A est ant√©rieur √† B. On a d√©montr√© pr√©c√©demment, alg√©briquement, que l'√©cart temporel entre A et B est le m√™me en valeur absolu dans les deux rep√®res, bien que le signe diff√®re.

Le diagramme montre encore que l'√©v√©nement A est situ√© √† l'ext√©rieur du c√īne de lumi√®re issu de l'√©v√©nement B. Autrement dit les √©v√©nements A et B ne peuvent pas √™tre li√©s par un quelconque lien de cause √† effet. La distance spatiale les s√©parant est trop grande devant leur distance temporelle de sorte qu'un signal issu de A ne peut pas atteindre l'√©v√©nement B avant que ce dernier se produise (et r√©ciproquement).

La droite joignant les √©v√©nements A et B repr√©sente l'axe des abscisses dans un rep√®re particulier, celui o√Ļ ces deux √©v√©nements ont lieu au m√™me instant[2]. La vitesse w de ce rep√®re par rapport √† la voie ferr√©e est inf√©rieure √† la vitesse du train. Dans un autre rep√®re, quelconque, l'√©v√©nement A sera ant√©rieur √† B si sa vitesse est sup√©rieure √† w (c'est le cas du train) et sera post√©rieur √† B si sa vitesse est inf√©rieure √† w (c'est le cas du rep√®re de la voie ferr√©e).

la lumière issue de l'arrière du train ne peut pas rejoindre à temps l'avant

Pour √©viter les fausses interpr√©tations des effets de relativit√© restreinte, redisons que la contraction de longueur √©voqu√©e ici n'est pas r√©aliste pour un vrai train ! Les effets de relativit√© restreinte d√©pendent du fameux facteur de Lorentz ő≥ et ne deviennent notables que lorsque les vitesses approchent celle de la lumi√®re, ce qui n'est pas le cas de la vitesse d'un train, qui reste inf√©rieure √† 3√ó10-7 c.

Animation

Le dessin animé ci-contre montre le passage du train dans le tunnel dans chacun des deux repères.

La partie d'en-bas d√©crit le passage du train dans le rep√®re du tunnel : le premier signal indique l'entr√©e de l'arri√®re du train dans le tunnel alors que le second marque la sortie de l'avant du train. Le signal √©mis par l'arri√®re du train n'a pas le temps d'atteindre l'avant.

La partie d'en-haut d√©crit la suite des √©v√©nements dans le rep√®re du train, dont les passagers voient arriver le tunnel vers eux : le premier signal concerne cette fois la sortie de l'avant du train, avant que le second signal se d√©clenche lorsque l'arri√®re du train passe dans le tunnel. Ce dernier signal, √©mis apr√®s le premier, ne peut √©videmment pas rejoindre l'avant du train.

Dans les deux analyses la bombe située à l'avant du train explose.

Notes

  1. ‚ÜĎ On peut encore raisonner par continuit√©. Puisque A est ant√©rieur √† B dans un rep√®re et post√©rieur √† B dans un autre, il existe un rep√®re de vitesse interm√©diaire dans lequel A et B seront simultan√©s. Dans ce rep√®re particulier le carr√© de l'intervalle spatio-temporel vaut -őĒx2 : il est donc n√©gatif, et restera n√©gatif dans tout rep√®re.
  2. ‚ÜĎ Il s'agit du rep√®re dans lequel le train et le tunnel ont la m√™me vitesse et qui, subissant de ce fait le m√™me raccourcissement, sont vus de m√™me longueur.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Paradoxe du train de Wikipédia en français (auteurs)

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