Nombre Pi

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Nombre Pi

Pi

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Si le diamĂštre du cercle est 1, sa circonfĂ©rence est π.

Le nombre pi, notĂ© par la lettre grecque du mĂȘme nom π (toujours en minuscule), est le rapport constant[1] entre la circonfĂ©rence d’un cercle et son diamĂštre. Il est appelĂ© aussi constante d’ArchimĂšde.

Le nombre π est aussi le rapport constant entre l’aire d’un disque et le carrĂ© de son rayon.

Valeurs approchĂ©es courantes : 3,14 ; 3,1416 ; 22/7 ; 355/113

Mais π est un nombre irrationnel, c’est-Ă -dire qu’il n’est pas le rapport de deux nombres entiers. En fait, ce nombre est transcendant[2]. Cela signifie qu’il n'existe pas de polynĂŽme non nul Ă  coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π Ă©tablit l’impossibilitĂ© de rĂ©soudre le problĂšme de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, Ă  l’aide de la rĂšgle et du compas seulement, un carrĂ© dont la surface est rigoureusement Ă©gale Ă  la surface d’un disque donnĂ©.

π ≈ 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Sommaire

Histoire

Premiers calculs

Il semble que, trĂšs tĂŽt, les mathĂ©maticiens aient Ă©tĂ© convaincus qu’il existait un rapport constant entre le pĂ©rimĂštre du cercle et son diamĂštre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carrĂ© du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J.-C. et dĂ©couvertes en 1936[3] prĂ©sentent des calculs d’aire conduisant Ă  une valeur de π de 3+1/8. La tablette propose un premier calcul qui utilise une valeur de π Ă©gale Ă  3. Ce calcul est suivi d’un autre prĂ©sentant un facteur correctif de 1/(57/60+36/3600).

PremiĂšre approximation de π : 3
Seconde approximation : 3\times \frac{1}{57/60 + 36/3600} = 3 \times \frac{25}{24} = 3 + \frac 18 = 3,125
Approximation de pi par AhmĂšs

DĂ©couvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopiĂ© vers l’an 1650 avant notre Ăšre par le scribe Ă©gyptien AhmĂšs, d’un manuel de problĂšmes pĂ©dagogique plus ancien encore. On y trouve une mĂ©thode pour Ă©valuer l’aire d’un disque en prenant le carrĂ© dont le cĂŽtĂ© est Ă©gal au diamĂštre du disque diminuĂ© d’un neuviĂšme. Cette mĂ©thode conduit Ă  une Ă©valuation de π de 256⁄81. Dans l’illustration ci-contre, le disque a pour diamĂštre 9. L’aire du disque est lĂ©gĂšrement supĂ©rieure Ă  l’aire de l’octogone irrĂ©gulier obtenu en rognant les coins du carrĂ© de cĂŽtĂ© 9. Cet octogone a pour aire 63, l’aire du disque est alors Ă©valuĂ©e Ă  64 soit l’aire d'un carrĂ© de cĂŽtĂ© 8.

Autre approximation : \pi = \frac{A}{r^2}=\frac{64}{(9/2)^2} = \frac{256}{81}\approx 3,1605

Mais ni chez les Babyloniens, ni chez les Égyptiens, on ne dĂ©cĂšle une volontĂ© de mettre en Ă©vidence un nombre ni de montrer que le rapport entre l’aire du disque et le carrĂ© du rayon est le mĂȘme que le rapport entre la circonfĂ©rence du cercle et son diamĂštre.

Formule restant Ă  prouver :  \pi = \frac{A}{r^2}=\frac pd

C’est chez ArchimĂšde, dans son traitĂ© De la mesure du cercle[4] que l’on peut lire une dĂ©monstration liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant pour base le pĂ©rimĂštre du cercle et pour hauteur le rayon.

Aire du disque = \scriptstyle \frac12 circonfĂ©rence × rayon =\scriptstyle  \frac12 \pi\times d \times r = \pi r^2

C’est ainsi qu’il prouve que le mĂȘme nombre s’utilise dans les deux formules. Dans ce mĂȘme traitĂ©, ArchimĂšde prouve que le rapport entre le pĂ©rimĂštre du cercle et son diamĂštre est compris entre 3 + 10⁄71 et 3 + 1⁄7.

Encadrement de π : 3,1408 < π < 3,1429

Approximation de pi par ArchimĂšde

La premiĂšre dĂ©monstration s’appuie sur la mĂ©thode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d’un carrĂ© inscrit dans le cercle et d’un carrĂ© circonscrit au cercle et en multipliant indĂ©finiment par 2 le nombre de cĂŽtĂ©s, il prouve que l’aire du disque ne peut ĂȘtre infĂ©rieure ni supĂ©rieure Ă  celle du triangle correspondant.

Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit

Sa dĂ©monstration exploite l’idĂ©e du dĂ©coupage en quartiers : le cercle est dĂ©coupĂ© en plusieurs quartiers qui, mis bout Ă  bout, dessinent des triangles curvilignes de mĂȘme hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au pĂ©rimĂštre du cercle et l’aire est alors de 1⁄2 de la base multipliĂ©e par la hauteur, c’est-Ă -dire 1⁄2 du pĂ©rimĂštre multipliĂ© par le rayon.

DĂ©coupage du cercle en 8 portions de camembert DĂ©roulement des 8 portions

La seconde dĂ©monstration consiste Ă  encadrer le pĂ©rimĂštre du cercle par le pĂ©rimĂštre de polygones rĂ©guliers inscrit et circonscrit au cercle et possĂ©dant 96 cĂŽtĂ©s. Pour calculer les pĂ©rimĂštres de ces polygones, il part d’hexagones inscrit et circonscrit et met en Ă©vidence les formules donnant le pĂ©rimĂštre d’un polygone dont le nombre de cĂŽtĂ© a doublĂ©. ArchimĂšde s’arrĂȘte Ă  96 cĂŽtĂ©s car les calculs qu’il est amenĂ© Ă  effectuer, avec valeurs approchĂ©es, sont dĂ©jĂ  longs pour l’époque. Mais il met en place ainsi une mĂ©thode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en thĂ©orie ĂȘtre poursuivie indĂ©finiment.


Ce n’est cependant pas ArchimĂšde qui attribue Ă  ce rapport la lettre grecque « Ï€ Â», premiĂšre lettre des mots grecs πΔρÎčφέρΔÎčα (pĂ©riphĂ©rie) et Ï€Î”ÏÎŻÎŒÎ”Ï„ÏÎżÏ‚ (pĂ©rimĂštre, c'est-Ă -dire circonfĂ©rence) mais William Jones en 1706. Cette notation, reprise par Euler en 1736, est dĂ©finitivement adoptĂ©e dĂšs la fin du XVIIIe siĂšcle[5].

À la conquĂȘte des dĂ©cimales

Encadrement de Liu Hui. MĂ©thode dĂ©veloppĂ©e dans en:Liu Hui's π algorithm.

Si les calculs pratiques peuvent se satisfaire de la valeur 3,14 comme bonne approximation de π, la curiositĂ© des mathĂ©maticiens les pousse Ă  dĂ©terminer ce nombre avec plus de prĂ©cision. Au IIIe siĂšcle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le pĂ©rimĂštre et le diamĂštre la valeur pratique de 3 mais dĂ©veloppe des calculs proches de ceux d’ArchimĂšde mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416[6]. Le mathĂ©maticien chinois Zu Chongzhi donna une approximation rationnelle encore plus prĂ©cise de π[7] : π ≈ 355/113 (dont les dĂ©veloppement dĂ©cimaux sont identiques jusqu'Ă  la 6Ăšme dĂ©cimale, π ≈ 3,1415926 et 355/113 ≈ 3,1415929).

En Perse, en 1429, Al-Kashi calcule 14 dĂ©cimales de π. En 1596, toujours avec des mĂ©thodes gĂ©omĂ©triques, l’Allemand Ludolph van Ceulen calcule 20 dĂ©cimales, puis 34 en 1609. Il est si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu’il demande Ă  ce que le nombre soit gravĂ© sur sa tombe.

Ensuite, grĂące au dĂ©veloppement de l’analyse au XVIIe siĂšcle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des dĂ©cimales de Pi s’accĂ©lĂšre.

James Gregory (1638 - 1675) dĂ©couvre la formule suivante[8] :

James Gregory(1638 - 1675)
\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}

qui permet en prenant une valeur adĂ©quate pour x de calculer π. Cependant, il ne semble pas que ceci ait interessĂ© Gregory. Il souhaitait, par d'autres moyens, arriver Ă  l'impossibilitĂ© de la quadrature du cercle en montrant la transcendance de π, ce qui est exact mais sa mĂ©thode Ă©tait erronĂ©e[9].

En fait, la formule de dĂ©veloppement en sĂ©rie de la fonction arctan avait dĂ©jĂ  Ă©tĂ© proposĂ©e vers 1410 par le mathĂ©maticien indien Madhava de Sangamagrama (1350-1425). Celui-ci prĂ©cise les cas particuliers π/4=arctan(1) et π/6=arctan(1/√3) :

\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}
\pi=\frac{6}{\sqrt 3}\left(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\frac{1}{7\cdot 3^3}+...\right)=\frac{6}{\sqrt 3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cdot 3^k}

La premiĂšre sĂ©rie est remarquablement simple mais n'est guĂšre utile pour calculer π. En effet, la prĂ©cision du calcul est de 1/(2n+1), c’est-Ă -dire qu’il est nĂ©cessaire de calculer 500 termes pour n’avoir une erreur que sur la troisiĂšme dĂ©cimale. La seconde, par contre, fournit une mĂ©thode de calcul plus efficace que celle d'ArchimĂšde. Elle permet Ă  Madhava de calculer 11 dĂ©cimales de π[10]. En utilisant cette mĂȘme sĂ©rie, Sharp en 1699 calcule 71 dĂ©cimales de π[11].

Isaac Newton calcule 16 dĂ©cimales en 1665, en utilisant le dĂ©veloppement en sĂ©rie de π/6=arcsin 1/2[11].

En 1706, John Machin utilise astucieusement le dĂ©veloppement en sĂ©rie de Gregory, en Ă©tablissant la formule qui porte son nom :

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

et calcule 100 dĂ©cimales de π[12].

Vers 1760, Euler calcule 20 dĂ©cimales en une heure (Ă  comparer avec la trentaine de dĂ©cimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathĂ©maticien slovĂšne Jurij Vega calcule en 1789 les 140 premiĂšres dĂ©cimales π parmi lesquelles 137 sont correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il amĂ©liore la formule que John Machin avait trouvĂ©e en 1706 et sa mĂ©thode est toujours mentionnĂ©e aujourd'hui. Le mathĂ©maticien William Shanks passe 20 ans de sa vie Ă  calculer les dĂ©cimales de Pi. En 1873, Ă  l’aide de la formule de Machin, il prĂ©sente 707 dĂ©cimales de π, mais seules les 528 premiĂšres sont correctes. À l'occasion de l’exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravĂ©es dans la salle π du Palais de la DĂ©couverte. L’erreur ne sera dĂ©tectĂ©e qu’en 1945, elle est corrigĂ©e depuis.

Le calcul des dĂ©cimales de π s’emballe au XXe siĂšcle avec l’apparition de l’informatique : 2 037 dĂ©cimales sont calculĂ©es en 1949 par le calculateur amĂ©ricain ENIAC, 10 000 dĂ©cimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la mĂȘme annĂ©e. En 2002, 1 241 100 000 000 dĂ©cimales Ă©taient connues.

Les approximations trĂšs prĂ©cises de π sont gĂ©nĂ©ralement calculĂ©es avec l’algorithme de Gauss-Legendre et l’algorithme de Borwein.

Lemniscate de Bernoulli

L’algorithme de Salamin-Brent, donnant un trĂšs grand nombre de dĂ©cimales et inventĂ© en 1976, s’appuie sur un vieux rĂ©sultat pressenti puis dĂ©montrĂ© par Gauss. En 1818, celui-ci dĂ©montre le lien existant entre la moyenne arithmĂ©tico-gĂ©omĂ©trique de 1 et √2 (M(1,√2)), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est L=2 \varpi r oĂč r reprĂ©sente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et oĂč \varpi est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c’est-Ă -dire l’inverse de M(1,√2) alors

\varpi=\pi G

L’AmĂ©ricain EugĂšne Salamin et l’Australien Richard Brent utilisent ce rĂ©sultat pour un algorithme donnant les dĂ©cimales de π dont la convergence est quadratique, c’est-Ă -dire que le nombre de dĂ©cimales justes double Ă  chaque Ă©tape. La conquĂȘte des dĂ©cimales de π avance alors conjointement avec celle des dĂ©cimales de √2[13].

On peut voir 1 000 000 de dĂ©cimales de π et de 1⁄π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de dĂ©cimales, dĂ©terminĂ©es aprĂšs 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallĂšle Hitachi Ă  64 nƓuds, avec 1 tĂ©raoctet de mĂ©moire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d’opĂ©rations en virgule flottante par seconde, soit prĂšs de deux fois plus que pour le prĂ©cĂ©dent record (206 milliards de dĂ©cimales) ; les formules de Machin suivantes ont Ă©tĂ© utilisĂ©es pour cela :

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982)
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu’elles n’ont aucune utilisation pratique, si ce n’est tester les nouveaux supercalculateurs.

D’autres mĂ©thodes et algorithmes sont actuellement Ă  l’étude et mis en Ɠuvre comme l’utilisation en parallĂšle d’ordinateurs connectĂ©s sur le rĂ©seau Internet.

ParallĂšlement Ă  ces recherches, d'autres algorithmes se mettent en place pour calculer directement la ne dĂ©cimale de π. En 1995, David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, dĂ©couvre une nouvelle formule de π, une sĂ©rie (souvent appelĂ©e formule BBP) :

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Cette formule permet de calculer facilement la ne dĂ©cimale binaire ou hexadĂ©cimale de π, sans avoir Ă  calculer les dĂ©cimales prĂ©cĂ©dentes. Le site de Bailey[14] en contient la dĂ©rivation et l’implĂ©mentation dans de nombreux langages de programmation. GrĂące Ă  une formule dĂ©rivĂ©e de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000e chiffre de π en base 2 a Ă©tĂ© obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la ne dĂ©cimale de π, mais cette fois-ci en dĂ©cimal[15]. Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de dĂ©terminer en base 10 un chiffre prĂ©cis et isolĂ© de π est moins rapide que celui qui consiste Ă  calculer tous les chiffres dĂ©cimaux prĂ©cĂ©dents.

De la nature de π

Article dĂ©taillĂ© : Quadrature du cercle.

DĂšs l’époque grecque, la question de la quadrature du cercle est posĂ©e :

« Peut-on, uniquement avec une rĂšgle non graduĂ©e et un compas, construire un carrĂ© dont l’aire a mĂȘme surface que celle d’un disque donnĂ© ? Â»

Le fait que certaines lunules soient quarables a laissĂ© l’espoir aux mathĂ©maticiens qu’une telle construction Ă©tait possible. RĂ©aliser la quadrature du cercle, c’est trouver une mĂ©thode permettant, lorsqu'une longueur r est donnĂ©e, de construire Ă  la rĂšgle et au compas la longueur r√π. DerriĂšre la question de la quadrature du cercle, se pose la question de la nature du nombre π . Les Grecs savaient construire toute longueur en rapport rationnel (rapport de deux entiers) avec une autre, et mĂȘme la racine carrĂ©e de celle-ci. Si π avait Ă©tĂ© rationnel, le problĂšme aurait Ă©tĂ© terminĂ©. Mais les Grecs Ă©taient incapables de statuer sur la rationalitĂ© ou l’irrationalitĂ© de π. De plus, l’irrationalitĂ© de π n’aurait prouvĂ© aucune impossibilitĂ© pour la construction. En effet, Euclide avait dĂ©jĂ  prouvĂ© que √2 Ă©tait irrationnel ce qui n’empĂȘchait nullement la duplication du carrĂ©. Cependant, trĂšs rapidement, on pressent qu’un nombre qui ne serait pas solution d’une Ă©quation polynomiale Ă  coefficients entiers, c’est-Ă -dire un nombre transcendant, a peu de chance d’ĂȘtre constructible. Ce pressentiment ne deviendra une certitude que lorsque Pierre-Laurent Wantzel Ă©noncera, en 1837, son thĂ©orĂšme sur les nombres constructibles. Une des consĂ©quences de son thĂ©orĂšme permet d’affirmer qu’une longueur constructible est toujours un nombre algĂ©brique.

Jean Henri Lambert (1728-1777)

La question Ă  laquelle les mathĂ©maticiens doivent rĂ©pondre est donc double :

  • le nombre π est-il rationnel ?
  • le nombre π est-il transcendant?

Le dĂ©veloppement de π selon la sĂ©rie

\pi = 8\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{9\times 11}+ \cdots \right)

laisse soupçonner que π n’est pas rationnel mais sans dĂ©monstration rigoureuse Ă  l’appui. Les fractions continues gĂ©nĂ©ralisĂ©es vont fournir la rĂ©ponse Ă  la question.

En 1761, dans son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, Jean Henri Lambert étudie le développement en fraction continue de tan(x) et montre que, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(m/n) est

\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots [16]

Par consĂ©quent, lorsque x est rationnel, le dĂ©veloppement en fraction continue de tan(x) est illimitĂ©. Or on sait qu’un dĂ©veloppement illimitĂ© conduit Ă  un nombre irrationnel. Bref, quand x est rationnel, tan(x) est irrationnel. Or tan(π/4) vaut 1, c’est un rationnel. Par contraposĂ©e, on peut affirmer que π/4 n’est pas rationnel.

Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)

En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme nĂ©pĂ©rien le nombre e est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann gĂ©nĂ©ralise son raisonnement en un thĂ©orĂšme (ThĂ©orĂšme d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algĂ©brique, alors ex est transcendant. Or eiπ = -1 donc eiπ n’est pas transcendant. Par contraposĂ©e, iπ n’est pas algĂ©brique et π est transcendant.

Mais de nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algĂ©briquement indĂ©pendant ou bien existe-t-il une Ă©quation polynomiale Ă  deux variables et Ă  coefficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre O Gel'fond prouve que eπ est transcendant [17] et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et eπ sont algĂ©briquement indĂ©pendants.

Par ailleurs, le dĂ©veloppement dĂ©cimal de π ouvre le champ Ă  d’autres questions

  • Existe-t-il un nombre infini de 0 ? de 1 ? de 2 ? etc. dans le dĂ©veloppement dĂ©cimal ?
  • Les 10 chiffres de l’écriture dĂ©cimales sont-ils Ă©quirĂ©partis ?
  • π est-il un nombre univers ? C’est-Ă -dire, peut-on trouver dans le dĂ©veloppement dĂ©cimal de π n’importe quelle sĂ©quence de chiffres ?
  • π est-il un nombre normal ? Les sĂ©quences de n chiffres sont-elles Ă©quiprobables ?

À ce jour[18], il n'existe pas de rĂ©ponse Ă  ces questions[19].

π grandeur physique ?

La dĂ©finition de π comme le rapport constant entre la longueur d’un cercle et son diamĂštre pourrait laisser penser que cette grandeur est une grandeur physique et qu’il suffirait, pour en dĂ©terminer une valeur prĂ©cise, de prendre un cercle assez grand et d’effectuer les deux mesures correspondantes. On peut, par une expĂ©rience de l’esprit, imaginer qu’un Chinois, ou un Babylonien, convaincu de cette mĂ©thode, se soit rendu sur une surface suffisamment vaste et plane pour effectuer ces mesures. On peut imaginer qu’il ait poursuivi l’expĂ©rience en agrandissant fortement le rayon du cercle. Il aurait alors eu la surprise de constater que ce rapport n’était plus constant mais variable, que ce rapport, proche de 3,14 pour un petit cercle, tendait Ă  diminuer quand le rayon du cercle augmentait de façon significative. En effet, les mesures qu’il aurait effectuĂ©es sont des mesures effectuĂ©es sur la terre, c’est-Ă -dire sur une sphĂšre. En gĂ©omĂ©trie sphĂ©rique, le rapport circonfĂ©rence/diamĂštre n’est pas constant. Le rĂ©sultat Ă©noncĂ© prĂ©cĂ©demment n’est valable qu’en gĂ©omĂ©trie euclidienne. Les physiciens Ă©mettent l’hypothĂšse que notre univers puisse ne pas ĂȘtre euclidien. Dans ce cas, la circonfĂ©rence d’un cercle physique ne vaudrait pas π multipliĂ© par le diamĂštre. Mais, quelle que soit la nature globale de notre univers, la thĂ©orie de la relativitĂ© indique que les masses dĂ©forment localement notre espace. La valeur de π × d comme circonfĂ©rence d’un cercle physique n’est donc qu’une approximation qui ne nĂ©cessite pas tous les efforts de prĂ©cision sur les dĂ©cimales. Le nombre π n’est donc qu’une constante mathĂ©matique utile dans un espace mathĂ©matique euclidien. Cette observation a poussĂ© certains mathĂ©maticiens Ă  rechercher une dĂ©finition de π moins concrĂšte.

Formules incluant π

Les formules intĂ©ressantes contenant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathĂ©matiques et des sciences. Une des plus cĂ©lĂšbres aprĂšs celles relevant de la dĂ©finition gĂ©omĂ©trique de π est l’identitĂ© d'Euler. Cette formule a Ă©tĂ© dĂ©crite comme la formule la « plus remarquable Â» pour sa particularitĂ© de faire intervenir 1, 0, e, i et, bien sĂ»r, π, qui sont parmi les nombres les plus « remarquables Â» des mathĂ©matiques.

e^{i \pi} + 1 = 0\;

Géométrie

Pi apparaßt dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphÚres

Forme géométrique Formule
CirconfĂ©rence d’un cercle de rayon r et de diamĂštre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire d’un disque de rayon r A = \pi r^2 \,\!
Aire d’une ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume d’une boule de rayon r V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!
Aire surfacique d’une sphùre de rayon r A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!
Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r V = \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d’un cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume d’un cîne de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique d’un cîne de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

La surface d’un cylindre circonscrit Ă  la sphĂšre et de mĂȘme hauteur est la mĂȘme (bases du cylindre exclues).
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphĂšres (Ă  plus de 3 dimensions). La mesure d’angle 180° (en degrĂ©s) est Ă©gale Ă  π radians.

En gĂ©omĂ©trie non euclidienne, la somme des angles d’un triangle peut ĂȘtre supĂ©rieure ou infĂ©rieure Ă  π, et le rapport de la circonfĂ©rence du cercle Ă  son diamĂštre peut aussi ĂȘtre diffĂ©rent de π.

DĂ©finitions alternatives

Article dĂ©taillĂ© : Exponentielle.

La dĂ©finition historique et usuelle du nombre π (le rapport de la circonfĂ©rence d’un cercle et de son diamĂštre) est parfois gĂȘnante pour dĂ©gager les propriĂ©tĂ©s du nombre π, qui dĂ©passent largement le cadre de la gĂ©omĂ©trie euclidienne. À l’instar des fonctions cosinus et sinus qui sont dĂ©finies de maniĂšre intuitive grĂące au cercle trigonomĂ©trique mais de maniĂšre rigoureuse grĂące aux sĂ©ries entiĂšres, nous pouvons introduire une dĂ©finition analytique de π, ce qui facilite grandement l’étude de ce nombre grĂące aux outils de l’analyse.

Les propriĂ©tĂ©s exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui dĂ©coulent de la dĂ©finition analytique de l’exponentielle font que l’application \scriptstyle t \mapsto \exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe \scriptstyle (\R,+) vers le groupe \scriptstyle (\mathbb{U},\times) (oĂč \scriptstyle \mathbb{U} est l’ensemble des complexes de module Ă©gal Ă  1). On dĂ©montre alors que l’ensemble des nombres rĂ©els t tels que exp(it) = 1 est de la forme \scriptstyle a\Z oĂč a est un rĂ©el strictement positif. On pose alors π = a / 2. Le calcul intĂ©gral permet ensuite de vĂ©rifier que cette dĂ©finition abstraite correspond bien Ă  celle de la gĂ©omĂ©trie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une dĂ©finition alternative trĂšs voisine en dĂ©montrant l’existence d’un morphisme de groupe f continu de \scriptstyle (\R,+) vers \scriptstyle (\mathbb{U},\times) tel que f(1/4) = i. Il dĂ©montre que ce morphisme est pĂ©riodique de pĂ©riode 1, dĂ©rivable et qu’il existe un rĂ©el a tel que, pour tout rĂ©el x, f'(x) = 2iaf(x). Il dĂ©finit π comme le rĂ©el ainsi trouvĂ©.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à rectifier le cercle soit avec la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{it}, soit avec la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{2i\pi t}

Mais on peut aussi dĂ©finir π grĂące au calcul intĂ©gral en posant :

 {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx\,

ce qui revient à calculer l’aire d’un quart de disque

Ou bien Ă  l’aide du dĂ©nombrement, en appelant \scriptstyle \varphi(n), le nombre de couples d’entiers naturels (k, p) tels que \scriptstyle k^2+p^2 \le n^2 et en dĂ©finissant :

\frac{\pi}{4}= \lim_{n \mapsto \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}

ce qui est une autre méthode de quarrer le quart de cercle.

Ou bien encore, si la fonction cosinus a Ă©tĂ© dĂ©finie formellement soit par sa sĂ©rie entiĂšre soit par l’unique solution de l’équation diffĂ©rentielle y'' = − y vĂ©rifiant f(0) = 1 et f'(0) = 0, le nombre π peut ĂȘtre dĂ©fini comme le plus petit rĂ©el positif a tel que cos(a)= - 1.

Enfin, toutes les suites Ă©tablies dans la section suivante fournissent une dĂ©finition alternative de π.

Suites et séries

De nombreuses suites ou sĂ©ries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont mĂȘme Ă  l’origine de calculs de valeurs approchĂ©es de ce nombre.

MĂ©thode d’ArchimĂšde

\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right).

Les deux suites dĂ©finies par \scriptstyle s_n=n\sin(\pi/n), et \scriptstyle t_n=n\tan(\pi/n), n ≄ 3, reprĂ©sentent les demi-pĂ©rimĂštres des polygones rĂ©guliers Ă  n cĂŽtĂ©s, inscrit dans le cercle trigonomĂ©trique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de cĂŽtĂ©s du polygone) double Ă  chaque itĂ©ration, pour obtenir π par passage Ă  la limite d’expressions utilisant les opĂ©rations arithmĂ©tiques Ă©lĂ©mentaires et la racine carrĂ©e. Ainsi on peut s’inspirer de la mĂ©thode utilisĂ©e par ArchimĂšde — voir historique du calcul de π — pour donner une dĂ©finition par rĂ©currence des suites extraites de termes \scriptstyle s_{2^n} et \scriptstyle t_{2^n} ou encore \scriptstyle s_{3.2^n} et \scriptstyle t_{3.2^n}, Ă  l’aide des identitĂ©s trigonomĂ©triques usuelles :

\begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}

En utilisant les identitĂ©s trigonomĂ©triques, \scriptstyle 2\sin(x/2)=\sqrt{2-\cos(x)} et \scriptstyle 2\cos(x/2)=\sqrt{2+\cos(x)} (x ∈ [0,π]), on peut exprimer s2k+1 et s3.2k (k≄1) par emboĂźtements successifs de racines carrĂ©es. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors s’exprimer sous la forme d’une formule oĂč s'emboĂźtent des racines carrĂ©es :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) (k est le nombre de racines carrées emboitées)

ou encore :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Une autre expression de s2k+1, qui peut se dĂ©duire simplement de la premiĂšre de ces deux Ă©galitĂ©s (multiplier par √(2+√
)), conduit au produit infini suivant (formule de François ViĂšte, 1593).

\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots

Sommes et produits infinis

Fonction zĂȘta de Riemann

Article dĂ©taillĂ© : Fonction zĂȘta de Riemann.
  • \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90},
et plus gĂ©nĂ©ralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π2n pour un entier positif n.

Fonction Gamma d’Euler

Fraction continue

π peut s’écrire sous forme de fractions continues gĂ©nĂ©ralisĂ©es remarquables :

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}
 = {1 + {1^{2}\over 2
              + {3^{2}\over 2
              + {5^{2}\over 2
              + {7^{2}\over 2
              + {9^{2}\over 2
              + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}  (William Brouncker)
\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}

Les dĂ©monstrations ainsi que d’autres reprĂ©sentations sont donnĂ©es dans l’article Fraction continue.

Théorie des nombres

La frĂ©quence d’apparition de paires d’entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d’entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/πÂČ quand N tend vers l’infini.

Le nombre moyen de façons d’écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrĂ©s parfaits, en tenant compte de l’ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l’infini.

\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2 oĂč \varphi\, est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).

Probabilité

L’aiguille de Buffon est une expĂ©rience de probabilitĂ© proposĂ©e par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant Ă  calculer la probabilitĂ© qu’une aiguille de longueur a, lancĂ©e sur une parquet fait de lattes de largeur l, soit Ă  cheval sur deux lattes, cette probabilitĂ© p est :

p = \frac{2a}{\pi\times  l}
Évaluation de π par la mĂ©thode de Monte Carlo

La mĂ©thode de Monte Carlo est une autre expĂ©rience probabiliste consiste Ă  prendre au hasard un point dans un carrĂ© de cĂŽtĂ© 1, la probablitĂ© que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 est de π/4.

Les deux formules suivantes, tirĂ©es de l’analyse trouvent des applications pratique en probabilitĂ©. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densitĂ© d’une loi de Gauss.

Voir aussi

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} presque sĂ»rement, lorsque les xi sont les itĂ©rĂ©s de la fonction logistique de paramĂštre ÎŒ = 4 appliquĂ©e Ă  un rĂ©el x0 choisi dans l'intervalle [0, 1] (c’est-Ă -dire qu’on dĂ©finit, pour tout i > 0, x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)~).

Autour de π

Retenir π

Un moyen mnĂ©motechnique est ce poĂšme[20] oĂč le nombre de lettres de chaque mot correspond Ă  une dĂ©cimale, hormis un mot de 10 lettres codĂ© « 0 Â» :

Que j’aime Ă  faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel ArchimÚde, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problĂšme eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problÚme bloquait
Tout l’admirable procĂ©dĂ©, l’Ɠuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intĂ©grer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il Ă©quivaudra ?
Nouvelle invention : ArchimĂšde inscrira
Dedans un hexagone ; apprĂ©ciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
DĂ©doublera chaque Ă©lĂ©ment antĂ©rieur ;
Toujours de l’orbe calculĂ©e[21] approchera ;
DĂ©finira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problĂšme avec zĂšle

En 2005, un Japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a rĂ©ussi Ă  aligner par cƓur 83 431 dĂ©cimales de π en 13 heures. Il rĂ©itĂ©ra son record un an plus tard (2006) en mĂ©morisant et rĂ©citant publiquement 100 000 dĂ©cimales pendant 16 heures. Cet exploit a Ă©tĂ© homologuĂ© par le Livre Guinness des records.

Hommages Ă  π

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fĂȘte l’anniversaire de π dans certains dĂ©partements mathĂ©matiques des universitĂ©s le 14 mars. Le 14 mars qui est notĂ© "3/14" en notation anglo-saxonne, est donc appelĂ© la journĂ©e de pi[22]. On y mange des tartes (pie en anglais).

De mĂȘme, le 22 juillet, notĂ© "22/7", est l'occasion de fĂȘter une approximation de π.

Le systĂšme logiciel de composition de documents TeX a choisi, en hommage Ă  π, de nommer ses versions du nom des approximations dĂ©cimales successives de pi. La version actuelle est donc la version 3.1415926

π et culture populaire

Si π est un nombre univers, il est normal, quoique parfois surprenant, de trouver dans les dĂ©cimales de π, n’importe quelle sĂ©quence de nombres. Jean-Paul Delahaye[19] signale par exemple que la somme des 20 premiĂšres dĂ©cimales de π donne 100 ; Robert Gold, amateur de guĂ©matrie, affirme avoir trouvĂ©, Ă  l’aide de calculs compliquĂ©s, que les mots clefs de la Bible Ă©taient dans π[23].

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la prĂ©sence du nombre π dans les pyramides et, plus prĂ©cisĂ©ment, que π est le rapport entre le pĂ©rimĂštre de la base et le double de la hauteur des pyramides[24]. Il est vrai que la pyramide de KhĂ©ops possĂšde une pente de 14/11, et que, par consĂ©quent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 Ă©tant une bonne approximation de π , le rapport entre le pĂ©rimĂštre et le double de la hauteur de la pyramide de KhĂ©ops est bien voisin de π . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sĂ»r[25] puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les rĂ©gions et les Ă©poques, l’on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboĂŻdale) qui conduisent Ă  un rapport entre pĂ©rimĂštre et double de la hauteur Ă©loignĂ© de π.

Notes et références

  1. ↑ dans un plan euclidien
  2. ↑ Ce qui a Ă©tĂ© prouvĂ© par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Ăœber die Zahl π Â», Mathematische Annalen 20 (1882), p. 213-225.
  3. ↑ Tablettes de Suse - voir par exemple ici
  4. ↑ Voir une traduction du texte original
  5. ↑ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [dĂ©tail des Ă©ditions] , volume 2, p. 9 nos 396 - 398
  6. ↑ Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Edition critique" [dĂ©tail des Ă©ditions], p. 144-147
  7. ↑ (en) D’aprùs sa biographie sur le site de Mac Tutor, dans son texte Zhui shu.
  8. ↑ a  et b  attribuĂ©e souvent Ă  Leibniz, mais dĂ©couverte probablement antĂ©rieurement par Gregory, voir (en)Pi_through_the_ages.html sur le site de l’universitĂ© de Saint Andrews. Cette formule avait Ă©galement Ă©tĂ© trouvĂ©e vers 1400 par le mathĂ©maticien indien Madhava, mais cette dĂ©couverte resta inconnue du monde occidental.
  9. ↑ Voir (en)Squaring the circle, et la (en)biographie de Gregory sur le site de l’universitĂ© de Saint Andrews
  10. ↑ a  et b  (en) Biographie de Madhava sur le site de l’universitĂ© de Saint-Andrew
  11. ↑ a  et b  http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_chronology.html
  12. ↑ 26 dĂ©cimales suffisent pour estimer la taille de l’univers avec une prĂ©cision Ă©gale Ă  la taille d’un atome.
  13. ↑ La recherche, no 392, DĂ©cembre 2005, L’indispensable nombre π
  14. ↑ (en)site de bailey
  15. ↑ Voir (en) page de Simon Plouffe
  16. ↑ Pour plus de dĂ©tail voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombre de Pythagore
  17. ↑ La recherche, no 392, DĂ©cembre 2005, L'indispensable nombre π
  18. ↑ octobre 2008
  19. ↑ a  et b  ConfĂ©rence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple ou compliquĂ© consultable ici
  20. ↑ PubliĂ© pour la premiĂšre fois par the academy, d'aprĂšs la Revue scientifique, 1905. Les quatre premiers vers sont connus en 1846, dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste
  21. ↑ Le mot orbe est du masculin mais ce ne fut pas toujours le cas, ceci induit Ă  prĂ©sent une faute d’accord Ă  « calculĂ©e Â» que l’on peut remplacer par « escomptĂ© Â», par exemple, pour conserver le bon nombre de lettres.
  22. ↑ (en) Site « officiel Â» de la journĂ©e de pi.
  23. ↑ Robert Gold, "Dieu et le nombre pi", Éditions O. BĂšne KĂ©nane, ISBN 9652227277
  24. ↑ Voir par exemple Le secret de la grande pyramide" de George Barbarin
  25. ↑ Selon The journal of the Society for the study of Egyptian Antiquities, ISSN 0383-9753, 1978, vol 8, n4, « la valeur de π apparaissant dans la relation entre la hauteur et la longueur de la pyramide est vraisemblablement co-accidentelle Â»

Annexes

Articles connexes

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - (ISBN 2-9029-1825-9)
  • Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - (ISBN 2705614435)
  • Jörg Arndt & Christoph Haenel : À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9)

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