Liste des polyèdres uniformes

Cette liste recense les polyèdres uniformes, ainsi que certaines de leurs propriétés.

Sommaire

Méthodologie

Un polyèdre uniforme est un polygone dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal (c'est-à-dire que pour tout couple de ses sommets, il existe une isométrie du polyèdre qui transforme l'un en l'autre).

Les polyèdres uniformes suivants existent :

La liste inclut, les 76 polyèdres précédents, ansi que quelques exemples de prismes et d'antiprismes.

Elle n'inclut par les éléments suivants :

  • les 40 polyèdres uniformes potentiels avec des figures de sommet dégénérées qui ont des arêtes qui se chevauchent (non comptés par Coxeter) ;
  • les pavages uniformes :

Table des polyèdres

Les formes convexes sont listées en ordre de degrés de configuration de sommet à partir de 3 faces/sommet et au-dessus, et en augmentant les côtés par face. Cet ordre permet de montrer des similarités topologiques.

Formes convexes (3 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Tétraèdre Tetrahedron.png R 2 3 Tetrahedron vertfig.png
3.3.3
Tet {3}
Prisme triangulaire Triangular prism.png P 2 Triangular prism vertfig.svg
3.4.4
Trip D3h 6 9 5 2 2××{3}+3×{4}
Tétraèdre tronqué Truncated tetrahedron.png A 3 Truncated tetrahedron vertfig.png
3.6.6
Tut {3}+4×{6}
Cube tronqué Truncated hexahedron.png A 4 Truncated cube vertfig.png
3.8.8
Tic {3}+6×{8}
Dodécaèdre tronqué Truncated dodecahedron.png A 5 Truncated dodecahedron vertfig.png
3.10.10
Tid {3}+12×{10}
Cube Hexahedron.png R 2 4 Cube vertfig.png
4.4.4
Cube {4}
Prisme pentagonal Pentagonal prism.png P 2 Pentagonal prism vertfig.png
4.4.5
Pip D5h U76 K01 10 15 7 2 {4}+2×{5}
Prisme hexagonal Hexagonal prism.png P 2 Hexagonal prism vertfig.png
4.4.6
Hip D6h 12 18 8 2 {4}+2×{6}
Prisme octogonal Octagonal prism.png P 2 Octagonal prism vertfig.png
4.4.8
Op D8h 16 24 10 2 {4}+2×{8}
Prisme décagonal Decagonal prism.png P 2 Decagonal prism vf.png
4.4.10
Dip D10h 20 30 12 2 10×{4}+2×{10}
Prisme dodécagonal Dodecagonal prism.png P 2 Dodecagonal prism vf.png
4.4.12
Twip D12h 24 36 14 2 12×{4}+2×{12}
Octaèdre tronqué Truncated octahedron.png A 3 Truncated octahedron vertfig.png
4.6.6
Toe {4}+8×{6}
Cuboctaèdre tronqué Great rhombicuboctahedron.png A Great rhombicuboctahedron vertfig.png
4.6.8
Girco {4}+8×{6}+6×{8}
Icosidodécaèdre tronqué Great rhombicosidodecahedron.png A Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
4.6.10
Grid {4}+20×{6}+12×{10}
Dodécaèdre Dodecahedron.png R 2 5 Dodecahedron vertfig.png
5.5.5
Doe {5}
Icosaèdre tronqué Truncated icosahedron.png A 3 Truncated icosahedron vertfig.png
5.6.6
Ti {5}+20×{6}

Formes convexes (4 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Octaèdre Octahedron.png R 2 3 Octahedron vertfig.png
3.3.3.3
Oct {3}
Antiprisme carré Square antiprism.png P 2 2 4 Square antiprism vertfig.png
3.3.3.4
Squap D4d -- -- -- 8 16 10 2 {3}+2×{4}
Antiprisme pentagonal Pentagonal antiprism.png P 2 2 5 Pentagonal antiprism vertfig.png
3.3.3.5
Pap D5d -- U77 K02 10 20 12 2 10×{3}+2×{5}
Antiprisme hexagonal Hexagonal antiprism.png P 2 2 6 Hexagonal antiprism vertfig.png
3.3.3.6
Hap D6d -- -- -- 12 24 14 2 12×{3}+2×{6}
Antiprisme octogonal Octagonal antiprism.png P 2 2 8 Octagonal antiprism vertfig.png
3.3.3.8
Oap D8d -- -- -- 16 32 18 2 16×{3}+2×{8}
Antiprisme décagonal Decagonal antiprism.png P 2 2 10 Decagonal antiprism vf.png
3.3.3.10
Dap D10d -- -- -- 20 40 22 2 20×{3}+2×{10}
Antiprisme dodécagonal Dodecagonal antiprism.png P 2 2 12 Dodecagonal antiprism vf.png
3.3.3.12
Twap D12d -- -- -- 24 48 26 2 24×{3}+2×{12}
Cuboctaèdre Cuboctahedron.png A 3 4 Cuboctahedron vertfig.png
3.4.3.4
Co {3}+6×{4}
Petit rhombicuboctaèdre Small rhombicuboctahedron.png A 2 Small rhombicuboctahedron vertfig.png
3.4.4.4
Sirco {3}+(6+12)×{4}
Petit rhombicosidodécaèdre Small rhombicosidodecahedron.png A 2 Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
3.4.5.4
Srid {3}+30×{4}+12×{5}
Icosidodécaèdre Icosidodecahedron.png A 3 5 Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5
Id {3}+12×{5}

Formes convexes (5 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Icosaèdre Icosahedron.png R 2 3 Icosahedron vertfig.png
3.3.3.3.3
Ike {3}
Cube adouci Snub hexahedron.png A 2 3 4 Snub cube vertfig.png
3.3.3.3.4
Snic O W017 U12 K17 24 60 38 2 (8+24)×{3}+6×{4}
Dodécaèdre adouci Snub dodecahedron ccw.png A 2 3 5 Snub dodecahedron vertfig.png
3.3.3.3.5
Snid I W018 U29 K34 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12×{5}

Formes non convexes avec des faces convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Tétrahémihexaèdre Tetrahemihexahedron.png C+ 2 Tetrahemihexahedron vertfig.png
4.3/2.4.3
Thah {3}+3×{4}
Cubohémioctaèdre Cubohemioctahedron.png C+ 3 Cubohemioctahedron vertfig.png
6.4/3.6.4
Cho {4}+4×{6}
Octahémioctaèdre Octahemioctahedron.png C+ 3 Octahemioctahedron vertfig.png
6.3/2.6.3
Oho {3}+4×{6}
Grand dodécaèdre Great dodecahedron.png R+ 2 5 Great dodecahedron vertfig.png
(5.5.5.5.5)/2
Gad {5}
Grand icosaèdre Great icosahedron.png R+ 2 3 Great icosahedron vertfig.png
(3.3.3.3.3)/2
Gike {3}
Grand icosidodécaèdre ditrigonal Great ditrigonal icosidodecahedron.png C+ 3 5 Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(5.3.5.3.5.3)/2
Gidtid {3}+12×{5}
Petit rhombihexaèdre Small rhombihexahedron.png C+ Small rhombihexahedron vertfig.png
4.8.4/3.8
Sroh {4}+6×{8}
Petit cubicuboctaèdre Small cubicuboctahedron.png C+ 4 Small cubicuboctahedron vertfig.png
8.3/2.8.4
Socco {3}+6×{4}+6×{8}
Grand rhombicuboctaèdre uniforme Uniform great rhombicuboctahedron.png C+ 2 Uniform great rhombicuboctahedron vertfig.png
4.3/2.4.4
Querco {3}+(6+12)×{4}
Petit dodécahémidodécaèdre Small dodecahemidodecahedron.png C+ 5 Small dodecahemidodecahedron vertfig.png
10.5/4.10.5
Sidhid {5}+6×{10}
Petit icosihémidodécaèdre Small icosihemidodecahedron.png C+ 5 Small icosihemidodecahedron vertfig.png
10.3/2.10.3
Seihid {3}+6×{10}
Petit dodécicosaèdre Small dodecicosahedron.png C+ Small dodecicosahedron vertfig.png
10.6.10/9.6/5
Siddy {6}+12×{10}
Petit rhombidodécaèdre Small rhombidodecahedron.png C+ Small rhombidodecahedron vertfig.png
10.4.10/9.4/3
Sird {4}+12×{10}
Petit dodécicosidodécaèdre Small dodecicosidodecahedron.png C+ 5 Small dodecicosidodecahedron vertfig.png
10.3/2.10.5
Saddid {3}+12×{5}+12×{10}
Rhombicosaèdre Rhombicosahedron.png C+ Rhombicosahedron vertfig.png
6.4.6/5.4/3
Ri {4}+20×{6}
Grand icosicosidodécaèdre Great icosicosidodecahedron.png C+ 3 Great icosicosidodecahedron vertfig.png
6.3/2.6.5
Giid {3}+12×{5}+20×{6}

Formes prismatiques non convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Prisme pentagrammique Pentagrammic prism.png P+ 2 Pentagrammic prism vertfig.png
5/2.4.4
Stip D5h -- U78 K03 10 15 7 2 {4}+2{5/2}
Prisme heptagrammique (7/3) Heptagrammic prism 7-3.png P+ 2 Septagrammic prism-3-7 vertfig.png
7/3.4.4
Giship D7h -- -- -- 14 21 9 2 {4}+2{7/3}
Prisme heptagrammique (7/2) Heptagrammic prism 7-2.png P+ 2 Septagrammic prism vertfig.png
7/2.4.4
Ship D7h -- -- -- 14 21 9 2 {4}+2{7/2}
Antiprisme pentagrammique Pentagrammic antiprism.png P+ 2 25/2 Pentagrammic antiprism vertfig.png
5/2.3.3.3
Stap D5h -- U79 K04 10 20 12 2 10×{3}+2{5/2}
Antiprisme pentagrammique croisé Pentagrammic crossed antiprism.png P+ 2 25/3 Pentagrammic crossed-antiprism vertfig.png
5/3.3.3.3
Starp D5d -- U80 K05 10 20 12 2 10×{3}+2{5/2}

Autres formes non convexes avec des faces non convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Petit dodécaèdre étoilé Small stellated dodecahedron.png R+ 25/2 Small stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)5
Sissid Grand dodécaèdre étoilé Great stellated dodecahedron.png R+ 25/2 Great stellated dodecahedron vertfig.png
(5/2)3
Gissid Dodécadodécaèdre ditrigonal Ditrigonal dodecadodecahedron.png S+ 5/3 5 Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5/3.5)3
Ditdid {5}+12{5/2}
Petit icosidodécaèdre ditrigonal Small ditrigonal icosidodecahedron.png S+ 5/2 3 Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png
(5/2.3)3
Sidtid {3}+12{5/2}
Hexaèdre tronqué étoilé Stellated truncated hexahedron.png S+ 4/3 Stellated truncated hexahedron vertfig.png
8/3.8/3.3
Quith {3}+6{Grand rhombihexaèdre Great rhombihexahedron.png S+ Great rhombihexahedron vertfig.png
4.8/3.4/3.8/5
Groh {4}+6{Grand cubicuboctaèdre Great cubicuboctahedron.png S+ 4/3 Great cubicuboctahedron vertfig.png
8/3.3.8/3.4
Gocco {3}+6×{4}+6{Grand dodécahémidodécaèdre Great dodecahemidodecahedron.png S+ 5/3 Great dodecahemidodecahedron vertfig.png
10/3.5/3.10/3.5/2
Gidhid Petit dodécahémicosaèdre Small dodecahemicosahedron.png S+ 3 Small dodecahemicosahedron vertfig.png
6.5/3.6.5/2
Sidhei {6}
Grand dodécahémicosaèdre Great dodecahemicosahedron.png S+ 3 Great dodecahemicosahedron vertfig.png
6.5/4.6.5
Gidhei {5}+10×{6}
Dodécadodécaèdre Dodecadodecahedron.png S+ 5/2 5 Dodecadodecahedron vertfig.png
(5/2.5)2
Did {5}+12{5/2}
Grand icosihémidodécaèdre Great icosihemidodecahedron.png S+ 5/3 Great icosihemidodecahedron vertfig.png
10/3.3/2.10/3.3
Geihid {3}+6{Grand icosidodécaèdre Great icosidodecahedron.png S+ 5/2 3 Great icosidodecahedron vertfig.png
(5/2.3)2
Gid {3}+12{5/2}
Cuboctaèdre cubitronqué Cubitruncated cuboctahedron.png S+ Cubitruncated cuboctahedron vertfig.png
8/3.6.8
Cotco {6}+6×{8}+6{Grand cuboctaèdre tronqué Great truncated cuboctahedron.png S+ Great truncated cuboctahedron vertfig.png
8/3.4.6
Quitco {4}+8×{6}+6{Grand dodécaèdre tronqué Great truncated dodecahedron.png S+ 5 Truncated great dodecahedron vertfig.png
10.10.5/2
Tigid {10}
Petit dodécaèdre étoilé tronqué Small stellated truncated dodecahedron.png S+ 5/3 Small stellated truncated dodecahedron vertfig.png
10/3.10/3.5
Quitsissid {5}+12{Grand dodécaèdre étoilé tronqué Great stellated truncated dodecahedron.png S+ 5/3 Great stellated truncated dodecahedron vertfig.png
10/3.10/3.3
Quitgissid {3}+12{Grand icosaèdre tronqué Great truncated icosahedron.png S+ 3 Great truncated icosahedron vertfig.png
6.6.5/2
Tiggy {6}
Grand dodécicosaèdre Great dodecicosahedron.png S+ Great dodecicosahedron vertfig.png
6.10/3.6/5.10/7
Giddy {6}+12{Grand rhombidodécaèdre Great rhombidodecahedron.png S+ Great rhombidodecahedron vertfig.png
4.10/3.4/3.10/7
Gird {4}+12{Icosidodécadodécaèdre Icosidodecadodecahedron.png S+ 3 Icosidodecadodecahedron vertfig.png
6.5/3.6.5
Ided {5}+12{5/2}+20×{6}
Petit dodécicosidodécaèdre ditrigonal Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png S+ 5 Small ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png
10.5/3.10.3
Sidditdid {3}+12{5/2}+12×{10}
Grand dodécicosidodécaèdre ditrigonal Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png S+ 5/3 Great ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png
10/3.3.10/3.5
Gidditdid {3}+12×{5}+12{Grand dodécicosidodécaèdre Great dodecicosidodecahedron.png S+ 5/3 Great dodecicosidodecahedron vertfig.png
10/3.5/2.10/3.3
Gaddid {3}+12{5/2}+12{Petit icosicosidodécaèdre Small icosicosidodecahedron.png S+ 3 Small icosicosidodecahedron vertfig.png
6.5/2.6.3
Siid {3}+12{5/2}+20×{6}
Rhombidodécadodécaèdre Rhombidodecadodecahedron.png S+ 2 Rhombidodecadodecahedron vertfig.png
4.5/2.4.5
Raded {4}+12×{5}+12{5/2}
Grand rhombicosidodécaèdre uniforme Uniform great rhombicosidodecahedron.png S+ 2 Uniform great rhombicosidodecahedron vertfig.png
4.5/3.4.3
Qrid {3}+30×{4}+12{5/2}
Dodécadodécaèdre adouci Snub dodecadodecahedron.png S+ 25/2 5 Snub dodecadodecahedron vertfig.png
3.3.5/2.3.5
Siddid I W111 U40 K45 60 150 84 -6 60×{3}+12×{5}+12{5/2}
Dodécadodécaèdre adouci inversé Inverted snub dodecadodecahedron.png S+ 5/3 2 5 Inverted snub dodecadodecahedron vertfig.png
3.5/3.3.3.5
Isdid I W114 U60 K65 60 150 84 -6 60×{3}+12×{5}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre adouci Great snub icosidodecahedron.png S+ 25/2 3 Great snub icosidodecahedron vertfig.png
3.4.5/2
Gosid I W116 U57 K62 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre adouci inversé Great inverted snub icosidodecahedron.png S+ 5/3 2 3 Great inverted snub icosidodecahedron vertfig.png
3.3.5/3
Gisid I W113 U69 K74 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre rétroadouci Great retrosnub icosidodecahedron.png S+ 3/25/3 2 Great retrosnub icosidodecahedron vertfig.png
(34.5/2)/2
Girsid I W117 U74 K79 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand dodécicosidodécaèdre adouci Great snub dodecicosidodecahedron.png S+ 5/35/2 3 Great snub dodecicosidodecahedron vertfig.png
33.5/3.3.5/2
Gisdid I W115 U64 K69 60 180 104 -16 (20+60)×{3}+(12+12){5/2}
Icosidodécadodécaèdre adouci Snub icosidodecadodecahedron.png S+ 5/3 3 5 Snub icosidodecadodecahedron vertfig.png
3.3.5.5/3
Sided I W112 U46 K51 60 180 104 -16 (20+60)×{3}+12×{5}+12{5/2}
Petit icosicosidodécaèdre adouci Small snub icosicosidodecahedron.png S+ 5/2 3 3 Small snub icosicosidodecahedron vertfig.png
35.5/2
Seside {3}+12{5/2}
Petit icosicosidodécaèdre rétroadouci Small retrosnub icosicosidodecahedron.png S+ 3/23/25/2 Small retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png
(35.5/3)/2
Sirsid {3}+12{5/2}
Grand dirhombicosidodécaèdre Great dirhombicosidodecahedron.png S+ 3/25/3 3

5/2

Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png
(4.5/3.4.3.
4.5/2.4.3/2)/2
Gidrid {3}+60×{4}+24{5/2}
Dodécadodécaèdre icositronqué Icositruncated dodecadodecahedron.png S+ Icositruncated dodecadodecahedron vertfig.png
10/3.6.10
Idtid {6}+12×{10}+12{Dodécadodécaèdre tronqué Truncated dodecadodecahedron.png S+ Truncated dodecadodecahedron vertfig.png
10/3.4.10
Quitdid {4}+12×{10}+12{Grand icosidodécaèdre tronqué Great truncated icosidodecahedron.png S+ Great truncated icosidodecahedron vertfig.png
10/3.4.6
Gaquatid {4}+20×{6}+12{modifier] Cas particulier
Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Figure de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Grand dirhombidodécaèdre disadouci
Polyèdre de Skilling
Great disnub dirhombidodecahedron.png S++ (3/2) 5/3 (3) 5/2 Great disnub dirhombidodecahedron vertfig.png
(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2
-- {3}+60×{4}+24{5/2}

(*1) : Le grand dirhombidodécaèdre disadouci possède 120 arêtes partagées par quatre faces. Si elles sont comptées comme deux paires, alors il existe au total 360 arêtes. À cause de cette dégénérescence des arêtes, il n'est pas toujours considéré comme un polyèdre uniforme.

Renvois

  • Classes de solides
    • R = 5 solides de Platon
    • R+= 4 solides de Kepler-Poinsot
    • A = 13 solides d'Archimède
    • C+= 14 polyèdres non convexes avec des faces convexes (tous ces polyèdres uniformes ont les faces qui se coupent les unes les autres)
    • S+= 39 polyèdres non convexes avec des faces complexes (étoilées)
    • P = Série infinie des prismes réguliers convexes et des antiprismes
    • P+= Série infinie des prisme et des antiprismes uniformes non convexes (ceux-ci contiennent tous des faces complexes (étoiles))
    • T = 11 pavages planaires
  • Acronyme de Bowers - Un nom unique abrégé prononçable basé sur l'anglais créé par le mathématicien Jonathan Bowers
  • Indexation uniforme : U01-U80 (d'abord le tétraèdre, les prisme à 76+)
  • Indexation Kaleido : K01-K80 <K(n)=U(n-5) pour n=6..80> (prismes 1-5, Tétraèdre 6+)
  • Magnus Wenninger Patrons de polyèdre : W001-W119
    • 1-18 - 5 convexes réguliers et 13 convexes semi-réguliers
    • 20-22, 41 - 4 non convexes réguliers
    • 19-66 48 stellations/composés spéciaux (Non réguliers non données sur cette liste)
    • 67-119 - 53 non convexes uniformes
  • Chi: la caractéristique d'Euler, χ. Les pavages uniformes sur le plan correspondent à une topologie torique, avec une caractéristique d'Euler égale à zéro.
  • Pour les pavages du plan, les nombres donnés de sommets, d'arêtes et de faces montrent le ratio de tels éléments dans une période du motif, qui, dans chaque cas, est un losange (quelquefois un losange à angle droit, i.e. un carré).
  • Note sur les images de figure de sommet :
    • Les droites blanches de polygone représentent la "figure de sommet" du polygone. Les faces colorées incluses sur les images des figures de sommet aident à voir leurs relations.

Liens externes


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Liste des polyèdres uniformes de Wikipédia en français (auteurs)


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