Carré latin

Carré latin

Un carré latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. La plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : 
\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 2 & 3 & 0 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

Sommaire

En mathématiques

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 \\
 1 & 2 & 0 \\
 2 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 2 & 3 & 0 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

Carré latin correspondant au groupe de Klein


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 0 & 3 & 2 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 2 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}

Les carrés latins sont les tables d'opérations de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.

Voir aussi

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Références

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