Resistivite

Resistivite

Résistivité

La résistivité d'un matériau, généralement symbolisée par la lettre grecque rho (ρ), représente sa capacité à s'opposer à la circulation du courant électrique. Elle correspond à la résistance d'un tronçon de matériau de 1 m de longueur et de 1 m2 de section ; elle est exprimée en ohm-mètre (Ω·m). On utilise aussi :

  • le Ω·mm2/m = 10-6 Ω·m ;
  • le μΩ·cm = 10-8 Ω·m.

La résistance R (en ohms) d'une pièce rectiligne de longueur L (en mètres) et de section droite d'aire S (en mètres carrés) vaut donc : R = \rho \cdot \frac L S.

C'est la grandeur inverse de la conductance électrique (symbole : G).

La résistivité des matériaux dépend de la température :

  • Pour les métaux, à la température ambiante, elle croit linéairement avec la température. Cet effet est utilisé pour la mesure de température (sonde Pt 100)
  • Pour les semi-conducteurs, elle décroît fortement avec la température, la résistivité peut aussi dépendre de la quantité de rayonnement (lumière visible, infra-rouge, etc.), absorbé par le composant.
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Sommaire

Résistivités usuelles

Matériaux

Nom du métal Résistivité à 300 K
(Ω·m)
Argent 16·10-9
Cuivre 17·10-9
Or 22·10-9
Aluminium 27·10-9
Magnésium 46·10-9
Bronze 50·10-9
Zinc 60·10-9
Nickel 70·10-9
Laiton 70·10-9
Cadmium 76·10-9
Platine 94·10-9
Fer 104·10-9
Étain 142·10-9
Plomb 207·10-9
Germanium 460·10-9
Constantan 500·10-9
Mercure 960·10-9
Nichrome 1000·10-9
Carbone 35 000·10-9

L'argent métallique est le corps pur simple qui est le meilleur conducteur d'électricité à température ambiante.

Isolants

nom du matériau résistivité (Ω·m)
eau distillée 109
verre 1017
air variable
polystyrène 1020

Calcul de la résistivité des cristaux

Dans le cas d'un cristal parfait, on peut calculer la résistivité en fonction des paramètres fondamentaux[1].

Cristaux covalents

Les cristaux covalents sont des isolants, la bande interdite est large. Avec l'élévation de température, des électrons peuvent être suffisamment excités pour franchir le gap. La conductivité suit donc une loi en

T3/2exp(-Eg/kT)

Cristaux ioniques

Dans les cristaux ioniques, la conduction se fait par migration de défauts. Le nombre et la mobilité des défauts suivent une loi d'Arrhénius, la conductivité suit donc une loi similaire, en

exp(-Q/RT)

Cristaux métalliques

Dans le cas des cristaux métalliques, la résistivité augmente avec la température ; la conductivité augmente linéairement avec T. Cela est dû à l'interaction entre les électrons et les phonons.

Le premier modèle utilisé considère que les électrons se comportent comme un gaz, le libre parcours moyen des électrons étant déterminé par les chocs avec les ions (atomes du réseau sans leurs électrons libres, réseau appelé « gellium »). On trouve une résistivité valant

\rho = \frac{m}{\mathrm{N}e^2\tau}

avec

  • m : masse d'un électron ;
  • N : nombre d'électrons par unité de volume, de l'ordre de 1028 m-3 ;
  • e : charge élémentaire ;
  • τ : temps de relaxation, c'est-à-dire durée moyenne séparant deux collisions.

Mais ce modèle ne prend pas en compte l'effet de la température ni des impuretés.

Selon la relation de Matthiessen, la conductivité comprend trois composantes :

ρ = ρT + ρi + ρD

avec

  • ρT : contribution de l'agitation thermique ;
  • ρi : contribution des impuretés, de l'ordre du μΩ⋅cm/% d'impureté ;
  • ρD : contribution des défauts atomiques.

Le modèle de Drude prend en compte l'effet Joule, c'est-à-dire l'énergie cinétique que les électrons cèdent au réseau à chaque collision. Comme les autres modèles, c'est un modèle non quantique, qui permet également de prévoir la conductivité thermique, mais décrit mal ce qui se passe pour les températures très basses.

La résistivité d'un métal à une température proche de l'ambiante est en général donnée par :

ρ = ρ0(1 + αθ)

avec

  • ρ0 : résistivité à 0 °C ;
  • α : coefficient de température (K-1) ;
  • θ : température en degrés Celsius.
Coefficients de température de quelques métaux[2]
Métal α (10-3K-1)
Argent 3,85
Cuivre 3,93
Aluminium 4,03
Plomb 4,2
Nickel 5,37
Fer 6,5
Tungstène 45

Mesure de la résistivité

Résistivité des sols

Article détaillé : Terre (électricité).

On utilise un telluromètre et la méthode de Wenner :

On plante 4 piquets alignés et équidistants notés 1, 2, 3 et 4. Le courant de mesure est injecté entre les piquets 1 et 4 et la résistance est mesurée entre 2 et 3. Si la distance entre 2 piquets est égale à D, la résistivité du sol se calcule avec la formule :

ρ = 2π⋅D⋅R23.

Résistivité des couches minces

La méthode 4 pointes ou méthode de Van der Pauw est utilisable pour mesurer la résistivité d’une couche mince. Il faut placer les 4 pointes près des bords de la couche à caractériser.

Soit un rectangle dont les côtés sont numérotés de 1 à 4 en partant du bord supérieur, et en comptant dans le sens des aiguilles d'une montre. On injecte le courant entre deux points du bord 1 et on mesure la tension entre les deux points du bord opposé (bord 3). Le rectangle pouvant ne pas être strictement un carré nous effectuons une deuxième mesure en injectant cette fois ci le courant entre les deux points du bord 4, et comme précédemment nous mesurons ensuite la tension entre les deux points du bord opposé (bord 2). Il suffit ensuite de calculer à l’aide de la loi d'Ohm, le rapport V/I pour chaque configuration de mesures.

Nous obtenons ainsi RAB,CD et RAC,BD.

La résistivité ρ est la solution de l'équation dite équation de Van der Pauw :

 \exp \left(-\frac {\pi \cdot e}{\rho} \cdot \mathrm{R_{AB,CD}}\right) + \exp \left(-\frac {\pi \cdot e}{\rho} \cdot \mathrm{R_{AC,BD}}\right) = 1.

e est l'épaisseur de la couche.

Une méthode de résolution consiste à calculer la résistance équivalente par la formule suivante :

\mathrm{R_{eq}} = \frac{\pi \cdot (\mathrm{R_{AB,CD}} + \mathrm{R_{AC,BD}}) \cdot f} { 2 \cdot \ln (2) }

ƒ étant le facteur de forme obtenu d’après la relation :

\cosh \left ( \frac {\mathrm{R_{AB,CD}} - \mathrm{R_{AC,BD}}}{\mathrm{R_{AB,CD}} + \mathrm{R_{AC,BD}}} \cdot \frac{\ln 2}{f} \right ) =  \frac{1}{2} \cdot \exp \left (\frac{\ln 2}{f}\right )

Nous calculons ensuite la résistivité avec :

ρ = Reqe.

Notes

  1. J. Philibert et coll., Métallurgie, du minerai au matériau 2e éd., Dunod, 2002, p. 269 
  2. Y. Déplanche, Mémo formulaire, Casteilla, 1991, p. 138, 245 

Voir aussi

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